Les concepts d’addition et de soustraction au CP et au CE1 ...

1 Les concepts dLes concepts d addition et de addition et de soustraction soustraction au CP et au CE1au CP et au CE1Du sens aux techniquesDu sens aux techniquesStage d partemental math matiques 207 Travailler autrement en math matiques au Cycle 2 Fr d rique Bouvier CPC Voiron 2 Sandrine Soudan CPC La Tour du Pin Vos attentes du stage / objectifs de la Vos attentes du stage / objectifs de la journjourn eeContenus :Contenus :--De la manipulationDe la manipulation--Place des jeuxPlace des jeux--Une dUne d marche ?..autre qumarche ?..autre qu ErmelErmel, fichier,, fichier,..--Place du fichierPlace du fichierDiffDiff renciationrenciation::--Double niveauDouble niveau--Comment diffComment diff rencier en maths (je le fais en lecture rencier en maths (je le fais en lecture mais en maths je n'y arrive pas)mais en maths je n'y arrive pas)Remise Remise niveau / acquisition de niveau / acquisition de connaissancesconnaissances/ / progression sur le cycleprogression sur le cyclePlan de la journ e Quelle place et quels enjeux donn s l apprentissage du calcul arithm tique l cole l mentaire ?

2 II--Les problLes probl mes arithmmes arithm tiques :tiques :Cadre didactique / Apports thCadre didactique / Apports th oriques :oriques :1 repartie :- Place de la r solution de probl mes au cycle 2 - D o viennent les difficult s des l ves ?2 mepartie : concepts d addition et de soustraction3 mepartie : - Les diff rents types de probl me- Le parcours de l l ve au cycle 2 PratiquePratique : Proposition d itin raires d apprentissageEt le fichier ??? Actions de diffActions de diff renciationrenciationPlan de la journ e Quelle place et quels enjeux donn s l apprentissage du calcul arithm tique l cole l mentaire ?IIII--LL addition et la soustraction :addition et la soustraction :M morisation des r pertoires additifsTechnique op ratoire de l additionTechnique op ratoire de la soustractionAddition, soustraction : quelles difficultAddition, soustraction : quelles difficult s s rencontrent vos rencontrent vos ll ves ?

3 ???ves ????Calcul au cycle 2 : ce qui questionne ou met en difficult Faut-il insister sur le sens lors de l apprentissage d une techniqueop ratoire ? Enseigner seulement la technique durant un temps d di ? Comment aider les l ves faire le lien entre les connaissances sur les nombres et les op rations et leur utilisation dans la r solution de probl mes? Comment faire acqu rir les tables d addition aux l ves qui bloquent ? Technique op ratoire de la soustraction Situations relevant de la soustraction Comment aider certains l ves qui n ont pas encore certains automatismes simples ? Quels outils pour les l ves les plus en difficult ?DD fi :fi :Confronter enseignants / l ves des situations complexes trouver du sens ancrage dans la vie couranteCadre th orique / concepts d op rations1 repartie:-Place de la r solution de probl mes au cycle 2-D o viennent les difficult s des l ves ?Place de la r solution de probl mes au cycle 2 Les programmes 2008 invitent repenser la place de la r solution de probl mes et la notion d r affirment l importance de la progressivit des apprentissages, de l acquisition d automatismes, du lien entre m canisme et compr hension profonde d une op 2008.

4 3 points essentiels, 3 articulations, 3 imbrications1 -Une bonne approche du nombredes proc dures apprises sans r flexion desr sultatset des raisonnements construits avec intelligence progressivement int rioris sdisponibles en m moire imm diate2- Construction d automatismes 3 3 --R le essentiel des R le essentiel des problprobl mesmesun apprentissageprogressifqui permet de construire et d ancrerle sens des op rations Types de pbs, pbs standarts, cat gories de pbspratique quotidienne et rpratique quotidienne et r flfl chie chie du calcul mentaldu calcul mentalappropriation des nombresappropriation des nombrespropripropri tt s des ops des op rationsrationsprogressivement une plus grande habiletprogressivement une plus grande habilet dans la rdans la r solution de problsolution de probl mesmes La rLa r solution de problsolution de probl mes mes arithmarithm tiques est une des activittiques est une des activit s s les plus complexes et les plus les plus complexes et les plus chouchou es es ll cole cole ll mentaire mentaire.

5 Elle mobilise plusieurs dimensionselle mobilise plusieurs dimensions M. Fayol, 2007DD oo viennent les difficultviennent les difficult s ?s ? ReprRepr sentation analogiquesentation analogiquede la situation d crite (mod le mental) Prise en compte des aspects aspects conceptuelsconceptuelsde la situation (travaux de G. Vergnaud) Faits arithmFaits arithm tiquestiques(outils op ratoires disponibles)ContexteFormulation du probl me Caract re verbal ou non de la situationDD oo viennent les difficultviennent les difficult s ?s ?Certains Certains ll ves rves r pondent au pondent au problprobl me me ..Et dEt d autres rautres r pondent au mapondent au ma tre !!!tre !!!DD oo viennent les difficultviennent les difficult s ?s ?DifficultDifficult s soulevs soulev es par les par l apprentissage apprentissage de lde l arithmarithm tique tique ll mentairementaire: : 2 capacit2 capacit s primitivess primitives: 1/ d terminer la num rosit de petits ensembles valuer et faire des comparaisons approximatives2/ la compr hension des situations d ajout, de retrait, de comparaison ne pose pas de probl me.

