Adición y sustracción

1 1 Cap tulo 3 Adici n y sustracci n(Carlos Maza)1. Contextos y usos de la adici n y la sustracci La operaci n aritm tica como acci n transformadoraEn los cap tulos anteriores se ha valorado la importancia de cuantificar el mundo en que vivimosde modo que los fen menos con los que tratamos se puedan describir de una forma m s precisa que lossimples apelativos de pocos y muchos . Sin embargo, con las operaciones aritm ticas no s lo se describela realidad circundante sino que se act a sobre ella, transform ndola. En efecto, si una persona tiene un billete de tres mil pesetas en el bolsillo el n mero aqu mide unacantidad de una determinada magnitud (dinero). Si una abuela generosa le da dos mil pesetas por sucumplea os este nuevo n mero vuelve a medir otra cantidad de la misma magnitud. Con ello se describendos cantidades presentes en la situaci n. Sin embargo, la persona en cuesti n transforma la situaci n enotra reuniendo, juntando las dos cantidades para dar lugar a otra que le permite afirmar: Tengo cinco milpesetas en total.

2 Con ello se permite describir num ricamente una nueva situaci n, una situaci n (la deltotal de sus ahorros) conseguida al transformar dos situaciones pues, la cuantificaci n de las situaciones que nos rodean corresponden fundamentalmente auna acci n descriptiva mientras que las operaciones aritm ticas remiten a una acci n transformadora porla que dos situaciones interact an para dar lugar a una nueva situaci n que de nuevo se describenum Importancia social y cultural de la adici n y sustracci nEste tipo de acciones transformadoras no s lo son habituales sino que constituyen la estructurahabitual de nuestro quehacer cotidiano, tanto en el mundo infantil como en la vida adulta, sea cotidiana oprofesional. Uno de los contextos m s frecuentes en dicho sentido es el de la compra y la venta. Si nosce imos a la adici n y sustracci n numerosas acciones de compra y venta ser an imposibles de describirsin estas operaciones: La cajera del supermercado realiza una suma o adici n de los precios, el compradorentrega un dinero que excede la cantidad a pagar por lo que procede hacer una resta, a continuaci n secompra el peri dico y se cuentan las pesetas para que sumen la cantidad debida, etc.

3 En el tipo de sociedadque vivimos (basada econ micamente en la acci n de consumir) los ni os no se encuentran ajenos a talactividad. Resulta ilustrativo en dicho sentido observar las operaciones aritm ticas que realizan frente alvendedor de chucher as o el de juguetes, por ejemplo. Como normalmente disponen de un dinero limitadotienen que ir pidiendo lo que desean y sumando al mismo tiempo para observar si disponen del dineronecesario, han de ir aprendiendo a pedir la vuelta del dinero entregado. Todas estas acciones elementalesdesde el punto de vista econ mico constituyen sin embargo un caldo de cultivo extremadamente importante,por su frecuencia y variedad de situaciones, en el aprendizaje y pr ctica cotidianos de las operaciones desumar y obstante, la adici n y sustracci n est n presentes en m ltiples situaciones m s de la vidacotidiana. En lo que se refiere a los n meros m s elementales (menores que la decena) una de estassituaciones es la medida del tiempo.

4 Si un ni o entra en su colegio a las nueve de la ma ana cu ntas horasfaltan para el recreo o para terminar la jornada escolar?. Si hemos quedado a las siete de la tarde y son lascinco, cu ntas horas me quedan para estudiar Matem ticas?. Si en la costa este norteamericana son seishoras menos que en Espa a, qu hora es en estos momentos en Nueva York?. Desde un punto de vista profesional los adultos han de emplear de una manea frecuente las diversas2 Actividad 1 Anota durante varios d as todas aquellas situaciones cotidianas en que utilices sumas o restaselementales describi ndolas a trav s de la siguiente serie de preguntas:* Cu l es el contexto general en que se ha planteado la operaci n?.* Se ha planteado con efectos descriptivos o como un problema necesario de resolver?.* Era imprescindible o solo aconsejable operar de forma mental?.operaciones aritm ticas. As lo expresa, con algunas peculiaridades, el informe Cockcroft (1985): La necesidad de saber realizar c lculos aritm ticos de diferentes clases aparece entre lasexigencias matem ticas de casi todos los tipos de Estos c lculos se hacen aveces mentalmente, a veces con papel y l piz, y otras con una calculadora.

5 (p g. 26).Actualmente, numerosas profesiones disponen de medios tecnol gicos importantes, particularmenteen el sector de servicios. Sin embargo, en la peque a empresa dichos medios est n limitados y se recurremuy frecuentemente al c lculo escrito o mental, sea exacto o bien aproximativo. Habitualmente, todas estas operaciones se realizan sobre n meros mayores que la decena pero nose puede olvidar que su realizaci n (sobre todo si sta es de car cter mental) se apoya en un buenconocimiento de las operaciones aritm ticas sobre n meros elementales. En este sentido conviene recordarque la adici n y sustracci n de n meros menores que la decena (que constituyen el contenido de estecap tulo) son el fundamento de nuevos conocimientos escolares m s desarrollados que ser n abordados enlos pr ximos cap tulos. As , la realizaci n de algoritmos de suma y resta descansa sobre las mismasoperaciones en n meros elementales, diversos problemas de multiplicaci n y divisi n se resolver n porsuma o resta reiterada, el c lculo con fracciones, decimales se apoya en los mismos conocimientos resumen, la adici n y sustracci n son operaciones aritm ticas que est n presentes en numerososcontextos y situaciones de la vida cotidiana infantil y adulta, particularmente los de compra y venta as como en los relacionados con medidas, sea del tiempo, de volumen, de peso, etc.

