Muestreo en Poblaciones Finitas

1 Muestreo en Poblaciones FinitasIntroducci n y Conceptos B sicosJos A. Mayor GallegoDepartamento de Estad stica e Investigaci n OperativaUniversidad de SevillaSeptiembre de 2011 INSTITUTO DE ESTAD STICA DE ANDALUC A. Curso de Muestreo . Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 1/32 Contenidos1 Objetivos y Metodolog aIntroducci nConceptos y Notaciones B sicasPar metros poblacionales usuales. Variable Cuantitativa2 Dise os MuestralesDise o Muestral Aleatorio Simple, MAS(N,n)Dise o Muestral de Bernoulli, MB(N,p)Dise o Muestral Sistem tico Uniforme, MAS(N,n)3 Probabilidades de Inclusi n4 Variables Indicadoras5 Dise os Muestrales Probabil sticos y Cuantificables6 Dise os Muestrales Simples y Complejos7 Estimaci n de Par metros8 Propiedades y Caracter sticas de los Estimadores9 Varianza y Error de Muestreo10 Bibliograf aINSTITUTO DE ESTAD STICA DE ANDALUC A. Curso de Muestreo . Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 2/32La Estad stica InferencialLa Inferencia Estad stica surge de la necesidad de estudiar unapoblaci n empleando una peque a parte de la misma,denominadamuestra, usualmente obtenida de obvia as el estudio exhaustivo o censo, que siendo unproceso m s costoso y lento, tiene su utilidad en muchosprocesos de la Estad stica P blica, pero presenta suslimitaciones cuando se quieren obtener resultados econ micos,ya sea en tiempo o en DE ESTAD STICA DE ANDALUC A.

2 Curso de Muestreo . Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 3/32 Estad stica Inferencial. Enfoque de modelo probababil sticoUna caracter stica asociada a cada elemento de una poblaci nse formaliza en una variable, Estad stica Inferencial cl sica o Estad stica Matem ticacl sica se desarrolla bajo la hip tesis de queYes una variablealeatoria. Enfoque de esta premisa, la muestra se formaliza comonvariablesaleatorias,(Y1,Y2,..,Yn)in dependientes e id nticamente distribuidas, es decir, un vectoraleatorio de componentes independientes y con la mismadistribuci n de probabilidad, heredada este enfoque, el tama o f sico de la poblaci n, denotadoporN, no tiene utilidad ni presencia ya que para lograr laindependencia, se presupone impl citamente que la poblaci nes inagotable o DE ESTAD STICA DE ANDALUC A. Curso de Muestreo . Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 4/32 Enfoque del Muestreo en Poblaciones FinitasLa variable de estudio,Y, no es aleatoria sino simplemente unvector de valores fijos,(y1,y2.)

3 ,yN)La muestra,m, se formaliza como un subconjunto o parte, denelementos seleccionados de la poblaci n, empleando unprocedimiento aleatorio,m={i1,i2,..,in}Con este enfoque, aparecen relaciones de dependenciaaleatoria en la selecci n de elementos. Las variables aleatorias,yi1,yi2,..,yinya no son procedimiento de selecci n de la muestra tiene ahora unimportante protagonismo pues condiciona el proceso deestimaci n DE ESTAD STICA DE ANDALUC A. Curso de Muestreo . Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 5/32 Objetivos de Muestreo en Poblaciones FinitasEstudiar diferentes formas de seleccionar muestras medianteprocedimientos aleatorios. Estado o fase de muestreopropiamente la teor a de estimaci n de par metros en el contextode las Poblaciones Finitas . Fase de estimaci n. La finalidad ltima de todo el proceso es precisamente la estimaci n depar la interconexi n existente entre procedimiento demuestreo y estimaci todo ello con situaciones en las cuales la poblaci n sesolapa con distintas estructuras de tipo administrativo comoprovincias o seciones censales, natural como sexo o edad, DE ESTAD STICA DE ANDALUC A.

