Hazlo tú. Discute y resuelve, en función del parámetro ...

1 BACHILLERATOU nidad 3. Sistemas de ecuaciones24 Matem ticas IIEjercicios y problemas resueltosP gina 1101. Discusi n de sistemas aplicando el m todo de GaussHazlo t . Discute y resuelve, en funci n del par metro, aplicando el m todo de ) xxxmyyzzz223202 +++===* b) xxxyyyzazz322053++++++===*a) m12110123202 fp (3. )(2. )(1. ) m12101321202 fp (3. )(2. ) + 2 (1. )(3. ) (1. ) m10001344244 fp (3. )(2. )(3. ) + (2. ) m100011340240 fp Si m 1, el sistema es compatible determinado. ()xymyzz134240 ===4 Soluci n: x = 1, y = 0, z = 1 Si m = 1, el sistema es compatible indeterminado. xyyzz034240 ===4 Soluciones: x = 2 3 , y = 4 4 , z = b) a13212111053fp (1. )(2. ) 3 (1. )(3. ) 2 (1. ) a100111131053 fp (1. )(2. )(3. ) (1. ) aa100110132052 fp Si a 2, el sistema es compatible determinado. xxxyyyzazz322053++++++===4 Soluci n: ,,xyaaza323422 === Los tres planos se cortan en un punto.

2 Si a = 2, la matriz queda: 100110110052 fp El sistema es incompatible. Los planos se cortan dos a 3. Sistemas de ecuaciones25 Matem ticas IIP gina 1112. Discusi n de sistemas aplicando el teorema de Rouch Hazlo t . Discute los siguientes sistemas de ecuaciones y resu lvelos cuando sean compatibles:a) xxxyyayzazzaa211 ++++++===* b) xxmxxyyyzzzz2322460 ++++====*a) ||8aaaaAaaaa121111111121111132 2==+fp = 0 aa21== Si a 2 y a 1 ran (A ) = 3 = ran (A' ) el sistema es compatible determinado. Para cada valor de a distinto de 1 y 2, tenemos un sistema con soluci n nica, que por la regla de Cramer es: xaaaaaa32111111 2=+ y = aaaaa321211111 2+ z = aaaaa321211111 2+ Soluci n: ,,xayaazaa1121 =+== Son tres planos que se cortan en un punto. Si a = 1: xxxyyyzzz2211 ++++===4 121111111211 fp () ()'88ranAranA1211121111211102303 ====4 El sistema es incompatible.

3 Son tres planos que se cortan dos a dos. Si a = 2: xxxyyyzzz222211++++===++4 121112121121fp 1211 = 1 0 ran (A ) = 2 Como la columna de t rminos independientes es igual a la columna de coeficientes de z, tenemos que ran (A' ) = 2 = ran (A ), el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segundo miembro: xxyyzz2212++++==4 x = 1 , y = 0, z = Los planos se cortan en una 3. Sistemas de ecuaciones26 Matem ticas IIb) Empezamos estudiando el rango de A', ya que puede ser 4: m121111011322460 = 12 12m Si m 1 ran (A' ) = 4 ran (A ), el sistema es incompatible. Si m = 1, quitando la tercera ecuaci n: 121110112 = 6 0 ran (A ) = 3 = ran (A' ), el sistema es compatible determinado: xxxyyzzz22240 ++===4 Aplicamos la regla de Cramer y obtenemos: x = 2, y = 1, z = 1 Los planos se cortan en un punto: P = (2, 1, 1).

