SISTEMI LINEARI - Zanichelli

1 47417 SISTEMI LINEARI1. SISTEMI DI EQUAZIONI EQUAZIONI LINEARI IN DUE INCOGNITE Esercizi a pagina 484Un equazione nelle incognite x e y del tipoaxbyc+= un equazione di primo grado sia rispetto a x sia rispetto a anche che un equazione lineare in due sue soluzioni sono tutte le coppie ordinate di valori, il primo da attribuire a x, il secondo a y, che verificano l equazione axbyc+=, con b0!, l espressione analitica di una funzione lineare, che, esplicitando y, pu essere scritta nella formaymxq=+.Abbiamo gi visto che l equazione ymxq=+ rappresentata nel piano cartesiano da una retta, con coefficiente angolare m e ordinata all origine soluzioni di un equazione lineare sono associate ai punti di una retta, quindi sono l equazione xy26+=, le sue soluzioni sono rappresentate graficamente dai punti della retta di equazione:xyyx26213"+==-+Le coppie ;2 4-^h, (0.)

2 3), sono le infinite soluzioni dell E LORO GRADO Esercizi a pagina 485 SISTEMI e soluzioniDEFINIZIONEUn sistema di equazioni un insieme di due o pi equazioni per le quali cerchiamo le soluzioni comuni, ossia i valori, da attribuire alle incognite, che verificano contemporaneamente tutte le le equazioni di un sistema su righe diverse, collegandole con una parentesi graffa.(3; 5) una soluzione dell equazioneperch 73635$$-=xy73 6-=1yx372=-coefficienteangolareordinataa ll origineO46y = x + 312134 2yxx2-046 y4310 A system of equations is a set of two or more equations that have to be satisfied by the same sets of 6-=equazione linearenelle incognite x e yO3y = x 2735 2yx4751.

3 SISTEMI DI EQUAZIONITEORIALe soluzioni di un sistema sono le soluzioni comuni a tutte le equazioni che lo com-pongono. La coppia (0; 1) una soluzione del sistema:xxyyx0122+=-=*Due SISTEMI sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni. Se applichiamo i princ pi di equivalenza delle equazioni alle equazioni di un sistema, otteniamo un sistema equi-valente. Un sistema : determinato se ha un numero finito di soluzioni; impossibile se non ha soluzioni; indeterminato se ha infinite soluzioni. impossibile il sistemaxyxy7378-=-=* perch xy7- non pu essere con-temporaneamente uguale a 3 e a 8, quindi le due equazioni non hanno soluzioni comuni.

4 Indeterminato il sistema().xyxy734712$-=-=* Infatti, la seconda equazione si ottiene dalla prima moltiplicando entrambi i membri per 4, quindi le due equazioni sono equivalenti e hanno le stesse infi-nite di un sistemaUn sistema formato da equazioni razionali intero se lo sono tutte le sue equazioni, altrimenti grado di un sistema intero il prodotto dei gradi delle sue yy116322+=++ =* grado del sistema: 3 26$=ESEMPIOUn sistema di primo grado, costituito cio da equazioni LINEARI , detto occupiamo ora di SISTEMI LINEARI di due equazioni in due LINEARI IN DUE INCOGNITE Esercizi a pagina 486 SISTEMI LINEARI e forma normaleUn equazione lineare nelle incognite x e y in forma normale se scritta nella forma axbyc+=.

5 La forma normale (o canonica) di un sistema lineare di due equazioni in x e y :axbycax byc+=+=lll*.Interpretazione grafica di un sistemaDa un punto di vista grafico, le soluzioni di un sistema lineare di due equazioni in due incognite sono le coordinate dei punti di intersezione fra le due rette che rappresen-tano le : 02 + 0 1 = 01 1 = 2 0equazione di grado 3equazione di grado 2xyxy52 628+=-=*sistema informa normaleAn inconsistent system has no solution at all. A consistent system has at least one solution, and it can be dependent or independent:a dependent system has infinitely many solutions, an independent system has exactly one SISTEMI LINEARI476I casi possibili sono tre.

