UNIDAD 2 de inecuaciones - Matematicas Online

1 32 inecuaciones y sistemasde inecuaciones2 UNIDADa vista de los edificios de la foto invita a la comparaci n de sus alturas entre las queexisten grandes diferencias. En matem ticas las desigualdades juegan un papelfundamental; existen tratados completos dedicados a su estudio y algunas son tanimportantes que hasta tienen nombre: desigualdad triangular, desigualdad de Cauchy-Schwarz etc. En diversas ciencias aparecen problemas que precisan con frecuencia de lasdesigualdades; por este motivo conviene estar familiarizado con varias de ellas y con last cnicas generales para su manejo. Comienza la UNIDAD con la presentaci n delos signos de desigualdad, mayor o menor que,para establecer desigualdades e inecuacionesque reflejan situaciones en las que se sobrepasao no se llega a un cierto valor estudian a continuaci n inecuacioneslineales con una y dos inc gnitas, as comoinecuaciones cuadr ticas de una inc introducen los sistemas de inecuacionesde una y dos inc gnitas; estos ltimosdesempe an un importante papel en diversosproblemas que se presentan en matem tica,entre ellos en matem tica aplicada, tales comola b squeda de m ximos o m nimos (problemasde optimizaci n).

2 Las desigualdades que dichosproblemas plantean y que se tratar n en laUnidad siguiente, expresan el hecho de que lavariable que se considera es menor (o mayor)o a lo sumo igual al valor m ximo (o m nimo)que proporciona la soluci esta UNIDAD did ctica nos proponemos alcanzar los la terminolog a de las las transformaciones que permiten convertir una inecuaci n en otra las t cnicas que permiten encontrar las soluciones de inecuaciones linealesde una y dos inc las soluciones de inecuaciones cuadr la terminolog a usada en sistemas de inecuaciones lineales de una y dosinc gnitas. las transformaciones que permiten convertir un sistema de inecuaciones enotro equivalente y encontrar sus Foto: Augusto S nchez331. inecuaciones .. 342. inecuaciones EQUIVALENTES .. 353. inecuaciones LINEALES .. inecuaciones lineales con una inc gnita .. inecuaciones lineales con dos inc gnitas.

3 374. inecuaciones DE SEGUNDO GRADO .. 395. SISTEMAS DE inecuaciones LINEALES CON UNA INC GNITA .. 416. SISTEMAS DE inecuaciones LINEALES CON DOS INC GNITAS .. 43 NDICE DE CONTENIDOS341. inecuaciones Cada valor num rico de la variable, que convierte la desigualdad en verdadera, es una soluci n particular deuna inecuaci n; por ejemplo, x= 19 e y= 15 son soluciones particulares de las desigualdades conjunto de todas las soluciones particulares de una inecuaci n es la soluci n general de la inecuaci n. Resolveruna inecuaci n es encontrar su soluci n soluci n particular consiste en sustituir el valor de la variables en la inecuaci n y ver que seestablece una desigualdad num rica relaciones num ricas o algebraicas separadas por los signos <(menor), (menor o igual), >(mayor), (mayor o igual) se llaman desigualdades. Las desigualdades en las que intervienen variables se llaman inecuaciones ; las siguientes desigualdadesson inecuaciones : x> y; x 18; 4y y sistemas de si los valores x= 2; x = 3 son soluciones particulares de las inecuaciones siguientes: a)3x2+ 7 > 12;b)(x+ 3)(x --2) 0.

4 La inecuaci n , de los siguientes valores x= --1, x= 0 y x = 2 indica los que son + la inecuaci n , comprobar si los valores a)x= --2, b)x= 0, c) x = 1 son soluciones de lainecuaci n:Se sustituyen los valores de xen la inecuaci n y si se obtienen desigualdades num ricas verdaderas ser soluci n,en caso contrario no lo ser .a), desigualdad verdadera, x= --2 es soluci ) , desigualdad falsa, x = 0 no es soluci ) , desigualdad verdadera, x= 1 es soluci 541 21321 510227527 + + 50 540 20320 552355235 + + 5254222322551051125 + + ()()()5542325xxxx+ +352. inecuaciones equivalentesResolveruna inecuaci n consiste en transformarla en otra equivalen te en la que sea sencillo hallar la soluci n,para lo que se aplican los siguientes principios de equivalencia.

5 Si se suman o restan a los dos miembros de una inecuaci n la misma expresi n algebraica, la inecuaci nque resulta es equivalente a la (x) < q(x) p(x) + a(x) < q(x) + a(x)Por ejemplo, las inecuaciones x2+ 2x< 6 + x2y 2x< 6 son equivalentes; la segunda se obtiene alsumar (-x2) a los dos miembros de la inecuaci n; ambas tienen como soluci n general los n mero realesx< 3; o sea el intervalo (-- , 3). Si se multiplican o dividen los dos miembros de una inecua ci n por un n mero positivo, la inecuaci n queresulta es equiva lente a la a > 0 yp(x) < q(x) a p(x) < a q(x)Por ejemplo, las inecuaciones 6x + 12 18 y x+ 2 3 son equivalentes; ambas tienen como soluci n losn meros reales x 1, o sea, el intervalo [1, ). Si se multiplican o dividen los dos miembros de una inecua ci n por un n mero negativo, la inecuaci ncambiada de sentido es equivalente a la a < 0 y p(x) < q(x) a p(x) > a q(x) Por ejemplo, las inecuaciones -- 3x+ 9 > 3 y 3x--9 < -- 3 son equivalentes; ambas tienen como soluci ngeneral los n meros reales x< 2, o sea, el intervalo (-- , 2).]