4 P gina 1123. Sistemas que dependen de dos par metrosHazlo t . Discute y resuelve seg n los valores de m y n el sistema siguiente: mxxxyyyzmzmznn22++++++===*Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes: mmm121111 = m 1 Si m 1 ran (A ) = 3 = ran (A' ) el sistema es compatible determinado. Para cada valor de m distinto de 1, tenemos un sistema con soluci n nica: mxxxyyyzmzmznn22++++++===4 ,,xnymnmnmnmzmmnmn21241224 22==++=+ Si m = 1 y n = 2: xxxyyyzzznn22++++++===4 Las dos primeras ecuaciones son iguales. El sistema es compatible indeterminado. El sistema queda: xxyyzz222++++==4 Pasando z al segundo miembro obtenemos: x = 0, y = 2 , z = Si m = 1 y n 2, las dos primeras ecuaciones representan dos planos paralelos. El sistema es 3. Sistemas de ecuaciones27 Matem ticas II4. Sistemas homog neosHazlo t . Discute y resuelve este sistema de ecuaciones: xxxyyayzzz334000 +++++===*Es un sistema homog neo, luego siempre es compatible.

5 Calculamos el determinante de la matriz de co-eficientes: a11313114 = 20 2a Si a 10 ran (A ) = 3 = ran (A' ) el sistema es compatible determinado. Para cada valor de a distinto de 10, tenemos un sistema con soluci n nica: (0, 0, 0), la soluci n trivial. Si a = 10 ran (A ) = 2 = ran (A' ) el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z al segundo miembro como par metro: xxyyzz3 ++==3 Soluciones: x = 2 , y = , z = 5. Sistemas con m s inc gnitas que ecuacionesHazlo t . Discute este sistema de ecuaciones y resu lvelo en el caso a = 0: xxxyyyzzztata355215 +++===+*Como A no es cuadrada, vamos a calcular su rango: A = a13111511510 fp calculamos los siguientes determinantes: ,1311401311151150 ==, a13111510 = 16 4a Si a 4 ran (A ) = 3 = ran (A' ) < n. de inc gnitas el sistema es compatible indeterminado.

6 Pasamos z al segundo miembro como par metro por no haber seleccionado la columna de coeficientes de z para el menor distinto de cero. xxxyyyzzztata355215 +++===+4 x = 0, y = 1, z = , t = 1 Si a = 4 ran (A ) = 2 xxxyyyzzztt3554219 +++===4 Si a adimos la columna de t rminos independientes: 131115219 = 0 ran (A' ) = 2 = ran (A ) el sistema es compatible indeterminado. Para resolverlo, tomamos las dos primeras ecuaciones y pasamos z y t al segundo miembro como pa-r metros: xxyyzzt321 ++==4 Soluciones: ,,, l l xyzt41414347 =+===BACHILLERATOU nidad 3. Sistemas de ecuaciones28 Matem ticas IIEjercicios y problemas guiadosP gina 1131. Sistema matricialDado este sistema de ecuaciones:()xmxmxyymzzzmmm12 ++++===+*hallar la matriz A 1B, sin calcular la matriz inversa de A, siendo A la matriz de coeficientes y B la de t rminos ) X = xyzfp = A 1 Bb) AX = AA 1 B = Bc) X es la soluci n del sistema: ()xmxmxyymzzzmmm12 ++++===+* Para que exista A 1 el sistema tiene que tener soluci n nica.

7 | A | = mmm1111011 + = m 2 + m + 2 0 Luego m 1 y m 2. En estos casos, x = mmmmmmmmmm2211011221 222+++=++++=; y = mmmmmmmmmmmm211211221 222++++=++++= z = mmmmmmmmmmm2111102221 222++++=++++= Soluci n: X = 111fp2. Sistemas con infinitas solucionesSean S y S' dos sistemas de ecuaciones con dos inc gnitas que difieren solo en los t rminos indepen-dientes. Si S es compatible indeterminado, lo ser tambi n S'?Si S es compatible indeterminado significa que la columna de t rminos independientes es linealmente dependiente de las columnas de los cambiar los t rminos independientes, cambiamos la columna correspondiente y puede que sera lineal-mente independiente con las anteriores, luego puede que el sistema resulte ser 3. Sistemas de ecuaciones29 Matem ticas II3. Sistema compatible para cualquier valor del par metroSea el sistema de ecuaciones:axxxyayyzzazaa222 ++++===+*a) Comprobar que es compatible para cualquier valor de ) Calcular su soluci n en forma matricial en el caso a = ) Resolver para a = 1 utilizando el m todo de ) aaa211111 = a 3 1 = 0 a = 1 Si a 1 ran (A ) = 3 = ran (A' ) el sistema es compatible determinado, tiene soluci n nica.

