{x P(x) {x1 ,x 2 ,x - UNAM - DGENP - México

1 P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM Conjuntos Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa CONJUNTOS. UNIDAD I. DEFINICI N DE CONJUNTO. Un conjunto es un grupo de elementos u objetos especificados en tal forma que se puede afirmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la agrupaci n. Para denotar a los conjuntos, se usan letras may sculas. Cuando un elemento x1 pertenece a un conjunto A se expresa de forma simb lica como: x1 A . En caso de que un elemento y1 no pertenezca a este mismo conjunto se utiliza la notaci n: y1 A. Existen cuatro formas de enunciar a los conjuntos: 1) Por extensi n o enumeraci n: los elementos son encerrados entre llaves y separados por comas. Es decir, el conjunto se describe listando todos sus elementos entre llaves. 2) Por comprensi n: los elementos se determinan a trav s de una condici n que se establece entre llaves. En este caso se emplea el s mbolo | que significa tal que".

2 En forma simb lica es: A={ x P (x ) } = { x1 , x 2 , x3 , , xn }. que significa que el conjunto A es el conjunto de todos los elementos x tales que la condici n P(x ) es 1. verdadera, como x1 , x2 , x3 , etc . 3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas que sirven para visualizar el contenido de un 2. conjunto o las relaciones entre conjuntos . 4) Por descripci n verbal: Es un enunciado que describe la caracter stica que es com n para los elementos. Ejemplo. Dada la descripci n verbal el conjunto de las letras vocales , expresarlo por extensi n, comprensi n y por diagrama de Venn. Soluci n. Por extensi n: V = { a ,e ,i ,o ,u }. a i Por comprensi n: V = x { x es una vocal }. Por diagrama de Venn: o e u V. 1. La notaci n P( x ) no representa un producto, es una condici n que deben satisfacer los elementos para pertenecer a un conjunto. 2. En el caso particular de que un conjunto tenga un s lo elemento num rico, a menos de que se haga la distinci n, no representa el n mero de elementos que posee el conjunto.

3 1. P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM Conjuntos Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa Ejemplo. Expresar de las tres formas al conjunto de los planetas del sistema solar. Soluci n. Por extensi n: P = { Mercurio,Venus,Tierra , Marte, J piter , Saturno,Urano, Neptuno, Plut n }. Por comprensi n: P = x { x es un planeta del sistema solar }. Por diagrama de Venn: Urano Neptuno Marte Saturno Plut n J piter Mercurio Venus Tierra P. Si cada elemento de un conjunto A es tambi n un elemento del conjunto B , se dice que A es un subconjunto de B . La notaci n A B significa que A est incluido en B y se lee: A es subconjunto de B o A est contenido en B . Si no todos los elementos de un conjunto A son elementos del conjunto B , se dice que A no es subconjunto de B . En este caso la notaci n A B significa que A no es un subconjunto de B . Gr ficamente, esto es: B B B. A. A A. A B A B A B. B A B A B A. En los ejemplos anteriores, si F = { a ,e ,o } es el conjunto de las vocales fuertes y S = { Mercurio,Venus } es el conjunto de planetas que no poseen sat lites, entonces se cumple que: F V y que S P.

4 De la misma forma, n tese como: F P , S V , F S y S F . La cardinalidad de un conjunto se define como el n mero de elementos que posee. Se denota por medio de los s mbolos o # . De los conjuntos anteriores: (V ) = 5 , (F ) = 3 , (P ) = 9 y (S ) = 2 . 2. P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM Conjuntos Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa CONJUNTOS CON NOMBRES ESPEC FICOS. Un conjunto vac o o nulo es aquel que no posee elementos. Se denota por: o bien por { } . El conjunto vac o siempre forma parte de otro, as que es subconjunto de cualquier conjunto. Ejemplos. ={ x x son los dinosaurio s que viven en la actualidad }. { }= { x x son los hom bres mayores de 300 a os }. ={ x x son n meros positivos menores que cero }. Un conjunto universal es aquel que contiene a todos los elementos bajo consideraci n. Se denota por U . Gr ficamente se le representar mediante un rect ngulo. Ejemplos. U ={ x x son los d as de la semana } = {lunes , martes , mi rcoles , jueves ,viernes , s bado , domingo }.

5 A={ x x son los d as de la semana inglesa } = { lunes, martes, mi rcoles, jueves, viernes }. B ={ x x son los d as del fin de semana } = { s bado,domingo }. C ={ x x son los d as de la semana con menos de siete letras } = { lunes, martes, jueves, s bado }. N tese c mo: A U , B U, C U. Un conjunto finito es aquel cuyos elementos pueden ser contados. Ejemplos. J ={ x x es el n mero de un d a del mes de junio }. K= {x x2 = 4 }. L ={ x x es la cantidad de autos en la ciudad de M xico }. Un conjunto infinito es aquel cuyos elementos no pueden ser contados, es decir, su cardinalidad no est definida. Ejemplos. N = {1,3,5,7 ,9 ,11, }. M = { 2 , 4 ,6 ,8,10,12, }. Q={ x x es la cantidad de puntos en una l nea }. Dos conjuntos son iguales si tienen exactamente los mismos elementos. Se denota por el s mbolo = . Ejemplo. R = {1, 2,3, 4,5,6,7 ,8,9 ,0 }. S ={ x x es un d gito }. R=S. Dos conjuntos son desiguales si por lo menos difieren en un elemento, es decir, si no tienen exactamente los mismos elementos.

