Repr´esentations param´etriques des coniques ...

1 DOCUMENT 18 Repr esentations param etriques des coniques ; applications conique poss`ede une equation cart esienne de la formeP(x, y) = 0, o`uPest unpolyn ome du second degr e enxety. Nous allons voir ici que les coniques ont aussi desrepr esentations param etriques qui sont tr`es utiles pour montrer l existence des tangentes et etudier leurs propri et La paraboleSoitPune parabole. Il existe un rep`ere orthonorm e (O, i , j) dans lequel elle poss`edel equationy=x22p, o`upest la distance de son foyer `a sa directrice. Dans le rep`ere (O, i , j),Pest donc la courbe d equations param etriquesx(t) =t,y(t) =t22pavect L ellipse et l Un lemme d aborder l ellipse et l hyperbole, d emontrons un nombres r eels.(1)Il y a equivalence entre(a)A2+B2= 1;(b)Il existet Rtel queA= cost, B= sint.

2 (2)Il y a equivalence entre(a)A2 B2= 1;(b)il existet ] 2, 2[ ] 2,3 2[tel queA=1cost,B= tant.(3)Il y a equivalence entre(a)A2 B2= 1;(b)il existet Rtel queA= coshtetB= sinhtavec = 1siA 1et = 1) Il est clair que siA= costetB= sintalorsA2+B2= 1. SupposonsA2+B2= aA2= 1 B2 1 d o`u|A| 1. La fonction cosinus ayant pour image [ 1,1], il existet Rtel queA= cost. On aB2= 1 cos2t= sin2t. SiB= sint,tconvient et sinonB= sint= sin( t). Comme cos( t) = cost=A, fonctions sinus et cosinus etant 2 -p eriodiques, on peut dans (b) prendret [0,2 [ oudans tout intervalle [t0, t0+ 2 [.19920018. REPR ESENTATIONS PARAM ETRIQUES DES CONIQUES2). SiA=1costetB= tantalors, par la relation1cos2t tan2t= 1, on aA2 B2= eciproquement supposonsA2 B2= 1. On aA2= 1+B26= 0 d o`u 1 = (1A)2+(BA)2.]]]]

3 Il existet [0,2 [ tel que1A= costetBA= sintd o`uA=1costetB=Asint= tant. CommeA6= 0on at6= 2,t6= 3 2et donct [0, 2[ ] 2,3 2[ ]3 2,2 [. En utilisant la 2 -p eriodicit e, on peutprendretdans ] 2, 2[ ] 2,3 2[.Dans cette partie de la preuve on peut aussi utiliser la relation1cos2t tan2t= ). La relation cosh2t sinh2t= 1 entraine que siA= coshtetB= sinht, = 1, alorsA2 B2= 1. Supposons maintenantA2 B2= 1. On a|A| 1. SiA 1 alors, l image deR+par la fonction cosinus hyperbolique etant [1,+ [, il existet 0 tel queA= cosht. On aB2= sinh2tet donc, siB 0,tconvient car sinht 0. SinonB= sinht= sinh( t) et ona aussiA= cosh( t). Maintenant siA 1 alors il existettel que A= coshtetB= sinht(car ( A)2 B2= 1). On a dans les deux cas,A= coshtetB= sinhtavec = 1 siA 1 et = 1 L ellipse.]]]]]]

4 Il existe un rep`ere orthonorm e (O, i , j) dans lequelEest la courbe d equationx2a2+y2b2= lemme entraine qu un pointMde coordonn ees (x, y) appartient `aEsi et seulement siil existet R(out [0,2 [) tel quex=acostety=bsint. Dans le rep`ere (O, i , j),Eestdonc la courbe d equations param etriquesx(t) =acost, y(t) =bsint, t [0,2 [. ). Une repr esentation param etrique du cercle de centreOet de rayonaestobtenue aveca=bdans la repr esentation param etrique pr ec edente. Tout r esultat concernantl ellipse, prouv e en utilisant uniquement cette repr esentation param etrique, sera donc aussivalable pour le cercle en prenanta=b. Ce sera par exemple le cas pour l equation de latangente en un ). On peut obtenir une construction `a la r egle et au compas d une ellipseEdonn ee par sesquatre sommetsA,A ,B, etB `a partir de sa repr esentation param etrique pr ec edente de la fa L ELLIPSE ET L HYPERBOLE201(1) SoitOle milieu de [AA ].]]]]

5 On trace lescercles de centreOet de rayonsOAetOBqui sont le cercle principal et lecercle secondaire deE.(2) On choisit un pointMdu cercle prin-cipal qui n est pas situ e sur un axe deE. Soit une mesure de ( OA, OM) etNle point d intersection de [OM] avecle cercle secondaire. AvecOA=aetOB=b, les coordonn ees deMdans(O, OAa, OBb) sont (acos , asin ) etcelles deN, (bcos , bsin ).(3) On trace la parall`ele `aOApassant parNet la parall`ele `aOBpassant le point d intersection de cesdeux droites alors ses coordonn ees sont(acos , bsin ). C est donc un point deE. On obtient ainsi tout point deE,distinct d un L hyperbole. Il existe un rep`ere orthonorm e (O, i , j) danslequelHest la courbe d equationx2a2 y2b2= lemme entraine qu un pointMde coordonn ees (x, y) appartient `aHsi et seulement siil existet ] 2, 2[ ] 2,3 2[ tel quex=acostety=btant.