4 Curso de Muestreo . Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 6/32 Conceptos y Notaciones B sicasPoblaci n,U. {1,2,3,..,N}.Muestra,m. Conn(m)elementos. El tama o muestral puede de estudio,Y= (y1,y2,y3,..,yN).Elemento poblacional,i U. Valor asociado de la metro poblacional, (Y). Es el objetivo de la estimaci n:Media, porcentaje, total, de (Y), (Y). Depende s lo de la muestra. Es unavariable aleatoria por ser la muestra DE ESTAD STICA DE ANDALUC A. Curso de Muestreo . Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 7/32 Par metros poblacionales usuales. Variable CuantitativaSi la variable de estudio es de naturaleza cuantitativa, como porejemplo estatura en metros o sueldo mensual en EUROS, lospar metros m s usuales son,Total poblacionalty=N i=1yi= i UyiMedia poblacionalyU=1NN i=1yi=1N i UyiINSTITUTO DE ESTAD STICA DE ANDALUC A. Curso de Muestreo . Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 8/32 Par metros poblacionales usuales.

5 Variable CuantitativaCuasivarianza poblacionalS2yU=1N 1 i U(yi yU)2=1N 1 i Uy2i 1N( i Uyi)2 Varianza poblacional 2yU=1N i U(yi y)2=1N i Uy2i 1N( i Uyi)2 =y2U y2U=N 1NS2yUOtros par metros menos usuales pero tambi n empleados paraanalizar las Poblaciones son la mediana poblacional, los percentilespoblacionales, el ndice de concentraci n de Gini poblacional o elcoeficiente de variaci n DE ESTAD STICA DE ANDALUC A. Curso de Muestreo . Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 9/32 Par metros poblacionales usuales. Variable CualitativaSi la variable de estudio es de naturalezacualitativa, como porejemplo tener coche propio, codificada S NO, o estado civil,codificado como SOLTERO, CASADO, SEPARADO, VIUDO, OTROS,el par metro m s usual es laproporci nasociada a cada uno de losvalores ejemplo, para el estado civil1,PS=1N {i U|yi=SOLTERO} =n mero de solterosNes la proporci n poblacional de solteros. Si la multiplicamos por 100,obtendremos el porcentaje poblacional de solteros.

6 De la mismaforma,PC=1N {i U|yi=CASADO} =n mero de casadosNes la proporci n poblacional de un conjunto, la notaci n|C|indica su cardinal, es decir, cu ntoselementos DE ESTAD STICA DE ANDALUC A. Curso de Muestreo . Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 10/32 Dise o MuestralEn la pr ctica, un m todo de Muestreo se realiza seleccionandosecuencialmente elementos, mediante un final nos encontramos con una muestra, de las muchaspotenciales que podr amos haber muestra tiene asociada una probabilidad, generada oinducida por el procedimiento : Un m todo de Muestreo tiene asociados unconjunto de muestras potenciales, y una distribuci n n: Un dise o muestral es un pard= (M,Pr),siendoMun conjunto de muestras yPruna distribuci n deprobabilidad sobreM, es decir, m MPr(m) =1 INSTITUTO DE ESTAD STICA DE ANDALUC A. Curso de Muestreo . Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 11/32 EjemploPara la poblaci n deN=5 elementos,U={1,2,3,4,5}la siguiente lista constituye o define un dise o muestral,m{1,3} {1,4} {1,5} {2,4} {2,5} {3,5} {1,3,5}Pr(m)0 10 10 10 10 10 10 4N tese que el tama o de muestra es DE ESTAD STICA DE ANDALUC A.

7 Curso de Muestreo . Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 12/32 Ejemplo. Dise o Muestral Aleatorio SimplePara la poblaci n deNelementos,U={1,2,3,..,N}SeaMel conjunto de los subconjuntos denelementos, siendon Nfijo. Hay(Nn).Y seaPrla distribuci n de probabilidad constante o uniforme sobreM, es decir,Pr(m) =1(Nn) m MDicho as queda muy te rico; es una mera formalizaci n que en lapr ctica no se emplea para seleccionar muestras aleatorias por suevidente dificultad t cnica cuandoNes tese que ahora el tama o de muestra es DE ESTAD STICA DE ANDALUC A. Curso de Muestreo . Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 13/32 Ejemplo. Dise o Muestral Aleatorio Simple. Muestreo Pr cticoPara la poblaci n deNelementos,U={1,2,3,..,N}Generamos n meros aleatorios enteros y distintos, entre 1 yN,ya sea con una tabla, una calculadora o cualquier otro m caso de que surjan elementos repetidos, se rechazar n,hasta disponer denelementos distintos, que constituir n este algoritmo genera el dise o muestral general, un Muestreo que d lugar a este dise o sedenominar Muestreo Aleatorio Simple, y se abreviar medianteMAS(N,n).

