Tipos de funciones - Matematicas Online

1 1 Tipos de funciones Clasificaci n de funciones funciones algebraicas En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adici n, sustracci n, multiplicaci n, divisi n, potenciaci n y radicaci n. Las funciones algebraicas pueden ser: funciones expl citas Si se pueden obtener las im genes de x por simple sustituci n. f(x) = 5x 2 funciones impl citas Si no se pueden obtener las im genes de x por simple sustituci n, sino que es preciso efectuar operaciones. 5x y 2 = 0 funciones polin micas Son las funciones que vienen definidas por un polinomio. f(x) = a0 + a1x + a2x + a2x + + anxn Su dominio es , es decir, cualquier n mero real tiene imagen. 2 funciones constantes El criterio viene dado por un n mero real. f(x)= k La gr fica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. funciones polin mica de primer grado f(x) = mx +n Su gr fica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la funci n.

2 Las principales son: Funci n af n. Funci n lineal. Funci n identidad. funciones cuadr ticas f(x) = ax + bx +c Son funciones polin micas es de segundo grado , siendo su gr fica una par bola. funciones a trozos Son funciones definidas por distintos criterios, seg n los intervalos que se consideren. funciones en valor absoluto. Funci n parte entera de x. Funci n mantisa. Funci n signo. funciones racionales El criterio viene dado por un cociente entre polinomios: 3 El dominio lo forman todos los n meros reales excepto los valores de x que anulan el denominador. funciones radicales El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una funci n irracional de ndice impar es R. El dominio de una funci n irracional de ndice par est formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero. funciones trascendentes La variable independiente figura como exponente, o como ndice de la ra z, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometr a.

3 Funci n exponencial Sea a un n mero real positivo. La funci n que a cada n mero real x le hace corresponder la potencia ax se llama funci n exponencial de base a y exponente x. funciones logar tmicas La funci n logar tmica en base a es la funci n inversa de la exponencial en base a. funciones trigonom tricas Funci n seno f(x) = sen x Funci n coseno f(x) = cos x Funci n tangente f(x) = tg x Funci n cosecante f(x) = cosec x 4 Funci n secante f(x) = sec x Funci n cotangente f(x) = cotg x funciones constantes La funci n constante es del tipo: y = n El criterio viene dado por un n mero real. La pendiente es 0. La gr fica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Rectas verticales Las rectas paralelas al eje de ordenadas no son funciones , ya que un valor de x tiene infinitas im genes y para que sea funci n s lo puede tener una. Son del tipo: x = K 5 Funci n lineal La funci n lineal es del tipo: y = mx Su gr fica es una l nea recta que pasa por el origen de coordenadas.

4 Y = 2x x 0 1 2 3 4 y = 2x 0 2 4 6 8 Pendiente m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinaci n de la recta con respecto al eje de abscisas. Si m > 0 la funci n es creciente y el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es agudo. 6 Si m < 0 la funci n es decreciente y el ngulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso. Funci n identidad f(x) = x Su gr fica es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Funci n af n La funci n af n es del tipo: y = mx + n m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinaci n de la recta con respecto al eje de abscisas. Dos rectas paralelas tienen la misma pendiente. 7 n es la ordenada en el origen y nos indica el punto de corte de la recta con el eje de ordenadas. Ejemplos de funciones afines Representa las funciones : 1 y = 2x - 1 x y = 2x-1 0 -1 1 1 8 2y = - x - 1 x y = - x-1 0 -1 4 -4 Funci n cuadr tica Son funciones polin micas es de segundo grado , siendo su gr fica una par bola.

5 F(x) = ax + bx +c Representaci n gr fica de la par bola Podemos construir una par bola a partir de estos puntos: 1. V rtice Por el v rtice pasa el eje de simetr a de la par bola. La ecuaci n del eje de simetr a es: 2. Puntos de corte con el eje OX En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax + bx +c = 0 Resolviendo la ecuaci n podemos obtener: Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b 4ac = 0 Ning n punto de corte si b 4ac < 0 9 3. Punto de corte con el eje OY En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a 0 + b 0 + c = c (0,c) Ejempl os : Representar la funci n f(x) = x 4x + 3. 1. V rtice x v = ( 4) / 2 = 2 y v = 2 4 2 + 3 = 1 V(2, 1) 2. Puntos de corte con el eje OX x 4x + 3 = 0 (3, 0) (1, 0) 3.

