ITIS “E. FERMI” FUSCALDO Equazioni differenziali e ...

1 11 itis E. fermi Prof. Ing. Nicola De NardiLavoro Prodotto nel centro servizi multimediale dell itis E. FermiEquazioni differenziali e applicazioniCoordinatoreprof. Vittorio GrandinettiAutorialunni: Buonasperanza Paolino, Covello Davide, Cuomo AlessandroD Amico Salvatore, Magnone Paolo, Martello Panno, Pizzuto differenziali E Equazioni differenziali E APPLICAZIONIAPPLICAZIONIMATEMATICHEMATEM ATICHE23Un viandante che si rifiuti di oltrepassare unponte fino a quando non abbia personalmente verificato la solidit di ogni sua parte destinato a non andare molto lontano; qualche volta bisogna rischiare, anche in LAMB4 INDICE1 Introduzione2 Le Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine3 Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili4 Equazioni differenziali del primo ordine lineari5 Equazioni differenziali del primo ordine omogenee6 Il problema di Cauchy7 Integrale particolare8 Integrale singolare9 Le Equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine10 Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee11 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee (1 CASO) 12 Equazioni differenziali lineari del secondo ordine non omogenee (2 CASO)

2 3513 Principio di sovrapponibilit 14 Applicazioni15 Applicazioni in geometria16 Applicazioni in chimica e fisica17 Legge di crescita malthusiana ed applicazioni in economia18 Programma in Pascal per calcolare l'interesse di un deposito bancario19 Risoluzione numerica di una equazione dedifferenziale Metodo di Eulero 20 Il metodo di Eulero con il Foglio elettronico21 Bibliografia 6 INTRODUZIONEI matematici cercarono di usare il calcolo infinitesimale per risolvere nuovi problemi fisici e si trovarono presto costretti a trattare una nuova classe di problemi. Essi fecero pi di quanto si erano prefissi di problemi pi semplici conducevano a quadrature che potevano essere valutate mediante le funzioni di queste costituita dai problemi che rientrano nell'area oggi generalmente nota come teoria dell'elasticit .47 Quelli un poco pi difficili conducevano a quadrature che non potevano essere espresse in questo modo, come nel caso degli integrali ellittici.

3 Entrambi questi tipi di problemi cadevano nel raggio d'azione del calcolo infinitesimale. Tuttavia, la soluzione di problemi ancora pi complicati richiedeva l'uso di tecniche specialistiche; fu cos che nacque la teoria delle Equazioni differenziali . Numerose classi di problemi fisici fornirono le motivazioni alle ricerche sulle Equazioni differenziali . Un corpo elastico se si deforma sotto l'azione di una forza e riacquista la sua forma originale quando la forza viene problemi pi pratici hanno a che fare con le forme assunte dalle travi, verticali e orizzontali, quando vi vengono applicati dei carichi. Questi problemi, trattati empiricamente dai costruttori delle grandi cattedrali medievali, furono affrontati dal punto di vista matematico durante il Seicento da uomini quali Galileo, Edme Mariotte(1620-84), Robert Hooke (1635-1703) e Wren. Il comportamento delle travi una delle due scienze discusse da Galileo nei Discorsi intorno a due nuove scienze.

4 GALILEO GALILEI59Le ricerche di Hooke sulle molle lo condussero alla scoperta della legge secondo la quale la forza esercitata su una molla in tensione proporzionale allo spostamento. Gli scienziati del Settecento, armati di una maggior quantit di matematica, iniziarono le loro ricerche sull'elasticit affrontando problemi quali la forma assunta da una fune anelastica ma flessibile sospesa a due punti fissi, la forma assunta da una catena anelastica ma flessibile sospesa a un punto fisso e posta in vibrazione, la forma assunta da una corda elastica vibrante tenuta fissa alle sue estremit , la forma assunta da una verga fissata alle sue estremit e soggetta a un carico e la forma assunta da una verga quando posta in pendolo continu ad interessare i matematici. L'equazione differenziale esatta del pendolo circolare 0/22=+ sinmgdtdsfidava ogni trattazione, ma anche quella approssimata ottenuta sostituendo consindoveva ancora essere trattata analiticamente.

5 Inoltre, il periodo di un pendolo circolare non strettamente indipendente dall'ampiezza del moto e venne perci intrapresa la ricerca della curva lungo cui la massa pendolare deve oscillare perch il periodo sia strettamente indipendente dall'ampiezza. Huygensaveva risolto geometricamente questo problema con l'introduzione della cicloide, ma la soluzione analitica doveva ancora essere pendolo era strettamente collegato con altri due campi di ricerca fondamentali del Settecento, la forma della Terra e la verifica della legge di attrazione gravitazionale. Il periodo approssimato di un pendologlT 2=veniva usato per misurare la forza di gravit in vari punti della superficie terrestre perch il periodo dipende dall'accelerazione g determinata da questa forza. Misurando lungo un meridiano le successive lunghezze corrispondenti al cambiamento di un grado di latitudine possibile con l'aiuto di un po' di teoria e dei valori di g, determinare la forma della Terra.

