Tema 2.- ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE …

1 Tema ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DEORDEN SUPERIORA mpliaci n de Matem a T cnica Industrial. Especialidad en Electr nica Industrial. ndice General1 Introducci n12 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES homog neas33 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES homog neas de coeficientes constantes. Obtenci nde la soluci n general44 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES no homog Estudio de algunos sistemas f sicos que conducen a una ecuaci n diferencial ordinaria P ndulo .. P P Circuitoel CircuitoLCRconunafuentedetensi nsinusoidal.

2 Soluci ndelosproblemasdevaloresiniciales .. Ecuaci nx00+ 2x= Ecuaci nx00+1 x0+ 2x= Ecuaci nx00+1 x0+ 2x=A0cos 231 Introducci nA lo largo de este tema expondremos algunas propiedades que poseen las LINEALES de ordennyse desarrollar n m todos generales para determinar sus soluciones. Prestaremos especial atenci n a lasecuaciones DIFERENCIALES LINEALES de segundo n diferencial lineal de ordenna toda ecuaci n que se puede expresar en laformayn)+a1(x)yn 1)+ +an 1(x)y0+an(x)y=f(x)(1)para la que admitimos que los coeficientesai(x),i=1,2,.. ,ny el segundo miembrof(x)son funcionesdefinidas en un intervaloI ecuaci n (1) se dicehomog neaoincompletasif(x)=0para todox I.

3 En caso contrario,se diceno homog 2. LINEALES de orden superior. Ampliaci n de Matem ticas. Esp. Electr nica de valor inicialasociado a la ecuaci n diferencial (1) es yn)+a1(x)yn 1)+ +an 1(x)y0+an(x)y=f(x)y(x0)=y0y0(x0)= 1)(x0)=yn 1)0(2)dondex0 Iey0,y00,.. ,yn 1)0son constantes el teorema siguiente se muestran condiciones suficientes para la existencia de una nica soluci ndel problema de valor (Existencia y unicidad)Si las funcionesa1(x),a2(x),.. ,an(x)yf(x)son continuas en un intervalo abiertoIque con-tiene al puntox0, entonces el problema de valores iniciales (2) posee una nica soluci n, para cada y0,y00.

4 ,yn 1)0 Rn,definida en dicho lo que sigue supondremos que loscoeficientesa1(x),a2(x),.. ,an(x)y el segundo miembrof(x)de la ecuaci n (1) son funciones continuas en alg n intervaloI. De esta forma, tendremos garantizadoque la ecuaci n (1) tienen infinitas soluciones definidas en el continuaci n introduciremos algunos conceptos que se utilizar n en el estudio de las propiedadesde las n , g1,g2,.. ,gkfunciones reales definidas en el dice que la funci ngescombinaci n linealde las funcionesg1,g2,.. ,gken el intervaloI,cuando existenkn meros realesC1,C2.

5 ,Cktales queg(x)=C1g1(x)+C2g2(x)+ +Ckgk(x), x ISe dice que las funcionesg1,g2,.. ,gksonlinealmente independientes( ) en el intervaloIcuandolos nicos n meros realesC1,C2,.. ,Ckpara los que se verifica la igualdadC1g1(x)+C2g2(x)+ +Ckgk(x)=0, x IsonC1=C2= =Ck= caso contrario, se dicelinealmente las funcionesg1,g2,.. ,gktienen derivadas sucesivas hasta el ordenk 1en el intervaloI,sellamawronskianode las funcionesg1,g2,.. ,gka la funci n que denotaremos porW(g1,g2,.. ,gk)osimplementeW,talqueW:I RW(x)= g1(x)g2(x) gk(x)g01(x)g02(x) g0k(x).

6 Gk 1)1(x)gk 1)2(x) gk 1)k(x) , x I,donde se debe entender que el segundo miembro es el determinante cuyasfilas sucesivas est n determi-nadas por las funcionesgi, y sus derivadas sucesivas hasta el ordenk ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES homog neasTeorema las funcionesy1,y2,.. ,ynsonnsoluciones en el intervaloIde la ecuaci n linealhomog neayn)+a1(x)yn 1)+ +an 1(x)y0+an(x)y=0,(3)entonces, toda funci n de la formaC1y1+C2y2+ +Cnyn, dondeC1,C2,.. ,Cn R, tambi n essoluci n de la ecuaci 2. LINEALES de orden superior. Ampliaci n de Matem ticas.

7 Esp. Electr nica es, toda combinaci n lineal de soluciones deuna ecuaci n lineal homog nea es tambi n soluci nde dicha ecuaci 1 Seany1,y2,.. ,ynnsoluciones en el intervaloIde la ecuaci nyn)+a1(x)yn 1)+ +an 1(x)y0+an(x)y=0,yseax0 ,y2,.. ,ynson linealmente dependientes enIsi y s lo si su wronskiano en el puntox0se ,y2,.. ,ynson linealmente independientes enIsi y s lo si su wronskiano en el puntox0no ,y2,.. ,ynsonnsoluciones en el intervaloIde la ecuaci nyn)+a1(x)yn 1)+ +an 1(x)y0+an(x)y=0,entonces cada soluci n de la ecuaci n (3) puede expresarse en la formaC1y1+C2y2+ +Cnyn,para algunas constantesC1,C2.

8 ,Cn lo anterior se desprende que la soluci n generalde una ecuaci n diferencial lineal homog nea vienedada por todas las combinaciones LINEALES de tantas soluciones como orden tiene dicha ecuaci s en la soluci n general, est n dadas todas las soluciones que tiene dicha ecuaci , el problema de encontrar la soluci n general de una ecuaci n lineal homog nea, se reduce al deencontrar tantas soluciones particulares linealmente independientes de dicha ecuaci n, como orden tengadicha ecuaci n. Por ello nos surge la siguiente pregunta: Existennsoluciones linealmente independientesde la ecuaci n homog nea de ordenn?

9 Cuandoloscoeficientesa1(x),a2(x),.. ,an(x)son funcionescontinuas en alg n intervaloI, como se ha venido suponiendo, del teorema 1 se puede deducir que larespuesta es afirmativa. Basta tener en cuenta que dicho teorema asegura que haynsoluciones distintaspara losnproblemas de valor inicial correspondientes a la ecuaci n homog nea en los que y0,y00,.. ,yn 1)0 sean respectivamente los vectores(1,0,.. ,0),(0,1,.. ,0),(0,0,.. ,1).Adem s dichas soluciones son linealmente independientes puesto que su wronskiano en el puntox0esno un procedimiento para obtener este conjunto de soluciones en el caso de un ecuaci n dife-renciallinealdecoeficientes ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES homog neas de coeficientesconstantes.

10 Obtenci n de la soluci n generalEn este apartado consideraremos nicamente ECUACIONES LINEALES homog neas con coeficientes constantes,y veremos c mo obtener soluciones linealmente independientes. Expondremos las ideas para ecuacionesde orden de la ecuaci n lineal homog nea de orden dos, con coeficientes constantesy00+a1y0+a2y=0(4)Tema 2. LINEALES de orden superior. Ampliaci n de Matem ticas. Esp. Electr nica encontrar soluciones de esta ecuaci n, ensayaremos soluciones de la formay= , observamos quey=erxes soluci n de (4) (erx)00+a1(erx)0+a2(erx)=0 erx r2+a1r+a2 =0 r2+a1r+a2=0 Por tanto, las soluciones de la ecuaci nr2+a1r+a2=0, llamadaecuaci n caracter sticade laecuaci n (4), nos determina los n merosrpara los quey=erxes soluci n de (4).