DISCUSIÓN DE ECUACIONES ALGEBRAICAS …

1 P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM Discusi n de ECUACIONES ALGEBRAICAS Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa DISCUSI N DE ECUACIONES ALGEBRAICAS . UNIDAD V. Existen dos problemas fundamentales en la Geometr a Anal tica: 1. Dada una ecuaci n hallar el lugar geom trico que representa. 2. Dado un lugar geom trico definido por determinadas condiciones, hallar su ecuaci n matem tica. 1er Problema Ecuaci n Gr fica 2 Problema V. 1 CONCEPTO DE LUGAR GEOM TRICO. Un lugar geom trico es un conjunto de puntos que satisfacen una determinada condici n. La soluci n de un problema de lugares geom tricos es una ecuaci n, la ecuaci n de todos los puntos que cumplen la dicha condici n. Por ejemplo, el lugar geom trico formado por la condici n y = x 2 es: y x y 50. -7 49 45. -6 36. 40. -5 25. -4 16 35. -3 9. -2 4 30. -1 1 25. 0 0. 20.

2 1 1. 2 4 15. 3 9. 4 16 10. 5 25 5. 6 36. 7 49. -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 x 1. P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM Discusi n de ECUACIONES ALGEBRAICAS Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa El lugar geom trico se forma a partir de todos los puntos que satisfacen la condici n, es decir, su gr fica representa la uni n de una infinidad de puntos. Sin embargo, en la pr ctica se toma como referencia las parejas ordenadas que se obtienen de la tabulaci n y se unen. Para el ejemplo anterior son: ( 5,25), ( 4,16), ( 3,9), ( 2,4), ( 1,1), (0,0), (1,1), (2,4), (3,9), (4,16) y ( 5,25). Puede apreciarse que el punto A ( 5, 15) no pertenece al lugar geom trico, ya que si se sustituyen los valores, no satisface la ecuaci n. V. 2 DISCUSI N DE UNA CURVA. Para trazar una gr fica, el procedimiento consiste en localizar puntos derivados de una tabulaci n y dibujar una l nea continua que pasa por todos ellos.

3 Sin embargo, no todas las gr ficas son continuas y por lo tanto, este procedimiento no es v lido ya que se introducir an errores en el trazado de las gr ficas. Para evitar errores de este tipo se debe realizar una investigaci n preliminar de la ecuaci n antes de trazar la curva. A esto se le conoce como discusi n de una curva a trav s del m todo de los seis pasos. Las caracter sticas por analizar son: 1) Intersecciones con los ejes 2) Simetr a 3) Extensi n o campo de variaci n 4) As ntotas 5) Tabulaci n 6) Trazado de gr fica. INTERSECCIONES CON LOS EJES. Son los puntos en que la gr fica del lugar geom trico corta a los ejes coordenados. Para hallar la intersecci n con el eje x se hace y = 0 en la ecuaci n dada y se despeja la variable x. An logamente, para hallar la intersecci n con el eje y se hace x = 0 y se despeja y. SIMETR A.

4 Existen tres casos posibles de simetr a para un lugar geom trico: a) Una curva es sim trica con respecto al eje x si para cada valor de x se obtienen dos valores iguales pero de signos contarios de y . Por lo tanto, si una ecuaci n no se altera al sustituir y por y , su representaci n gr fica o lugar geom trico es sim trica respecto al eje x . b) Una curva es sim trica con respecto al eje y si para cada valor de y se obtienen dos valores iguales pero de signos contarios de x . Por lo tanto, si una ecuaci n no se altera al sustituir x por x , su representaci n gr fica o lugar geom trico es sim trica respecto al eje y . c) Una curva es sim trica con respecto al origen si para cualquier punto que pertenezca al primer cuadrante equidista de otro punto que est en el tercer cuadrante o, si para cualquier punto que se ubique en el segundo cuadrante, equidista de otro punto que se localice en el cuarto cuadrante.

5 Por lo tanto, si una ecuaci n no se altera al sustituir x por x y y por y simult neamente, su representaci n gr fica o lugar geom trico es sim trica respecto al origen. 2. P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM Discusi n de ECUACIONES ALGEBRAICAS Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa EXTENSI N. La extensi n de una curva es la determinaci n de los intervalos de variaci n para los cuales los valores de las variables x y y son reales. Los valores de cada una de las variables para las cuales la otra se hace imaginaria, carecen de sentido. Aqu se pueden presentar dos opciones: a) Que se tenga un cociente. Aqu lo que debe evitarse es que el denominador se haga cero. b) Que tenga un radical con ndice par. Aqu lo que debe cuidarse es que su argumento sea positivo o cuando menos igual a cero. Si no sucede ninguna de las dos opciones anteriores, entonces existe la gr fica en x para toda y y en y para toda x.