8 INSTITUTO DE ESTAD STICA DE ANDALUC A. Curso de Muestreo . Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 14/32 Ejemplo. Dise o Muestral Aleatorio Simple. Muestreo Pr cticoPara la poblaci n deNelementos,U={1,2,3,..,N}Generamos n meros aleatorios enteros y distintos, entre 1 yN,ya sea con una tabla, una calculadora o cualquier otro m caso de que surjan elementos repetidos, se rechazar n,hasta disponer denelementos distintos, que constituir n este algoritmo genera el dise o muestral general, un Muestreo que d lugar a este dise o sedenominar Muestreo Aleatorio Simple, y se abreviar medianteMAS(N,n).INSTITUTO DE ESTAD STICA DE ANDALUC A. Curso de Muestreo . Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 14/32 Ejemplo. Dise o Muestral de BernoulliEste dise o se genera mediante el siguiente algoritmo, denominadoMuestreo de Bernoulli,Dada la probabilidad 0<p<1, se recorre secuencialmente lapoblaci n,U={1,2,3,..,N}y cada elementoies seleccionado con probabilidadp,independientemente de los dem muestramest constitu da por los elementos este dise o, que se denota MB(N,p),Mel conjunto de todoslos subconjuntos deU; hay 2 Nmuestras potenciales.

9 El tama omuestraln(m)es una variable aleatoria con distribuci n binomial quepuede tomar todos los valores enteros entre 0 probabilidad de una muestra ser ,Pr(m) =pn(m)(1 p)N n(m)INSTITUTO DE ESTAD STICA DE ANDALUC A. Curso de Muestreo . Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 15/32 Ejemplo. Dise o Muestral Sistem tico UniformeSe genera mediante el siguiente algoritmo, denominado MuestreoSistem tico Uniforme de pasok,Dadok<=N, se genera un n mero aleatorio entero, , entre muestra es,m={ , +k, +2k, }Para este dise o, que se denota MS(N,k),Mel conjunto de laskposibles muestras cuyo elemento inicial est entre 1 yk. Laprobabilidad de una muestra esPr(m) =1 m ltiplo dek,N=nk, hay exactamentenbloques dekelementos, y todas las muestras posibles tienen tama o fijo, caso contrario,N=nk+r, existe un bloque adicional derelementos, por lo que, dependiendo del inicio, unas muestras tendr ntama on+1 y otrasnINSTITUTO DE ESTAD STICA DE ANDALUC A. Curso de Muestreo .

10 Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 16/32 MAS(N,n), MB(N,n)y MS(N,k)con RMuestreo Aleatorio Simple con R. MAS(N,n).muestra=sample(N,n) Muestreo de Bernouilli con R. MB(N,p).muestra=c()for (i in 1:N)if (runif(1)<=p) muestra=c(muestra,i) Muestreo Sistem tico con R. MS(N,k).gamma=1+trunc(k*runif(1))muestra =c()while(gamma <= N)muestra=c(muestra,gamma);gamma=gamma+k INSTITUTO DE ESTAD STICA DE ANDALUC A. Curso de Muestreo . Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 17/32 Probabilidades de Inclusi nDado un dise o muestral,d= (M,Pr), si seleccionamos unamuestra aleatoriam, un elementoi, o una parejai,jpueden estar ono en ella. Definimos,Probabilidades de Inclusi n de Primer Orden. i=Pr[i m] i UProbabilidades de Inclusi n de Segundo Orden. ij=Pr[i,j m] i,j UNOTA: ii= iINSTITUTO DE ESTAD STICA DE ANDALUC A. Curso de Muestreo . Septiembre 2011 Introducci n al Muestreo en Poblaciones FinitasCB 18/32 Ejemplo B sicom{1,3} {1,4} {1,5} {2,4} {2,5} {3,5} {1,3,5}Pr(m)0 10 10 10 10 10 10 4 Sumamos las probabilidades de las muestras favorables ai mparalas i, y ai,j mpara las ij, 2=Pr({2,4}) +Pr({2,5}) =0 1+0 1=0 2 3=Pr({1,3}) +Pr({3,5}) +Pr({1,3,5}) =0 1+0 1+0 4=0 6 13=Pr({1,3}) +Pr({1,3,5}) =0 1+0 4=0 5 14=Pr({1,4}) =0 1 12= DE ESTAD STICA DE ANDALUC A.