6 DifficultDifficult ss: apparition de la dimension symboliquedimension reredifficultdifficult : num: num rationration-suite verbale des nombres - passage d un code l autre- manipulation des nombres crits - compr hension de la num ration de position- mobilisation de cette num ration dans la r solution des op n cessite un apprentissage long, soigneusement organis , jusqu en fin du me difficultme difficult : passage des transformations : passage des transformations (analogiques) aux op(analogiques) aux op rations (symboliques)rations (symboliques)Comprendre pr cocement et facilement les effets des transformations (ajout, retrait, partage) : = ils ma trisent ou au moins comprennent les op rationsSituations probl mes propos es trop souvent limit es : ajout -> addition, retrait -> soustraction conception mature des op rationsLes l ves les plus faibles : conception st r otyp e des op rations. EN CONCLUSIONEN CONCLUSION.

7 Des savoirs et des savoirdes savoirs et des savoir--fairefaireL efficacit de la r solution de probl mes passe la fois par :- l apprentissage et l exercice de proc dures jusqu leur automatisation- m morisation de connaissances -conceptualisation des notions arithm tiques- apprentissage progressif des r solutions de probl mes6 + 1 = 7 7 1 = 6 1 + 6 = 7 7 6 = 1 6 enfants et un enseignant6 personnes dans la classe et une qui entre6 personnes qui nettoient la classe et une qui nettoie le tableau6 bureaux d l ves et un bureau de la ma tresse6 chaises rang es derri re les bureaux et une que l on d placeCom m ent voir 6+1=7 de diff rentes fa ons / diff rentes perspectives S minaire national des math matiques Lyon 20/3/12 Cadre th orique / concepts d op rations2 me partie:- La th orie des conceptsLa th orie des conceptsD apr s G. VergnaudLucie demande Julie l ge de ses trois fr res et s urs ; celle-ci r pond : la somme de leurs ges est gale au tien, et leur produit , dit Lucie, qui prend un papier et un crayon, mais qui au bout de quelques minutes dit : je ne peux pas r , c est vrai, dit Julie.

8 Je ne t avais pas dit que l a n fait du est d s lors fix e. Comment Lucie a-t-elle proc d ? PRODUITSSOMMES 1 X 1 X 36 38 2 X 1 X 1821 2 X 2 X 913 2 X 3 X 611 3 X 12 X 116 4 X 1 X 914 4 X 3 X 310 6 X 6 X 113?2 X 2 X 9La th orie des conceptsLes probl mes qui peuvent tre r solus l aide du conceptLes r sultats, algorithmes, proc duresqui sont m moriser, automatiser ou qui pourront tre labor sLes l ments langagiers qui permettent d voquer le concept (langage verbal et symbolique)Les propri t s utilisablesLes probl mes: transformation dtransformation d un un tat tat comparaison de 2 comparaison de 2 tatstatscomposition de 2 composition de 2 tatstatscomposition de transformationscomposition de transformationsLe langage: scolaire :ajouter, additionner plus somme, addition, total en situation : mettre ensemble r unir avancer en tout gagner / perdreLe langage symbolique : a + b = cLe concept d additionProc dures et r sultats:proc dure de calcul mental : commuter d composer/associer/distribuer compenseralgorithme crit : groupement par 10, change l algorithme fran aisles tables.

9 Construire articuler m moriser restituer automatiquement utiliser l envers Les propri t s: la commutativit l associativit l l ment neutre: 0 existence d un sym trique:a + (-a) = 0 (non tudi l cole)Le concept d additionLe langage: scolaire : ter soustraire diff rence cart moins en situation : retirer, enlever reculer gagner, perdre le compl ment, ce qui manque ce qui resteLe langage symbolique : a - b = cLe concept desoustractionLes probl mes: transformation dtransformation d un un tat tat comparaison de 2 comparaison de 2 tatstatscomposition de 2 composition de 2 tatstatscomposition de transformationscomposition de transformationsProc dures et r sultats:proc dure de calcul mental : impossibilit de commuter ! d composer/associer/distribuer compenseralgorithme crit : connaissance d un des trois algorithmes:sans retenue (on casse les classes)avec retenues en basavec retenues en bas et en haut comparaison des algorithmes les tables : passer de la formulation : 5 pour aller 7 2 7 5 = 2 Les propri t s: elle n est pas associative elle n est pas commutative l ment neutre: 0 propri t de l ajout simultan :a-b = (a+c) (b+c) soustraction d une somme (cf.)

10 Calcul r fl chi) : a-(b+c)= a-b-c soustraction d une diff rence (cf. calcul r fl chi)a-(b-c)= a-b+cLe concept desoustractionTravailler en parallTravailler en parall le des problle des probl mes mes additifs et soustractifsadditifs et soustractifsCadre th orique / concepts d op rations3 me partie:-Les diff rentes cat gories de probl mes-Le parcours de l l ve au cycle 2 Les probl mes des r ussites contrast probl mes bien r ussisLes probl mes des r ussites contrast probl mes peur ussisLes diff rentes cat gories de probl mes(selon la typologie de G rard Vergnaud)Comment expliquer ces diff rences de r ussite ?16 types de probl16 types de probl mes !!!mes !!!2 probl2 probl mes relevant tous deux dmes relevant tous deux d une addition une addition peuvent tre trpeuvent tre tr s diffs diff remment rremment r ussisussisVariables :Variables :ProblProbl me de transformationme de transformationProblProbl me de combinaisonsme de combinaisonsProblProbl me de comparaisonme de comparaisonQuestion sur lQuestion sur l tat initialtat initialou ll tat finaltat finalCes 16 types de probl mes ont t hi rarchis s en fonction des processus mentaux mettre en ai 22 ufs au d part de mon trajet.