8 Si a = 1: xxxyyyzzz2121 ++++===* 1211 = 3 0 ran (A ) = 2 A adimos la columna de t rminos independientes: 121111121 = 0 ran (A' ) = 2 = ran (A ) El sistema compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Es compatible para cualquier valor de ) a = 0: xyz021101110220 =fffppp AX = B X = A 1 B 021101110112111122 1 =ffpp X = 112111122220446 =fffpppc) a = 1: xxxyyyzzz2321 ++++===* 121111111321 fp (1. )(2. ) 2 (1. )(3. ) (1. ) 100132110382 fp (1. )(2. )3 (3. ) 2 (2. ) 1001301123810 fp x = 3, y = 1, z = 5 BACHILLERATOU nidad 3. Sistemas de ecuaciones30 Matem ticas II4. A adir una ecuaci n a un sistemaA adir una ecuaci n al sistemaxxyyzz2213 ++==*de modo que sea:a) ) compatible ) compatible ) xxyyzz2213 ++==* Hacemos (1. ) + (2. ) 3x + z = 4 Cambiamos el t rmino independiente 3x + z = 5 El sistema: xxxyyzzz232135 +++===* es ) xxyyzz2213 ++==* ,,lllxyz34313435 ==+= Una soluci n es: ,,xyz34350=== A adimos la ecuaci n 5x 4y = 0 El sistema: xxxyyyzz2542130 ++===* es compatible ) Hacemos (1.

9 + (2. ) 3x + z = 4 Ponemos esta nueva ecuaci n que es combinaci n lineal de las anteriores. El sistema: xxxyyzzz232134 +++===* es compatible 3. Sistemas de ecuaciones31 Matem ticas IIEjercicios y problemas propuestosP gina 114 Para practicar M todo de Gauss1 Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas:a) xxxyyyzzz229105 +++===* b) xxyyzz2231 +++==*c) xxxyyyzzz2242132 ++++===* d) xxxyyyzz2343000 ++===*a) xxxyyyzzz229105 +++===4 1122111119105 fp (1. ) (2. ) + (1. )(3. ) 2 (1. ) 10023512191913 fp (1. )(2. )(2. ) + 2 (3. ) 1002371209197 fp xyyyzz23729197 ++=+==4 y = 1; z = y21938 =; x = 9 2y z = 1 Soluci n: x = 1, y = 1, z = 8b) xxyyzz2231 +++==4 12211131 eo (1. ) (2. ) + 2 (1. ) 10251137eo xyzyzyzxzyzzz2357575323514525153 +=====+=4 Si tomamos z = 5 , las soluciones son: ,,lllxyz513575 ===c) xxxyyyzzz2242132 ++++===4 121241121132 fp (3.

10 (2. )(1. ) 121142121231 fp (1. )(2. ) 2 (1. )(3. ) + (1. ) 100163100213 fp (1. )(2. ) + 2 (3. )(3. ) 100103100253fp La segunda ecuaci n es imposible: 0x + 0y + 0z = 5 El sistema es ) xxxyyyzz2343000 ++===4 234311101000 fp (1. )(2. ) (3. ) + (1. ) 236312100000 fp (1. )(2. ) (3. ) 2 (2. ) 230310100000 fp xyzxy23030 +==4 y = 3x ; z = 2x + 3y = 2x + 9x = 7x ; x = Soluciones: x = , y = 3 , z = 7 BACHILLERATOU nidad 3. Sistemas de ecuaciones32 Matem ticas II2 Estudia y resuelve por el m todo de ) xxxyyyzzz422437251 ++++===* b) xxyyyzz23112 +++===*c) xxxyyyzzz5222232433 +++++===* d) xxxyyyzzzttt2323335146000 +++++===*a) xxxyyyzzz422437251 ++++===4 142124317251 fp (1. ) (2. ) + 4 (1. )(3. ) + 2 (1. ) 1001663111233 fp (1.