6 In effetti, servendosi della variazione del periodo osservata in vari punti della superficie terrestre, Newton n'aveva dedotto che la Terra pi gonfia all' che Newton aveva concluso mediante il suo ragionamento teorico che il raggio all'equatore era di 1/230 pi lungo del raggio al polo (questo valore di un 30 per cento troppo grande), gli scienziati europei erano ansiosi di trovarne una conferma sperimentale. NEWTON713Un metodo possibile sarebbe stato quello di misurare la lunghezza di un grado di latitudine vicino all'equatore e vicino ad un polo: se la Terra fosse effettivamente appiattita, il grado di latitudine dovrebbe essere leggermente pi lungo ai poli che all' Cassini (1677-1756) e i membri della sua famiglia effettuarono queste misurazioni e nel 1720 ottennero il risultato opposto, trovando che il diametro da polo a polo era di 1/95 pi lungo del diametro risolvere la questione una volta per tutte, negli anni 1730 l'Acad mie des Sciences francese invi una spedizione in Lapponia, guidata dal matematico Pierre-Louis Moreau de Maupertuis, e un'altra in Per.

7 14Il gruppo guidato da Maupertuis comprendeva anche il suo amico matematico Alexis-Claude Clairaut. Le loro misure confermarono che la Terra piatta ai poli e Voltaire salut Maupertuis con l'appellativo di appiattitore dei poli e dei Cassini . In effetti, il valore dato da Maupertuis era di 1/178, che meno accurato di quello di Newton. Il problema della forma della Terra continu a rivestire grande importanza e per lungo tempo rimase aperta la questione di sapere se essa fosse quella di uno sferoide oblato, di uno sferoide prolato, di un ellissoide generale o di qualche altro solido di problema connesso di verificare la legge di gravitazione poteva essere affrontato una volta che fosse nota la forma della Terra. Data la forma, sarebbe stato possibile determinare la forza centripeta necessaria per mantenere un oggetto sulla o vicino alla, superficie della Terra. Allora, conoscendo l'accelerazione g dovuta alla forza di gravit sulla superficie, si sarebbe potuto verificare se l'intera forza di gravit , che fornisce l'accelerazione centripeta e g, proprio quella data dalla legge di gravitazione.

8 Clairaut, uno di coloro che ne misero in dubbio la validit , pens in un certo momento che essa potesse essere della +=16I due problemi della legge d'attrazione e della forma della Terra sono ulteriormente connessi tra loro perch , quando la Terra viene trattata come un fluido rotante in equilibrio, le condizioni per l'equilibrio coinvolgono l'attrazione che le particelle del fluido esercitano una sull' campo d'interessi fisico che domin il secolo fu l'astronomia. Newton aveva risolto quello che viene chiamato problema dei due corpi, cio il moto di un singolo pianeta sottoposto all'attrazione gravitazionale del Sole, dove ciascun corpo viene assunto essere un punto materiale. Aveva anche compiuto alcuni passi in direzione della trattazione del problema fondamentale dei tre corpi, cio del comportamento della Luna sottoposta all'attrazione della Terra e del Sole.

9 917 Tuttavia, questo era soltanto l'inizio degli sforzi compiuti per studiare i moti dei pianeti e dei loro satelliti sottoposti all'attrazione gravitazionale del Sole e alla mutua attrazione di tutti gli altri corpi. Inoltre, le ricerche di Newton contenuti nei Principia, pur costituendo in effetti la soluzione di certe Equazioni differenziali , dovevano essere tradotte in forma analitica r questo fu fatto gradualmente durante il lavoro fu iniziato, incidentalmente, da PierreVarignon, un fine matematico e fisico francese, che voleva liberare la dinamica dall'ingombro della aveva risolto alcune Equazioni differenziali in forma analitica , ad esempio nella Methodus fluxionumdel 1671 e nel Tractatus del 1676, dove aveva osservato che la soluzione dell'equazione18)(/xfdxydnn= arbitraria, nel senso che vi si pu aggiungere un qualsiasi polinomio di grado n - 1 in x. Nello scolio alla proposizione della terza edizione dei Principia Newton si limita ad enunciare un risultato sulla forma dei solidi di rotazione che offrono la minima resistenza al moto in un fluido, ma in una lettera a David Gregory del 1694 spiega come vi giunto e nella spiegazione si serve di Equazioni i problemi astronomici, quello del moto della Luna ricevette le maggiori attenzioni perch il metodo comune per determinare la longitudine delle navi in mare, cos come altri metodi usati nel Settecento, dipendeva dalla conoscenza in ogni momento della direzione della Luna rispetto a una posizione standard (che, a partire dalla fine del secolo, fu quella di Greenwich in Inghilterra).

10 1019 Era necessario conoscere questa direzione della Luna con un'approssimazione di 15 secondi di grado per determinare l'ora di Greenwich con l'approssimazione di un minuto; gi un errore di questo genere poteva condurre ad un errore di 30 chilometri nella determinazione della posizione della nave. Con le tavole delle posizioni della Luna disponibili all'epoca di Newton questa precisione era lungi dal poter essere ottenuta. Un altro motivo dell'interesse per la teoria del moto della Luna era il fatto che essa poteva essere usata per predire le eclissi, che a loro volta costituivano una verifica per l'intera teoria teoria delle Equazioni differenziali ordinarie nacque dai problemi cui abbiamo accennato. 20A mano a mano che la matematica si sviluppava, la teoria delle Equazioni alle derivate parziali condusse a nuove ricerche sulle Equazioni differenziali ordinarie (cio sulle Equazioni che contengono derivate rispetto a un'unica variabile indipendente)