TRACE DE DIAGRAMME DE B

1 Sp g nie lectrique ATS Asservissement Lyc e P. Mend s France Epinal Cours DIAGRAMME de Bode 1/10 TRACE DE DIAGRAMME DE BODE Le DIAGRAMME de Bode permet de repr senter sous forme graphique le gain en dB (G=20 log et la phase ( d'une fonction de transfert, en fonction de w. Il permet de voir le comportement d'un filtre ou d'un syst me asservi lin aire. L chelle des abscisses est logarithmique. Cela permet de repr senter le gain et la phase sur une grande plage de fr quence. Ainsi, on repr sente : G(w)=f(log w) et =f(log w) Le trac d un DIAGRAMME de Bode commence par le trac des courbes asymptotiques. ( On tudie le comportement de G et lorsque w tend vers 0 et lorsque w tend + .) On compl te ensuite par le trac r el en marquant quelques points aux environs des jonctions entre les courbes asymptotiques.))

2 A) FONCTION DE TRANSFERT DU 1ER ORDRE (PASSE BAS) Une fonction de transfert du 1er ordre a, au d nominateur, un polyn me de degr 1 en jw. Exemple : 1. DIAGRAMME d'amplitude = Pour tracer le DIAGRAMME de 20 log en fonction de log w, on peut commencer par tudier le comportement asymptotique de . - Pour w 0 : .. donc pour les pulsations faibles, 20 log tend vers 20 log .. - Pour w + : >>1 donc .. ; donc, 20 log .. Ces deux asymptotes se rejoignent lorsque : .. On peut donc faire le trac asymptotique : Pour w 0 : droite horizontale d'ordonn e 20 log 10= .. jusqu' w = Pour w + : droite de pente -20 dB/d cade.(une d cade repr sente l intervalle de pulsation entre w et 10 w) Sp g nie lectrique ATS Asservissement Lyc e P.

3 Mend s France Epinal Cours DIAGRAMME de Bode 2/10 On compl te ensuite le trac asymptotique en calculant des points du trac r el. Ex : pour w = wc = ; = Or K est la valeur maximale du module de la fonction de transfert (que l'on notera Hmax). On a donc : = Rq importante : La valeur de w pour laquelle = est appel e pulsation de coupure. On d finie galement cette pulsation comme la pulsation pour laquelle le gain est de 3 dB inf rieur au gain max. 20 log 20 log = 20 log Hmax 20 log = 20 log Hmax - 3dB On obtient la courbe suivante : Interpr tation du DIAGRAMME pour le filtrage : Les signaux qui auront une pulsation inf rieure wc, sont dans une zone o le gain est proche de 0, ce qui signifie que le module de est peu pr s identique au module de.

4 Les signaux ont donc quasiment la m me amplitude. Le signal s entr e sera conserv en sortie Par contre, les signaux ayant une pulsation sup rieur wc vont tre att nu s (d autant plus fortement que l on s loigne de wc). En effet, un gain n gatif signifie un rapport des modules inf rieur 1. L amplitude du signal de sortie est donc inf rieure celui d entr e. Conclusion : Ce montage repr sente un filtre Passe-bas. Ils laissent passer les signaux de basse fr quence (w<wc) et coupe ceux de hautes fr quences. Signal conserv signal att nu 20 log K 1 10 100 w G Sp g nie lectrique ATS Asservissement Lyc e P. Mend s France Epinal Cours DIAGRAMME de Bode 3/10 2. DIAGRAMME de phase Arg(H(jw))=Arg (.)

5 Pour w 0: Arg(H(jw)) = .. Pour w + : Arg(H(jw)) = .. Ici, il faut compl ter le trac asymptotique par le calcul de valeur de Arg(H(jw)) pour plusieurs valeurs de w. Rq : pour w = wc= , Arg(H(jw)) = .. On obtient le DIAGRAMME ci-contre. Rq : on peut avoir un circuit du premier ordre passe haut ( ex : ) , le DIAGRAMME de bode en amplitude a alors la forme suivante : B) FONCTION DE TRANSFERT DU DEUXIEME ORDRE (PASSE BAS) Une fonction de transfert 2 me ordre a, au d nominateur, un polyn me du 2 me ordre. Ex : H(jw) = avec Q= ) 3. Comportement asymptotique Le module de H(jw) est donn par la relation suivante = .. Trac asymptotique : - Pour w 0 : .. - Pour w + : le terme pr pond rant au d nominateur est.