6 Punto de corte con el eje OY (0, 3) 10 Traslaciones de par bolas Construcci n de par bolas a partir de y = x Partimos de y = x x y = x -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 1. Traslaci n vertical y = x + k Si k > 0, y = x se desplaza hacia arriba k unidades. Si k < 0, y = x se desplaza hacia abajo k unidades. El v rtice de la par bola es: (0, k). El eje de simetr a x = 0. 11 y = x +2 y = x 2 2. Traslaci n horizontal y = (x + h) Si h > 0, y = x se desplaza hacia la izquierda h unidades. Si h < 0, y = x se desplaza hacia la derecha h unidades. El v rtice de la par bola es: ( h, 0). El eje de simetr a es x = h. y = (x + 2) y = (x 2) 12 3. Traslaci n oblicua y = (x + h) + k El v rtice de la par bola es: ( h, k). El eje de simetr a es x = h. y = (x 2) + 2 y = (x + 2) 2 Dilataciones y contracciones de funciones . Contracci n de una funci n Una funci n f(k x) se contrae si K > 1.

7 13 Una funci n f(k x) se dilata si 0 < K < 1. funciones racionales El criterio viene dado por un cociente entre polinomios: El dominio lo forman todos los n meros reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuaci n: . 14 Sus gr ficas son hip rbolas. Tambi n son hip rbolas las gr ficas de las funciones . Traslaciones de hip rbolas Las hip rbolas f(x)= son las m s sencillas de representar. Sus as ntotas son los ejes. El centro de la hip rbola, que es el punto donde se cortan las as ntotas, es el origen. 15 f(x)= 2 A partir de estas hip rbolas se obtienen otras por traslaci n. 1. Traslaci n vertical El centro de la hip rbola es: (0, a). Si a>0, f(x)= se desplaza hacia arriba a unidades. 16 El centro de la hip rbola es: (0, 3) Si a<0, f(x)= 2 se desplaza hacia abajo a unidades.

8 El centro de la hip rbola es: (0, -3) 2. Traslaci n horizontal El centro de la hip rbola es: (-b, 0). Si b> 0, f(x)= 2 se desplaza a la izquierda b unidades. 17 El centro de la hip rbola es: (-3, 0) Si b<0, f(x)= 2 se desplaza a la derecha b unidades. El centro de la hip rbola es: (3, 0) 3. Traslaci n oblicua El centro de la hip rbola es: (-b, a) 18 El centro de la hip rbola es: (3, 4). Para representar hip rbolas del tipo: se divide y se escribe como: Su representaci n gr fica es una hip rbola de centro (-b, a) y de as ntotas paralelas a los ejes. El centro de la hip rbola es: (-1, 3). 19 funciones radicales El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. Funci n radical de ndice impar El dominio es . 20 Funci n radical de ndice par El dominio est formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

9 21 22 funciones definidas a trozos Son funciones definidas por distintos criterios, seg n los intervalos que se consideren. El dominio lo forman todos los n meros reales menos el 4. Funci n parte entera de x Es una funci n que a cada n mero real hace corresponder el n mero entero inmediatamente inferior. f(x) = E (x) x 0 1 2 f(x) = E(x) 0 0 0 1 1 1 2 23 Funci n mantisa Funci n que hace corresponder a cada n mero el mismo n mero menos su parte entera. f(x) = x - E (x) x 0 1 2 f(x) = x - E(x) 0 0 0 Funci n signo f(x) = sgn(x) 24 Funci n valor absoluto Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos: 1. Se iguala a cero la funci n, sin el valor absoluto, y se calculan sus ra ces. 2. Se forman intervalos con las ra ces y se eval a el signo de cada intervalo.

10 3. Definimos la funci n a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la funci n. 4 Representamos la funci n resultante. 25 D= D= 26 Funci n exponencial La funci n exponencial es del tipo: Sea a un n mero real positivo. La funci n que a cada n mero real x le hace corresponder la potencia ax se llama funci n exponencial de base a y exponente x. 27 Propiedades de la funci n exponencial Dominio: . Recorrido: . Es continua. Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gr fica. Es inyectiva a 1(ninguna imagen tiene m s de un original). Creciente si a >1. Decreciente si a < 1. Las curvas y = ax e y = (1/a)x son sim tricas respecto del eje OY. funciones trigonom tricas f(x) = sen x 28 Dominio: Recorrido: [ 1, 1] Per odo: Continuidad: Continua en Impar: sen( x) = sen x f(x) = cos x Dominio: Recorrido: [ 1, 1] Per odo: Continuidad: Continua en Par: cos( x) = cos x f(x) = tg x 29 Dominio: Recorrido: Continuidad: Continua en Per odo: Impar: tg( x) = tg x f(x) = cotg x Dominio: Recorrido: Continuidad: Continua en Per odo: Impar: cotg( x) = cotg x 30 f(x) = sec x Dominio: Recorrido: ( , 1] [1, ) Per odo: Continuidad: Continua en Par: sec( x) = sec x f(x) = cosec x 31 Dominio: Recorrido: ( , 1] [1, ) Per odo: Continuidad: Continua en Impar: cosec( x) = cosec x