6 Dans le rep`ere (O, i , j),Hestdonc la courbe d equations param etriquesx(t) =acost, y(t) =btant, t ] 2, 2[ ] 2,3 2[.En changeanttent+ 2on obtient une autre repr esentation param etrique deH:x(t) =asint, y(t) = bcott, t ]0, [ ] ,2 [.Posons pourt6=k ,k Z,u= tant2. La repr esentation param etrique pr ec edente devientx(u) =a1 +u22u, y(u) =bu2 12u, u R .On peut obtenir cette repr esentation param etrique par une autre m ethode et cette secondem ethode donne une interpr etation du param` , pouru6= 0,Dula droite d equationxa yb=1u. La droiteDuest parall`ele `a l asymptotedeHd equationxa yb= el ements deH Duont pour coordonn ees les solutions du syst`eme :20218. REPR ESENTATIONS PARAM ETRIQUES DES coniques xa yb=1ux2a2 y2b2= 1En remarquant quex2a2 y2b2= (xa yb)(xa+yb), on voit que ce syst`eme equivaut `a xa yb=1uxa+yb=uet on obtientx=au2+ 12u,y=bu2 12u.

7 Tout point deHqui appartient `a une droiteDuadonc des coordonn ees de la formex=au2+ 12u,y=bu2 12uavecu6= 0. On v erifie facilementque tout point ayant des coordonn ees de cette forme appartient `aHet donc on a retrouv e larepr esentation param etrique pr ec utilisant la partie 3) du lemme on obtient une repr esentation param etrique dechacune des branches deHx(t) = acosht, y(t) =bsinht, t R, = 1( = 1 donne la repr esentation param etrique d une branche et = 1 de l autre branche.)Les fonctions cosinus et sinus hyperboliques permettent donc de donner une repr esentationparam etrique de l hyperbole. C est l`a l origine de leurs hyperbole est une partie non connexe du plan. En effet soitHune existe un rep ere (O, i , j) (en g en eral ni orthogonal, ni norm e) dans lequelHest la courbed equationxy= 1.

8 SoitA={(x, y)|x >0, y >0}etB={(x, y)|x <0, y <0}. Ce sont desouverts disjoints non vides etH= (H A) (H B).Sifest une application continue deDf Rdans le plan avec pour imageHalorsDfn estpas un connexe deR, c est-`a-dire n est pas un intervalle. On peut le v erifier sur chacune desrepr esentations param etriques de l hyperbole donn ees Applications aux Existence et equations des tangentes aux des trois coniquesposs`ede une repr esentation param etriquet7 (x(t), y(t)) d erivable et de fonction d eriv ee jamaisnulle. Toute conique poss`ede donc en chaque pointM(t) une tangente dirig ee par le vecteur decomposantes (x (t), y (t)). On a d ej`a donn e l equation de la tangente `a une parabole (Document16). Pour l ellipse d equation r eduitex2a2+y2b2= 1, l equation de la tangente au point decoordonn ees (xo, yo) estxx0a2+yy0b2= pour l hyperbole d equation r eduitex2a2 y2b2= 1,3.

9 APPLICATIONS AUX TANGENTES203xx0a2 yy0b2= preuves sont tr`es semblables `a celle utilis ee pour la partir de ces equations on obtient celles des normales qui sont respectivement pour l ellipseet l hyperbole,(x x0)y0b2 (y y0)x0a2= 0,(x x0)y0b2+ (y y0)x0a2= trois coniques poss`edent dans tout rep`ereRune equation cart esienne dela formeP(x, y) = 0,P etant un polyn ome de degr e 2 (voir document 20 ). La fonction(x, y) P(x, y) etant de classeC1, la conique d equationP(x, y) = 0 poss`ede en chaque pointnon singulier de coordonn ees (x0, y0) dansRune tangente d equation(x x0) P x(x0, y0) + (y y0) P y(x0, y0) = 0.(non singulier : l une au moins des d eriv ees partielles n est pas nulle)Si par exemple,P(x, y) =x2a2+y2b2 1 on obtient pour l equation de la tangente(x x0)2x0a2+ (y y0)2y0b2= `es quelques calculs, on retrouve l equation de la tangente d ej`a obtenue `a partir de larepr esentation param etrique.

10 L inconv enient de cette m ethode est que d une part, elle n utilisepas les repr esentations param etriques et que d autre part, les outils math ematiques mis en jeu(th eor`eme des fonctions implicites,..) ne sont pas au programme de l oral du Propri et es des utilisant la d erivation vectorielle, l existence pourchaque conique d une repr esentation param etriquet7 (x(t), y(t)), d erivable et de fonctiond eriv ee jamais nulle permet d obtenir les propri et es suivantes des tangentes )SoitCune conique d efinie par une directriceD, un foyerF,une excentricit eeet soitM C. SiMappartient `a l axe focal alors la tangente enMest parall`ele `a la directrice et sinon, la tangente enM, la directrice et la perpendiculaireenF`aF Msont )SoitEune ellipse de foyersFetF.