6 Las inecuaciones equivalentestienen la misma soluci n inecuaciones x+ 2 > 5 y x2+ x> x2+ 3 son equivalentes, ambas tienen por soluci n los valores dexque superen a dos inecuaciones equivalentes a las inecuaciones siguientes: a) 3x 12 6; b)2x+ 8 > 4; c)5x+ 3 < 2x que las siguientes inecuaciones son equivalentes:5. Son equivalentes las inecuaciones 3328213429xxxyxx + + + ?xxx +< >5382 2 inecuaciones lineales La primera tiene una inc gnita, la segunda dos, pero todas de primer inecuaciones lineales con una inc gnitaSoluci n generalde una inecuaci n con una inc gnita son los puntos de un soluci n general de una inecuaci n se interpreta con faci lidad si se realiza una representaci n gr fica dela inecuaci n lineal con una inc gnita o de primer grado es toda desigualdad que si se simplificaresulta equivale a la siguiente: ax+ b> 0, con a evidente que en la expresi n ax+ b> 0 puede aparecer cualquiera de los cuatro signos de desigualdad:<, , > o.

7 Se llaman inecuaciones lineales aquellas en las que las variables son todas de primer grado; la inecuacionessiguientes son lineales: inecuaciones y sistemas de inecuaciones2 UNIDAD35172 5xxy+ ;. la inecuaci n: . Soluci n:El m nimo com n m ltiplo de los denominadores es 12Se multiplican los dos miembros por 12: Se quitan par ntesis y se simplifica: 3x+ 2x--12 8x+ 6 Transponemos t rminos: 3x+ 2x--8x 12 + 6Se simplifica: --3x 18Se dividen los dos miembros por (-3): Se realiza la divisi n: x --6 La soluci n general son los valores del intervalo [ --6 , )Gr ficamente: 12461122312xxx+ + x 183xx x4612312+ + inecuaciones lineales con dos inc gnitas Resolver una inecuaci n con dos inc gnitases encontrar los valores (x, y) que satisfacen la desigualdad;estos valores se visualizan con facilidad sobre un plano recta y= a x+ bdivide al plano en dos semiplanos.]

8 Los puntos del semiplano que hacen verdadera ladesigualdad y> a x+ bforman la soluci n generalde dicha inecua ci n. Una soluci n particular ser cualquierpunto que satisfaga la inecuaci recta y= ax+ bde divisi n de los semiplanos se llama frontera; sus puntos pertenecen a la soluci n generalen el caso de desigualdades en sentido amplio ( o ), y no pertenecen si se trata de desigualdades en sentidoestricto ( <o >)Si una desigualdad, despu s de transformaciones equivalentes entre desigualdades, se expresa simplificadabajo la forma y> ax+ bcon a 0; la desigualdad puede aparecer con cualquiera de los signos( , <, ) estamos ante una inecuaci n lineal con dos inc Resolver la inecuaci n 2x + y n:Se transforma la inecuaci n: y -- 2x+ recta y= --2x+ 3 divide al plano en los semiplanos: Iy II, uno de ellos es la soluci determinar cu l de ellos es la soluci n tomamos un punto sencillo de uno deellos, por ejemplo (0, 0), y los sustituimos en la inecuaci n: 0 + 0 3.

9 Como ladesigualdad que resulta es falsa, el punto (0, 0) no es soluci n; la soluci n ser nlos de la regi n que no contiene el punto mencionado; esto es, los puntos delsemiplano la soluci n general de la inecuaci n x+ 2y> 3. Indicar si la frontera forma parte de la soluci n:La recta x+ 2y = 3 divide al plano en los semiplanos Iy II. Se elige un punto del semiplano II; el m s sencillo es (0, 0) y se sustituye en la ine-cuaci n 0 + 2 0 > 3; la desigualdad es falsa, por lo que el origen y todos los puntos delsemiplano IIno son soluci n; la soluci n general la forman los puntos del semiplano puntos de la frontera no son soluci n; la desigualdad es estricta; por ejemplo,el punto (1, 1) de la recta, al sustituirlo en la inecuaci n 1 + 2 1 > 3, proporciona unadesigualdad y sistemas de la soluci n general de la inecuaci n: . Soluci n:Sumar a los dos miembros: Multiplicar por ( 2) los dos miembros: 2x + 6y 5y 4 Operar: 2x + y (0, 0) en la inecuaci n; 2 0 + 0 4, desigualdad verdadera.

10 Lasoluci n general est formada por los puntos del semiplano II, sin ; queda + xy y representa las soluciones de las inecuaciones . un paquete por una empresa de transportes cuesta 3 euros m s 0,10 euros por cada 100 g. Por el serviciode urgencia cuesta 4,50 euros m s 0,06 euros por cada 100 g. A partir de qu peso son m s baratos los env ospor urgencias? gr ficamente las soluciones de las inecuaciones lineales con dos inc gnitas: a)x 0; b)y 0;c )x 1; d)x+ y 3; e)2x 4y> las soluciones de las inecuaciones : a)4x 2y 6; b) 6x+ 3y 9; c)x y 3; d)4x 2y la soluci n general de la inecuaci n: . las siguientes inecuaciones : anal tica y gr ficamente las inecuaciones siguientes:a)b)c)d) ; ; 341230 436 3424xyxyxyxy+ + + ;.a)b)c)d) ; ; 352673 1 612326362xxxx xxxx > < + ;()332 x.