6 Se denota por el s mbolo . 3. P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM Conjuntos Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa Ejemplo. D= x { x2 = 9 }. E = { 2, 2 }. D E. Dos conjuntos son equivalentes si tienen la misma cantidad de elementos, es decir, si poseen la misma cardinalidad. Se denota por el s mbolo . Ejemplos. W = {x x son las estaciones del a o }. Z = {x x es un punto cardinal }. (W ) = 4. (Z ) = 4. W Z. Cuando los conjuntos son equivalentes existe una correspondencia uno a uno o biun voca. Esto significa que se puede establecer una relaci n que asocie a cada elemento del primer conjunto con un nico elemento del segundo conjunto sin que sobren elementos en ning n conjunto. En el ejemplo anterior: Primavera Norte Verano Sur Oto o Este Invierno Oeste W Z. OPERACIONES CON CONJUNTOS. La uni n de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos de A con todos los elementos de B sin repetir ninguno y se denota como A U B.

7 Esto es: AU B = { x x A o x B}. Gr ficamente: 4. P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM Conjuntos Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa AU B U. A B. Ejemplo. A = { mango,ciruela,uva , naranja , manzana , sand a }. B = { durazno ,mel n ,uva ,naranja , sand a , pl tano }. A U B = { mango,ciruela,uva , naranja , manzana , sand a , durazno, mel n, pl tan o }. La intersecci n de los conjuntos A y B es el conjunto de los elementos de A que tambi n pertenecen a B y se denota como A I B . Esto es: AI B = { x x A y x B }. Gr ficamente: AI B U. A B. Ejemplo. A = { mango,ciruela,uva , naranja , manzana , sand a }. B = { durazno , mel n ,uva , naranja , sand a , pl tano }. A I B = { uva , naranja , sand a }. 5. P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM Conjuntos Autor: Dr. Jos Manuel Becerra Espinosa Dos conjuntos son ajenos o disjuntos cuando su intersecci n es el conjunto vac o, es decir, que no tienen nada en com n.

8 Por ejemplo: A = { mango,ciruela,uva , naranja , manzana , sand a }. E = { lim n, fresa , pera , mandarina,cereza }. AI E = . El complemento del conjunto A con respecto al conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos de U que no est n en A y se denota como A' . Esto es: A' = { x U x A}. Gr ficamente: U. A'. A. Ejemplo. U = { mango,kiwi,ciruela,uva, pera,naranja,cereza,manzana, sand a,durazno,lim n,mel n, pl tano}. A = { mango,ciruela,uva , naranja , manzana , sand a }. A' = { kiwi , pera ,cereza ,durazno ,lim n, mel n , pl tano }. En este ejemplo se puede notar como ( A ) + ( A' ) = (U ). De esta definici n, se puede advertir que se cumplen las siguientes expresiones: ( A' ) ' = A. ' = U. U' = . La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B y se denota como A B . Esto es: A B ={ x x A y x B}. Gr ficamente: 6. P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM Conjuntos Autor: Dr.

9 Jos Manuel Becerra Espinosa A B U. A B. Ejemplo. A = { mango,ciruela,uva , naranja , manzana , sand a }. B = { durazno ,mel n ,uva ,naranja , sand a , pl tano }. A B = { mango , ciruela , manzana }. B A = { durazno ,mel n , pl tano }. Se puede advertir como A B B A . Del diagrama de Venn anterior se deducen las siguientes expresiones: A B = A I B'. A B = , s y s lo s : A B. A B = B A, s y s lo s : A = B. A B = A, s y s lo s : A I B = . (A B) A. A = A. A B = B' A'. Los conjuntos A B , A I B , B A son mutuamente ajenos (su intersecci n es el conjunto vac o). Ejemplo. Sean los conjuntos: U = { a , b , c , d , e , f , g , h ,i , j , k , l , m , n}. A = { a , d ,e , g , h , k ,l , n}. B = { a , c , f , g , k ,l , m }. Obtener: a) A U B b) AIB c) A'. d) B' e) A B f) B A. g) A' U B h) A I B ' i) A ' I B '. j) A' B ' k) (A U B)' l) ( A I B ) '. 7. P gina del Colegio de Matem ticas de la ENP-UNAM Conjuntos Autor: Dr.

10 Jos Manuel Becerra Espinosa Soluci n. a) A U B = { a ,c , d , e , f , g , h , k ,l , m , n} b) A I B = { a , g , k ,l }. c) A ' = { b , c , f , i , j , m } d) B ' = { b , d , e , h ,i , j , n}. e) A B = { d , e , h , n } f) B A = { c , f , m }. g) A' U B = { a ,b ,c , f , g ,i , j , k ,l , m } h) A I B ' = { d , e , h , n }. i) A' I B ' = { b ,i , j } j) A' B ' = { c , f , m }. k) ( A U B ) ' = {b ,i , j }. l) ( A I B ) ' = { b ,c , d , e, f , h ,i , j , m, n}. De acuerdo con las definiciones de uni n, complemento y diferencia, se puede establecer que sus respectivas cardinalidades se pueden obtener a trav s de: ( A U B ) = ( A ) + (B ) ( A I B ). ( A' ) = (U ) ( A ). ( A B ) = ( A ) ( A I B ). Ejemplo. En una unidad habitacional viven 120 familias y se sabe que 70 de ellas tienen autom vil, que 30. poseen un reproductor de DVD y que 17 tienen ambas cosas. Se desea conocer: a) cu ntas familias tienen exclusivamente autom vil?