Las f´ormulas de Cardano-Ferrari - UV

1 Las fo rmulas de Cardano-Ferrari Carlos Ivorra ( ). Los me todos de resolucio n por radicales de las ecuaciones polino micas de tercer y cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente inu tiles que esta feo que un matema tico no conozca. Como es bien sabido, si K es un cuerpo de caracter stica distinta de 2 y a, b, c K, con a 6= 0, las soluciones de la ecuacio n cuadra tica ax2 + bx + c = 0. en una clausura algebraica de K vienen dadas por . b b2 4ac x= , 2a entendiendo que la ecuacio n tiene una u nica ra z doble x = b/2a cuando se anula el discriminante D = b2 4ac.

2 Tambie n es conocido que Tartaglia y Cardano encontraron una fo rmula ana loga para ecuaciones cu bicas (en la que aparecen ra ces cu bicas adema s de ra ces cuadradas) y que Ferrari encontro otra ma s compleja para ecuaciones cua rticas. En realidad, ma s que fo rmulas, encontraron me todos de resolucio n que pueden resumirse en sendas fo rmulas, si bien, en el caso de las ecuaciones cua rticas, la fo rmula es tan compleja que resulta inmanejable, y es preferible describir el proceso de resolucio n como un algoritmo de varios pasos. Por u ltimo, Abel demostro que, para n > 4, no existen fo rmulas ana logas que expresen las ra ces de la ecuacio n general de grado n en funcio n de sus coeficientes a trave s de sumas, productos, cocientes y extraccio n de ra ces, lo que convierte a las fo rmulas de Cardano-Ferrari en dos singularidades algebraicas.

3 Los resultados de Cardano-Ferrari llevaron al descubrimiento y al estudio de los nu meros complejos. En principio, los algebristas trataban de resolver ecuaciones con coeficientes reales (normalmente racionales), pero tales ecuaciones pueden tener solucio- nes imaginarias. Ciertamente, para encontrar ejemplos sencillos de esta situacio n no es necesario buscar entre ecuaciones cu bicas o cua rticas, sino que modestas ecuaciones cuadra ticas sirven igualmente. Ahora bien, las ecuaciones cuadra ticas con discriminante negativo no induc an a buscarles ra ces imaginarias, ya que lo ma s natural era concluir que no tienen solucio n, y eso zanjaba el problema.

4 En cambio, cuando una ecuacio n cu bica tiene tres ra ces reales distintas que pueden ser conocidas si uno se la construye para verificar la fo rmula de Cardano resulta que e sta proporciona expresiones para dichas 1. ra ces en la que aparecen ra ces cuadradas de nu meros negativos. Fue esto lo que in- dujo a los matema ticos a plantearse que tal vez fuera posible operar coherentemente con cantidades imaginarias de manera que, simplificando las expresiones imaginarias que proporciona la fo rmula de Cardano, se pudiera llegar finalmente a las soluciones reales de la ecuacio n.

5 Antes de entrar en materia puede ser ilustrativo recordar la forma en que puede de- ducirse la fo rmula para las ecuaciones cuadra ticas. En primer lugar, podemos expresar la ecuacio n en la forma b c x2 + x + = 0. a a Esto hace que no perdamos generalidad si suponemos a = 1, simplificacio n que sera . u til en el caso cu bico y cua rtico, pero que, dada la sencillez del caso cuadra tico, no vamos a hacer aqu . Tenemos entonces que b/a es la suma de las dos ra ces de la ecuacio n, luego b/2a es la media de las ra ces. Si hacemos el cambio de variable x = t b/2a, obtendremos una ecuacio n en t cuyas ra ces sera n las que resultan de restarle a cada una de las dos ra ces de la ecuacio n original la media de ambas, y esto hace que la nueva ecuacio n tenga ra ces con media (luego tambie n con suma) igual a 0.

6 Equivalentemente, la nueva ecuacio n debe tener nulo el monomio de primer grado. Comprobamos que as es: !2 ! b b b c b2 4ac t + t + = t2 = 0. 2a a 2a a 4a2.. Por lo tanto, las soluciones de esta ecuacio n son t = b2 4ac/2a. Deshaciendo el cambio de variables obtenemos la fo rmula buscada. 1 ecuaciones cu bicas Empezamos enunciando el resultado general: Teorema (Fo rmula de Cardano) Sea K un cuerpo de caracter stica distinta de 2. o 3 y sean a, b, c K. Entonces, las ra ces de la ecuacio n x3 + ax2 + bx + c = 0 (1). en una clausura algebraica de K vienen dadas por q q.

7 3 3. x = q/2 + + q/2 a/3, donde . 3b a2 2a3 9ab + 27c q 2 p 3. p= , q= , = + , 3 27 2 3. la ra z cuadrada de se escoge arbitrariamente y, fijada e sta, las ra ces cu bicas u y v se escogen de modo que p = 3uv (es decir, se escoge una arbitrariamente y la otra se calcula mediante esta relacio n). 2. Notemos ante todo que la relacio n entre las ra ces cu bicas es correcta, es decir, que si q . 3. u= q/2 + . es una ra z cu bica arbitraria del radicando y definimos v mediante p = 3uv, entonces q . 3. v= q/2 .. En efecto, elevando al cubo vemos que p3 = 27( q/2 + )v 3 , luego.

8 3 (p/3)3 ( q/2 ) . v = 2. = q/2 , (q/2) . como quer amos probar. Demostracio n: El primer paso es el ana logo al que hemos empleado en el caso de la ecuacio n cuadra tica: tenemos que a es la suma de las ra ces de la ecuacio n, luego a/3. es su media, luego el cambio de variable a x=t (2). 3. ha de llevarnos necesariamente a una ecuacio n cuyas ra ces tengan media (luego suma). igual a 0, por lo que tendra nulo su monomio de grado 2. En efecto, una comprobacio n rutinaria muestra que el cambio (2) reduce la ecuacio n (1) a la forma incompleta t3 + pt + q = 0, (3).

9 Donde p y q son los valores indicados en el enunciado. Por consiguiente, basta resolver (3), ya que la relacio n (2) nos proporciona las soluciones de (1) a partir de las de (3). Vamos a deducir la fo rmula de Cardano bajo la hipo tesis adicional p 6= 0, y luego veremos que es va lida incluso si p = 0. Partimos del desarrollo (u + v)3 = u3 + v 3 + 3u2 v + 3uv 2 = u3 + v 3 + 3uv(u + v), que nos da la identidad (u + v)3 3uv(u + v) u3 v 3 = 0. (4). Por lo tanto, si encontramos valores de u, v tales que p = 3uv, q = u3 v 3 , (5). tendremos que una solucio n de (3) sera t = u + v.

10 Podemos expresar (5) en te rminos de u despejando v = p/3u. (Notemos que ha de ser u 6= 0, ya que suponemos p 6= 0.). 3. Concluimos que una condicio n suficiente para que t sea solucio n de (3) es que sea de la forma p t=u (6). 3u para un u que cumpla la ecuacio n u3 + q (p/3u)3 = 0 (7). o, equivalentemente (multiplicando por u3 ): u6 + qu3 (p/3)3 = 0. (8). Veamos ahora que la condicio n es necesaria, es decir, que toda ra z t de (3) es de la forma (6), para un cierto u que cumple (8). En primer lugar, dado cualquier valor de t, siempre existe un valor de u 6= 0 que cumple (6).