Les Développements Limités - math.univ-lyon1.fr

1 Abderezak Ould Houcine, D veloppements Limit sD intervalle etf:I Rune application. Soitx0un l ment deIou uneextr mit deI(exemple : siI= ]a, b[alorsx0peut tre dans[a, b]). Soitnun entier naturel. Ondit quefadmet und veloppement limit l ordrenenx0, en abr g DLn(x0), s il existe desr elsa0, , anet une fonction :I Rtels que :pour toutx I, f(x) =a0+a1(x x0) + +an(x x0)n+ (x x0)n (x),aveclimx x0 (x) = 0Le polyn meP(x) =a0+a1(x x0) + +an(x x0)nest appell lapartie parincipaleoutout simplement led veloppement limit l xn+1= (1 x)(1 +x+ +xn), on a1 xn+11 x=(1 x)(1 +x+ +xn)1 x= 1 +x+ +xnd o 11 x= 1 +x+ +xn xn+11 x= 1 +x+ +xn+xn x1 xDonc la fonctionf(x) =11 xadmet un DL au point 0 l ordren, avec dans ce cas (x) = x1 ne cherche g n ralement pas d terminer la fonction (x).

2 Propri t s.(1)(Unicit d un DL). Sifadmet unDLn(x0), alors ce d veloppement limit est dit si :a0+a1(x x0) + +an(x x0)n+ (x x0)n 1(x)=b0+b1(x x0) + +bn(x x0)n+ (x x0)n 2(x),aveclimx x0 1(x) = 0etlimx x0 2(x) = 0, alorsa0=b0, a1=b1, , an=bn.(2)(Troncature d un DL). Sifadmet un DL l ordrenenx0,f(x) =a0+a1(x x0) + +an(x x0)n+ (x x0)n 1(x)alors pour toutp n, elle admet un DL l ordrepenx0, obtenu par troncature,f(x) =a0+a1(x x0) + +ap(x x0)p+ (x x0)p 2(x).(3)Sifadmet un DL l ordrenenx0,f(x) =a0+a1(x x0) + +an(x x0)n+ (x x0)n 1(x)alorslimx x0f(x)existe et finieet est gale a0.

3 C est clair il suffit de calculer la crit re sert g n ralement d montrer qu une fonction n admet pas de fonctionln(x)n admet pas de DL en 0, carlimx 0ln(x) = .(4)Sifadmet un DL l ordrenenx0, avecn 1,f(x) =a0+a1(x x0) + +an(x x0)n+ (x x0)n 1(x)alorsfest d rivable enx0, si elle est d finie enx0, (sinon, c est le prolongement par continuit defenx0), et la d riv e defenx0esta1.(5)Le DL l ordrenen 0 d un polyn meP(x)de degr nest lui m revanche sifadmet un DL l ordre2enx0,f(ou son prolongement) n est pas forcementdeux fois d rivable enx0, contre exemplef(x) =x3sin(1x)au des d veloppements limit s l origineCrit un d veloppement limit l ordrenenx0si et seulement si la fonctiongd finie parg(h) =f(x0+h)admet un d veloppement limit l ordrenen pr c siment, sia0+a1h+ +anhnest le DL degen0, alorsa0+a1(x x0)+ +an(x x0)nest le DL je veux calculer le DL def l ordrenenx0, je calcule le DL deg(h) =f(x0+h)

4 L ordrenen 0, ensuite je remplace dans le DL trouv hpar(x x0). leDLde la fonctionf(x) = cosx l ordre 3 au point 2. On consid re la fonctiong(h) = cos( 2+h)et on calcule son DL l ordre 3 au point sait quecos( 2+h) = cos( 2).cos(h) sin( 2).sin(h) = sin(h). On a sin(h) = h+h36+h3 1(h),au voisinage on remplacehpar(x 2)et on trouve le DL def(x) = cosx l ordre 3 au point 2:cos(x) = (x 2) +16(x 2)3+ (x 2)3 2(x),avec 2(x) = 1(x 2). On a bien s rlimx /2 2(x) = donn que le calcul des DL un pointx0se ram ne au calcul des DL au point 0 on secontentera dans la suite consid rer seulement les DL l origine rations sur les D veloppements limit sSomme des unDLn(0),f(x) =a0+a1x+ +anxn+xn 1(x),etgadmet unDLn(0),g(x) =b0+b1x+ +bnxn+xn 2(x),alorsf+gadmet unDLn(0), qui est donn par la somme des deux DL.

5 (f+g)(x) =f(x) +g(x) = (a0+b0) + (a1+b1)x+ + (an+bn)xn+xn (x)2 Produit des unDLn(0),f(x) =a0+a1x+ +anxn+xn 1(x),etgadmet unDLn(0),g(x) =b0+b1x+ +bnxn+xn 2(x), unDLn(0), obtenu en ne conservant que les mon mes de degr ndans le produit(a0+a1x+ +anxn)(b0+b1x+ +bnxn). leDLde la fonctionf(x) = l ordre 5 au point0. On a :sinx=x x36+x5120+x5 1(x),cosx= 1 x22+x424+x5 2(x).On calcule le produit(x x36+x5120)(1 x22+x424),en ne gardant que les mon mes de degr 5,(x x36+x5120)(1 x22+x424) =x + x36+ + +x5120 + Donc on af(x) = (23)x3+ (124+112+1120)x5+x5 (x).

