SISTEMAS DE COORDENADAS Y CONCEPTOS …

1 P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM SISTEMAS de COORDENADAS y CONCEPTOS b sicos Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 1 SISTEMAS DE COORDENADAS Y CONCEPTOS B SICOS UNIDAD IV IV. 1 SISTEMA COORDENADO UNIDIMENSIONAL Existe una correspondencia biyectiva o biun voca entre el conjunto de los n meros reales y el de los puntos de una recta. A esta recta que tiene un origen, un sentido y en donde se pueden ubicar todos los n meros reales se le conoce como sistema coordenado unidimensional. Gr ficamente esto es: La notaci n habitual para localizar un punto es: ()xP. Por ejemplo, para ubicar los puntos ()()()()57450624321 P,.P,.P,.P, simplemente se localiza su respectivo valor en la numeraci n y se le marca. Se define como abscisa de un punto a la distancia del origen al punto en magnitud y signo.

2 La distancia dirigida ()dd que existe de un punto 1P a un 2P viene dada por el valor final menos el inicial: 12 PPdd =. La distancia ()d entre dos puntos 1P y 2P est dada por el valor final menos el inicial pero en valor absoluto, esto es: 12 PPd =. Es decir, la diferencia que existe entre distancia dirigida y distancia entre dos puntos es que en la primera se toma en cuenta el signo y su magnitud, y en la segunda s lo se toma su magnitud. Se mide en unidades ().u Ejemplo. Encontrar la distancia dirigida y la distancia entre los siguientes pares de puntos: 1) ()31P y ()62 P Soluci n: .udd936 = = y .ud9936= = = P1x014325-1-2-3-4-5P4P2P3P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM SISTEMAS de COORDENADAS y CONCEPTOS b sicos Autor: Dr.

3 Jos Manuel Becerra Espinosa 2 2) () 1P y 6352P Soluci n: 141593. y 83335635. (). = = (). = = IV. 2 SISTEMA COORDENADO BIDIMENSIONAL Es un sistema formado por dos ejes num ricos perpendiculares donde su origen es el punto en que se cruzan. Se genera estableciendo una correspondencia biun voca entre los puntos de un plano y los elementos de todas las parejas ordenadas de n meros reales. Esto quiere decir que se genera un plano a partir de una infinidad de puntos. Se forman cuatro regiones llamadas cuadrantes. El eje horizontal ()x recibe el nombre de eje de las abscisas. El eje vertical ()y recibe el nombre de eje de las ordenadas. Para ubicar un punto en el plano se utiliza la siguiente notaci n: ()y,xP Ejemplo. Ubicar los siguientes parejas ordenadas en el plano: ()()()()()()05420 54311238427654321.

4 P,,P,,P,,P,,P,,P,,P Soluci n: x 14325-1-2-3-4-5 Cuadrante I(+, +)12345y-1-2-3-4-5 Cuadrante IV(+, -)Cuadrante III(-, -)Cuadrante II(-, +)P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM SISTEMAS de COORDENADAS y CONCEPTOS b sicos Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 3 Ejemplos. Dados los siguientes conjuntos, obtener el producto cartesiano correspondiente: 1) {}{}210321,,B,,,A== Soluci n. El conjunto soluci n a este producto cartesiano son nueve puntos discretos formado por las parejas ordenadas. ()()()()()()()()(){}231303221202211101,, ,,,,,,,,,,,,,,,BA= Gr ficamente esto es: x14325-1-2-3-4-51245y-1-2-3-4-53 2) {}R =x,xxA31, {}R ==y,xyB20 Soluci n. El conjunto soluci n a este producto cartesiano es una superficie plana de forma rectangular limitada tanto en x como en y.

5 Gr ficamente esto es: x14325-1-2-3-4-5P2 ( ,-2)1245y-1-2-3-4-53P3 (-1,1)P1 (2,4)P4 (3,-4)P5 (-5, )P6 (0,2)P7 ( ,0)P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM SISTEMAS de COORDENADAS y CONCEPTOS b sicos Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 4 3) {}R =xxA, {}R ==yyB Soluci n. El conjunto soluci n a este producto cartesiano es una superficie plana ilimitada tanto en x como en y. Gr ficamente esto es: Como puede deducirse, el sistema coordenado bidimensional est constituido por el producto cartesiano de los n meros reales (en x) por los n meros reales (en y), es decir, R2= R R. IV. 3 SISTEMA COORDENADO TRIDIMENSIONAL Es un sistema formado por tres ejes num ricos perpendiculares donde su origen es el punto en que se cruzan. Se forma estableciendo una correspondencia biun voca entre los puntos de un espacio y los elementos de todas las ternas ordenadas de n meros reales.