6 On a alors .. Donc, 20 log .. Sp g nie lectrique ATS Asservissement Lyc e P. Mend s France Epinal Cours DIAGRAMME de Bode 4/10 Le trac va donc comporter une asymptote horizontale d'ordonn e 20 log K (pour w 0) et une asymptote de pente -40dB/d cade pour w + . Les deux droites asymptotiques se coupent pour w = w0. Mais entre ces 2 asymptotes, la forme de la courbe va d pendre du facteur d'amortissement m. 2. Comportement entre asymptotes suivant la valeur de m a) synth se pour m>1 Pour m>1, on peut d composer la fonction de transfert du second ordre en deux fonctions de transfert du 1er ordre : H(jw) = = La fonction de transfert complexe est donc : - DIAGRAMME d'amplitude : A partir des deux racines w1= et w2= du d nominateur (on suppose w2 < w1) , on peut tracer une premi re "asymptote" issue de 2 avec une pente de -20 dB/d cade.

7 Puis, une deuxi me asymptote est issue de 1 avec une pente de -40dB/d cade. - DIAGRAMME de phase : Le DIAGRAMME asymptotique relatif la phase pr sente deux d crochements : le premier pour 2 o l'on passe -90 le deuxi me pour 1 o l'on passe -180 Sp g nie lectrique ATS Asservissement Lyc e P. Mend s France Epinal Cours DIAGRAMME de Bode 5/10 b) synth se pour m<1 Dans ce cas, on ne peut pas d composer la fonction de transfert : . - DIAGRAMME d'amplitude : Dans ce cas, on aura donc qu'une seule rupture de pente. asymptote : Pour w 0 : = 20 log K (asymptote horizontale) Pour w : = 20 log ( ) 40 log w (asymptote oblique de pente -40dB/d cade) Aux alentours du point d'intersection des asymptotes, on peut avoir un pic de gain.

8 C'est ce que l'on appelle le ph nom ne de r sonance. D monstration : On introduit la variable pulsation r duite u = , on a alors : = On aura un pic d'amplitude pour u tel que . = K. u +2m -1=0 soit u= si m < wr = w0. est appel e pulsation de r sonance. Pour cette valeur de w, on aura un fort pic d'amplitude pour la sortie. On peut calculer l'amplitude du pic d'amplitude en introduisant notamment le coefficient de surtension Qs= (ici on a pris ) au d nominateur car c'est la valeur maximale de sur le trac asymptotique). En rempla ant wr par w0 , on trouve : Qs= pour m < Apr s avoir trac la courbe asymptotique, on compl te ensuite le trac asymptotique par calculs pour w proches de w0.

9 L'allure va d pendre du facteur d'amortissement m. On peut avoir un ph nom ne de r sonance : pic d'amplitude de H(jw) . Sp g nie lectrique ATS Asservissement Lyc e P. Mend s France Epinal Cours DIAGRAMME de Bode 6/10 - DIAGRAMME de phase : Les asymptotes du DIAGRAMME de phase sont : Pour w 0 : Arg(H(jw))=0 Pour w : Arg(H(jw)) = -180 Rq : plus m est important plus la courbe r elle s' loigne de l'asymptote. Pour w= w0, Arg(H(j w0))= - 90 C) PRODUIT DE FONCTIONS DE TRANSFERT Un circuit peut avoir une fonction de transfert se mettant sous la forme de produits de premier et second ordre : 1 re m thode : effet des termes produits On peut faire le trac asymptotique des diagrammes d'amplitude et de phase en ajoutant les effets des polyn mes qui sont multipli s entre eux.

10 1) Terme : (1+ ) au num rateur : - effet sur DIAGRAMME d'amplitude : partir de w =.. , .. de la pente d'un coefficient + ..dB/d cade - effet sur DIAGRAMME de phase : partir de w =.. , .. de la phase de .. Rq : si le terme (1+ ) a un exposant, on multiplie par l'exposant les effets ex : (1+ ) : pour w : amplitude pente +40dB ; phase augmentation de 180 2) Terme : au num rateur (avec m<1): - effet sur DIAGRAMME d'amplitude : partir de w =.. , .. de la pente d'un coefficient + ..dB/d cade - effet sur DIAGRAMME de phase : partir de w =.. , .. de la phase de .. 3) Terme : jw au num rateur ( pas de terme constant) (d rivateur) - effet sur DIAGRAMME d'amplitude : partir de w =.. , .. de la pente d'un coefficient + ..dB/d cade Sp g nie lectrique ATS Asservissement Lyc e P. Mend s France Epinal Cours DIAGRAMME de Bode 7/10 - effet sur DIAGRAMME de phase : partir de w =.