6 Quotient des unDLn(0),f(x) =a0+a1x+ +anxn+xn 1(x),etgadmet unDLn(0),g(x) =b0+b1x+ +bnx n+xn 2(x),aveclimx 0g(x)6= 0, (autrement ditb06= 0), alorsfgadmet unDLn(0), obtenu par la devisionselon les puissances croissantes l ordrendu polyn mea0+a1x+ +anxnpar le polyn meb0+b1x+ + leDLde la fonctionf(x) = sinx/cosx l ordre 3 au 0cosx6= 0, on peut appliquer le crit re pr c dent. On asinx=x x36+x3 1(x),cosx= 1 x22+x3 2(x).Appliquons la division selon les puissances croissantes :x 16x31 12x2x 12x3x33x+13x3 Par cons quent,sinxcosx=x+13x3+x3 (x). crit re pr c dent dit tout simplement que silimx 0g(x)6= 0, alorsfgadmet unDLn(0)etil ne nous dit pas silimx 0g(x) = 0, alorsfgn admet pas unDLn(0)!

7 ! Il se peut quelimx 0g(x) = 0, avecfgadmet unDLn(0). fonctionsinxxadmet un DL d ordre 3 en 0, alors quelimx 0x= du caslimx 0g(x) = 0.(1).limx 0f(x)6= 0. Dans ce cas,f/gn admet pas deDLn(0), carlimx 0f(x)g(x)= .(2).limx 0f(x) = 0. Dans ce cas le DL defest de la formef(x) =apxp+ +anxn+xn 1(x),et celui degde la formeg(x) =bqxq+ +bnxn+xn 2(x),avecap6= 0etbq6= traite le quotientf/gselon les valeurs depetq. p < q. Alorsfg=apxp+ +anxn+xn 1(x)bqxq+ +bnxn+xn 2(x)==ap+ +anxn p+xn p 1(x)bqxq p+ +bnxn p+xn p 2(x).Commeq p >0, etap6= 0, on alimx 0f(x)g(x)= et par cons quentf/gn admet pas deDLn(0).

8 P q. Alorsfg=apxp+ +anxn+xn 1(x)bqxq+ +bnxn+xn 2(x)==apxp q+ +anxn q+xn q 1(x)bq+ +bnxn q+xn q 2(x).Dans ce cas on est ram n au cas o limx 0g(x)6= 0. Donc pour calculer le DL def/g l ordrenau point0, on calcule le DL defestg l ordren+q, et ensuite on utilise la m thode de ladivision selon les puissances le DL deln(1 +x)sinx l ordre 3 en 0. Il faut d terminerqtel quebq6= 0dans le DLdesinx. On asinx=x x33!+x55!+x5 (x).Par cons quent le premier coefficient non-nul estb1. Doncq= 1. On doit calculer leDLdeln(1 +x)etsinx l ordre3 +q= 4. On asinx=x x33!

9 +x4 1(x),ln(1 +x) =x x22+x33 x44+x4 2(x).Doncln(1 +x)sinx=1 x2+x23 x34+x3 2(x)1 x23!+x3 1(x).Par cons quent on a un DL d ordre3en haut et en bas et aveclimx x0g1(x)6= 0, o g1(x) = 1 x23!+x3 1(x). Donc on peut appliquer le crit re pr c dent et faire la division selon les puissances des unDLn(g(0)),f(x) =a0+a1(x g(0)) + +an(x g(0))n+ (x g(0))n 1(x),etgadmet unDLn(0),g(x) =b0+b1x+ +bnxn+xn 2(x),alors la fonction compos f g(x) =f(g(x))admet unDLn(0), obtenu en rempla ant le DL degdans celui defet en ne gardant que les mon mes de degr je veux calculer le DL def(g(x))en0, je calcule le DL defeng(0)et je trouve unDL de la formef(x) =a0+a1(x g(0)) + +an(x g(0))n+ (x g(0))n 1(x).

10 Ensuite je remplace le DL degdans celui defet je ne garde que les mon mes de de degr n. (Dansles calculs le termeg(0)dispara t). le DL deecosx l ordre 3 en0. Commecos 0 = 1, on calcule le DL deexen 1. Pourcela, d apr s ce qui pr c de, on calcule leDLde la fonctione1+hen 0. On ae1+h= (1 +h+h22+h33!+h3 1(h)).Pour trouver le DL deexen 1, on remplacehparx 1ex=e(x+(x 1)22+(x 1)33!+ (x 1)3 1(x 1)).Ensuite on remplace le DL decosx= 1 x22+x3 2(x), dans le pr c dent, en ne gardant que lesmon mes de degr 3ecosx=e((1 x22) +(1 x22 1)22+(1 x22 1)33!+ (1 x22 1)3 1(1 x22 1))=e e2x2+x3 3(x).