6 Esto quiere decir que se genera un volumen a partir de una infinidad de puntos. x14325-1-2-3-4-51245y-1-2-3-4-53x14325-1 -2-3-4-51245y-1-2-3-4-53P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM SISTEMAS de COORDENADAS y CONCEPTOS b sicos Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 5 Se forman ocho regiones llamadas octantes. El eje x recibe el nombre de eje de las abscisas. El eje y recibe el nombre de eje de las ordenadas. El eje z recibe el nombre de eje de las cotas. Para ubicar un punto en el espacio se utiliza la siguiente notaci n: ()z,y,xP, es decir de forma similar que en un plano. IV. 4 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean ()111y,xP y ()222y,xP dos puntos cualesquiera en el plano: Al formarse un tri ngulo, se observa que los catetos son las diferencias de ordenadas y de abscisas.

7 Ahora, recordando el teorema de Pit goras expuesto en la unidad II: 222bac+= y aplic ndolo se tiene: ()()2122122yyxxd + = despejando d se obtiene la f rmula para encontrar la distancia entre dos puntos: yzxx1z1y1P(x1, y1, z1)yxx2y2y1dx1P(x2, y2)P(x1, y1)x2-x1y2-y1P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM SISTEMAS de COORDENADAS y CONCEPTOS b sicos Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 6 ()()212212yyxxd + = Ejemplos. Obtener la distancia entre los siguientes pares de puntos: 1) ()541 ,P y ()172 ,P Soluci n. ()()().ud5251694351472222==+=+= + = 2) ()1161 ,P y ()1312,P Soluci n. ()()()().ud25625576492471113612222==+=+= + = 3) 47411,P y 815832,P Soluci n..ud8266426641642581854781541832222==+= + = + = 4) () ,P21 y ()170052.,P Soluci n. Utilizando tres cifras decimales: ()()()() += + = + =.

8 = Ejemplo. Si los puntos ()221 ,P, ()312,P y ()353 ,P son los v rtices de un tri ngulo, obtener su per metro. x14325-1-2-3-4-51245y-1-2-3-4-53P1 (1,3)P2 (-2,-2)P3 (5,-3)P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM SISTEMAS de COORDENADAS y CONCEPTOS b sicos Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 7 la distancia entre 1P y 2P es: ()()()()3425953232122221=+=+= + =d la distancia entre 1P y 3P es: ()()()52361664331522222=+= += + =d la distancia entre 2P y 3P es: ()()()()()5014917232522223=+= += + =d Por tanto, el per metro viene dado por la suma de sus tres lados: . ++ ++=++= Ejemplo. Sea el punto ()341 ,P y el punto ()102,xP, obtener la abscisa de 2P de tal manera que la distancia que los separe sea 15 unidades. Soluci n. Sustituyendo los datos en la f rmula se tiene: ()()()()()169413431041522222+ =+ = + =xxx despejando x se tendr n dos soluciones de 2x: ()()564564169225169415222 = = = + =xxx x y x, por lo que los puntos buscados son aproximadamente: ()1048111.

9 P y el punto ()104831,.P En el espacio, la f rmula de distancia entre dos puntos se deduce de forma similar que en dos dimensiones, considerando que la distancia es un segmento de recta que pertenece a un plano. Esto es, si se tienen los puntos ()1111z,y,xP y ()2222z,y,xP, la distancia que los separa es: ()()()212212212zzyyxxd + + = Gr ficamente, es: yzxx1z1y1P1 (x1, y1, z1)P2 (x2, y2, z2)dz2x2y2P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM SISTEMAS de COORDENADAS y CONCEPTOS b sicos Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 8 Ejemplo. Obtener la distancia entre los puntos: ()5721,,P y ()21182,,P Soluci n. ()()()()()()().ud12591610034105271128222 222=++= + + = + + = IV. 5 DIVISI N DE UN SEGMENTO EN UNA RAZ N DADA Dividir un segmento dirigido en una raz n dada significa segmentarlo en partes de forma tal que se encuentren las COORDENADAS de un punto ()y,xP que satisface la comparaci n entre dos magnitudes.

10 En general, si la raz n es de la forma bar=, implica que el segmento se divide en ba+ partes. Por ejemplo, si 47=r, el segmento se divide en 11 partes iguales. Sean los puntos ()111y,xP y ()222y,xP, as como el segmento de recta que los une: Sea un punto ()y,xP que pertenezca al segmento. Si se forman los tri ngulos mostrados, se observa que son semejantes. Esto es: rxxxx= 21 y ryyyy= 21 donde r es la raz n de proporcionalidad de semejanza. Si se despeja x de la primera ecuaci n se tiene: ()xxrxx = 21 xrxrxx = 21 21rxxrxx+=+ ()211xrxrx+=+, que implica: yxP(x,y)P2(x2, y2)P1(x1, y1)x-x1y2-yy-y1x2-xP gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM SISTEMAS de COORDENADAS y CONCEPTOS b sicos Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa 9 rxrxx++=121 an logamente se puede encontrar que: ryryy++=121 expresiones que sirven para obtener las COORDENADAS de un punto que divide a un segmento en una raz n dada.