6 Desde el punto de vistaprofesional las operaciones se realizan generalmente sobre n meros mayores que la decena pero ellopermite suponer un adecuado dominio de las operaciones elementales, tanto para hacer c lculos mentalescomo Fenomenolog a de la adici n y sustracci t rmino de adici n proviene del lat n addo, is significando a adir, agregar . Una definici nhabitual en libros de texto aritm tico del siglo XIX y comienzos del XX consist a en afirmar que Sumares reunir varios n meros en uno s lo (Vidal 1909). La operaci n se define por su aplicaci n a losn meros, no por las situaciones en las que dicha aplicaci n tiene igual manera, el t rmino de resta tiene su origen en el lat n restare , sobrar, quedar. Lasantiguas definiciones de los libros de texto hac an descansar la operaci n en la anterior afirmando que Lasustracci n es el an lisis de la adici n, y tiene por objeto, dada la suma de dos sumandos y uno de stos,hallar el otro.

7 As pues, se define no por la acci n que describe (quedar, quitar) sino por el hecho de quese puede entender como una suma donde se ignora uno de los todo lo dicho subyace una sencilla idea: Las operaciones se pueden entender al menos de dosmaneras, una espec ficamente matem tica y otra que se relaciona con la descripci n de acciones realizadaspor una persona en una situaci n determinada. Por ejemplo, si un ni o tiene cinco canicas y gana otrascuatro a lo largo de una tarde, querr calcular al final cu ntas tiene finalmente. Desde un punto de vistamatem tico se efect a una suma entendi ndola como la reuni n de los n meros cinco y cuatro en uno s lo,nueve . Desde el punto de vista que coloca el conocimiento en una situaci n determinada, la suma puedeser entendida como una operaci n aritm tica que describe una acci n de a adir realizada por el ni o en3 Actividad 2De las situaciones y contextos encontrados en la primera actividad, discutir y elaborar diversoscriterios para repartir en clases diferentes las situaciones planteadas observando sus aspectos comunesy sus diferencias en cuanto al significado de la acci n ejercida.

8 Son iguales todas las situacionessusceptibles de resolverse con la suma? Y las que son resolubles por la resta?.cuesti n. Es indudable que existe entre ambas perspectivas una relaci n puesto que ambas parten del mismofen meno pero las diferencias son tambi n sensibles: En el primer caso el objeto de conocimiento est desligado de la situaci n, del contexto en el que se inscribe dicho fen meno, mientras que en el segundocaso el objeto de conocimiento est indisolublemente ligado a la situaci n. En el primer caso la operaci naritm tica estar bien definida en cuanto se adecue de forma consistente a los conocimientos matem ticosprevios. En el segundo caso dicha operaci n estar bien definida en cuanto describa adecuadamente laacci n ejercida por la persona dentro de la situaci n, y esta adecuaci n vendr dada por el hecho de queesta acci n que se describe respete el significado dado por la persona a la acci n Los s mbolos de la adici n y sustracci nUna de las formas m s conocidas de representar estas primeras operaciones aritm ticas es a trav sde la representaci n simb lica, como en el caso de 5 + 3 = 8 o bien 8 - 3 = 5.

9 Resulta interesante constatarque estos s mbolos no siempre se han utilizado de esta manera. En efecto, durante un muy largo tiempo ladescripci n de este tipo de situaciones era a trav s de palabras: Cinco m s tres es igual a ocho , porejemplo. Las operaciones aritm ticas y algebraicas conocieron un gran impulso te rico en el siglo XVIitaliano, lo que condujo a que se utilizara como expresiones las palabras piu o plus (mas) y meno ominus (menos) y sus abreviaturas que funcionaban como s mbolos, p. y m. Estos nuevos s mbolos noencontraron una difusi n suficiente en el conjunto de aritm ticas comerciales francesas y germanas queeran caracter sticas del desarrollo comercial europeo de la poca. J. Widman, alem n, escribe en ese tiempo una obra titulada C lculo r pido y elegante para todoslos futuros comerciantes en el que utiliza unos nuevos s mbolos para estas operaciones, nuestros conocidos+ y -. El origen del primero resulta evidente como una simbolizaci n del t rmino et (copulativa y enlat n) y, en concreto, de la t de dicha palabra que sol a escribirse con una forma ornamental.

10 El origen dels mbolo de la resta, en cambio, queda en la oscuridad y no ha podido determinarse con el siglo XVI vive tambi n R. Recorde, introductor de la aritm tica mercantil en Inglaterra. Esteautor propone simbolizar la igualdad con el signo = , s mbolo que no es universalmente admitido hastabastante tiempo despu s. El t rmino latino aequetur ( igual en castellano, abreviado ae) tiene una grandifusi n y por ello se puede ver a n en el siglo XVII al conocido fil sofo matem tico Descartesemple ndolo asiduamente. El declive paulatino del lat n como lengua cient fica y una necesidad progresivade abreviaci n en la escritura matem tica inclin la balanza finalmente hacia la aceptaci n del s mbolopropuesto por El curr culum anteriorPara comprender mejor el tratamiento curricular actual de la ense anza de la adici n y sustracci nresulta de inter s contrastar las directrices que se extraen del Dise o Curricular Base respecto a las quese propugnaban en la etapa educativa anterior.