6 Esaminiamoli con determinatoIl sistemaxyxy3226-=-+=* determinato e ha per soluzione (2; 4), coordinate del punto diintersezione P delle rette incidenti che rappresentano le impossibileIl sistemayxxy2226- =-- =-* impossibile. Le rette hanno lo stesso coefficiente angolare e sono parallele, ma indeterminatoIl sistemaxyxy263618+=+=* indeterminato. Le rette sono e problemiCi sono problemi che possono essere risolti mediante SISTEMI , perch le relazioni che esprimono possono essere tradotte in equazioni da verificare contemporaneamente. Cerchiamo due numeri che hanno per somma 13 e per differenza 3.

7 Chiamato x il numero maggiore e y il minore, il problema si traduce nel sistema:xyxy133+=-=*. Imparerai a risolvere questo sistema, con diversi metodi, nei prossimi paragrafi. Per il momento puoi verificare che la soluzione (8; 5).ESERCIZI PER COMINCIAREPer ciascuno dei seguenti SISTEMI la coppia indi-cata una delle soluzioni?a. yxxy152=-=-(, ;23-^h;b. xyxy92 3222-==-( , (5; 4).Determina il grado dei seguenti +=); x xyxy21233+==-); yxyx24-==-).ANIMAZIONEI nterpreta graficamente i seguenti SISTEMI e indica se sono determinati, impossibili o *; xyyx522=-=-*; yxxy2 626124=-=-*.

8 O26y = x + 1P32y = x + 6146yxO 1 3y = 2x + 2y = 2x + 626yxOy = x + 336yx12123477 TEORIA2. METODO DI SOSTITUZIONE2. METODO DI SOSTITUZIONE Esercizi a pagina 488I metodi per risolvere un sistema sono diversi. Di solito conviene utilizzarli dopo aver ottenuto la forma per primo il metodo basato sul principio di sostituzione: se in un siste-ma ricaviamo una delle incognite in una delle equazioni e sostituiamo l espressione ottenuta in un altra equazione, otteniamo un sistema i seguenti SISTEMI con il metodo di sostituzione:a. xyxy42312+=-=*; b. xxyy28 345+=+=*. y nella prima equazione e sostituiamo la sua espressione nella seconda: ()xxyxyxyxyyxx42312312324122424""+=-=-=- =-==--**) Risolviamo la seconda equazione in x e sostituiamo il valore nella prima equazione: 22yxyxxxy247142462""""$===-===--)) x dalla seconda equazione e sostituiamo la sua espressione nella prima: ()xyyxyyyxxxyy28 34528 3542835454""$+=+=+==-+==--**.

9 Risolviamo la prima equazione in y: yyyxy108830754""$-+==-=-*ESERCIZI PER COMINCIARER isolvi i seguenti SISTEMI con il metodo di yy231610413425-++=-+=-^hZ[\]]]2xyxy21411 312-=+=*[(2; 0)]3xyxxyx3253412-=+ -+-+=^^hh*[indeterminato]4xxxyxyxy311253 22+ ++ -=-= +-^^^^^hhhhh);21--^h6@ANIMAZIONER isolvi il seguente problema utilizzando un un rettangolo l altezza 203 del perimetro e la differenza tra 43 della base e 35 dell altezza 1 cm. Deter-mina base e altezza del using substitution you solve one equation forone variable and substitute that solution into the other equation, so you get an equation in one equazioneha una sola incognitala soluzione del sistema la coppia (;) equazione del sistema impossibile, quindi il sistema SISTEMI LINEARI4783.

10 METODO DEL CONFRONTO Esercizi a pagina 490 Per risolvere un sistema in due incognite con il metodo del confronto, ricaviamo la stessa incognita in entrambe le equazioni e uguagliamo le espressioni ottenute. Infatti, il valore dell incognita che soddisfa la prima equazione deve soddisfare anche la secon-da. In questo modo otteniamo un equazione che contiene soltanto l altra i seguenti SISTEMI :a. xyxy43268-=-=-*; b. xyxy412288+=+=-*.a. Ricaviamo y in entrambe le equazioni, uguagliamo le espressioni e mettiamo a sistema l equazione ottenuta con una delle due precedenti: yyxyxyyxyxxxyxxx4632864283462344646234"" "-=-=--= --=- -=-=+=--= +** Risolviamo l equazione in x e sostituiamo il valore di x nella prima equazione: yxyxxyxxyxxyx468124652046464438104"""""$ =--=+=-==-==-==))))b.