6 AS NTOTAS. Si para una curva dada existe una recta tal que a medida que un punto de la curva se aleja indefinidamente de su origen, la distancia de ese punto a la recta decrece continuamente y tiende a cero, dicha recta se llama as ntota de la curva. Las as ntotas pueden ser horizontales o verticales (aunque en t rminos gen ricos pueden tener cualquier inclinaci n). Un lugar geom trico tiene: Una as ntota vertical cuando crece indefinidamente si x tiende a un valor finito. Una as ntota horizontal cuando a medida que x crece indefinidamente, la funci n tiende a un n mero finito. Un lugar geom trico puede tener m s de una as ntota horizontal o vertical y s lo existen si hay expresiones racionales de las formas: p (x ) p( y ). f (x ) = g(y) =. q (x ) q( y ). o En el caso de las funciones racionales, las as ntotas verticales se deducen de la expresi n despejada para y y de los valores de x que no est n en el dominio de la funci n, es decir, los que anulan el denominador.

7 1. Por ejemplo, la curva y = x=3. (x 3)(x + 5) tiene dos as ntotas verticales: una en y la otra en x = 5 . En el caso de las funciones racionales, las as ntotas horizontales se deducen de la expresi n despejada para x y de los valores de y que anulan el denominador. 1. Por ejemplo, la curva x = y = 0, y = 2, ( ). y y 4 (2 y + 12). 2 tiene cuatro as ntotas horizontales: en y = 2 y en y = 6 . Este paso es una consecuencia directa de la extensi n. 3. P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM Discusi n de ECUACIONES ALGEBRAICAS Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa TABULACI N. Es el c lculo de las coordenadas de un n mero suficiente de puntos (al menos diez) para obtener una gr fica adecuada. Por lo general, se sustituye el valor de x en la ecuaci n despejada para y en el paso tres. Siempre deben darse los valores de x con base en la extensi n obtenida y as obtener y , o viceversa.

8 TRAZADO DE LA CURVA. Una vez efectuada la tabulaci n, se procede a localizar los puntos encontrados en el quinto paso y unirlos mediante una l nea continua. Debe tenerse cuidado en trazar por anticipado las as ntotas (si las hay). Ejemplos. Discutir las siguientes curvas, mediante el m todo de los seis pasos: 1) xy 3 y 5 x = 0 (1). Soluci n. Intersecciones con los ejes * Con respecto al eje x ( y = 0). x (0) 3(0) 5 x = 0. 0. 5x = 0 x= =0. 5. la curva corta al eje x en 0. * Con respecto al eje y ( x = 0 ). (0) y 3 y 5(0) = 0. 0. 3y = 0 y = =0. 3. la curva corta al eje y en 0. Simetr a * Con respecto al eje x ( y por y ). x ( y ) 3( y ) 5 x = 0. xy + 3 y 5 x = 0 (2). Como (1) (2 ) , la curva no es sim trica con respecto al eje x . * Con respecto al eje y ( x por x ). xy 3 y 5( x ) = 0. xy 3 y + 5 x = 0 (3). Como (1) (3) la curva no es sim trica con respecto al eje y.

9 * Con respecto al origen ( x por x ) y ( y por y ). ( x)( y ) 3( y ) 5( x) = 0. xy + 3 y + 5 x = 0 (4 ). Como (1) (4) la curva tampoco es sim trica respecto al origen. 4. P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM Discusi n de ECUACIONES ALGEBRAICAS Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa Extensi n * Se despeja la ecuaci n (1) para x: 3y xy 5 x 3 y = 0 xy 5 x = 3 y x ( y 5) = 3 y x=. y 5. x y excepto en y=5. * Se despeja la ecuaci n (1) para y : y ( x 3) = 5 x (5). 5x xy 5 x 3 y = 0 xy 3 y = 5 x y=. x 3. y x excepto en x=3. As ntotas y=5. x=3. Tabulaci n Sustituyendo valores de x en (5) para obtener valores de y: x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10. y 2 0 -10 No definido 20 10 8 Trazado de gr fica x=3. y 20. 16. 12. 8. y=5. 4. -4 -2. -4. 2 4 6 8 10 12 x -8. -12. 2) x y = 16. 2. (1). Soluci n. Intersecciones con los ejes * Con respecto al eje x ( y = 0).

10 X 2 (0) = 16. 0 = 16 no hay intersecci n 5. P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM Discusi n de ECUACIONES ALGEBRAICAS Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa * Con respecto al eje y (x = 0). (0) 2 y = 16. 0 = 16 no hay intersecci n Simetr a * Con respecto al eje x (y por y ). x 2 ( y ) = 16. x 2 y = 16 (2). Como (1) (2) , la curva no es sim trica con respecto al eje x. * Con respecto al eje y (x por x ). ( x) y = 16. 2. x 2 y = 16 (3). Como (1) = (3) la curva si es sim trica con respecto al eje y. * Con respecto al origen ( x por x ) y ( y por y ). ( x) 2 ( y ) = 16 = 0. x 2 y = 16 (4). () ( ). Como 1 4 la curva tampoco es sim trica respecto al origen. Extensi n * Se despeja la ecuaci n (1) para x: 16. x 2 y = 16 x 2 =. y 16. x=. y * Se despeja la ecuaci n (1) para y: x 2 y = 16. (5). y=. 16. x2. y x excepto en x = 0.