Tema 6: Distribuciones Muestrales - Universidad de Granada

1 Tema 6: Distribuciones Muestrales El objetivo es efectuar una generalizaci n de los resultados de la muestraa la poblaci n. Inferir o adivinar el comportamiento de la poblaci n a partirdel conocimiento de una muestra. Para ello es necesario conocer las Distribuciones de probabilidad de ciertasfunciones de las muestras que constituyen variables aleatorias asociadasal experimento aleatorio, selecci n de una muestra al azar de una poblaci n. Estas variables aleatorias denominadas estad sticos Muestrales , porque se basan en el comportamiento de las muestras, asignan a cada muestra del espacio muestral, constituido por todas la muestras posibles, un n mero realque es un resumen estad stico de la muestra. Por ejemplo, media de la muestra. El esquema siguiente resume visualmente la situaci n: Dada una poblaci n formada por un n mero N grande de elementos, donde se observa lavariableX, se extrae al azar una muestra de tama o n (n<N).

2 Tanto en la poblaci n como en la muestra podemos resumir los valores de la variable X observada. Los valores resumen se denominan par metrosen la poblaci n y estad sticosen las muestras. Notaremos con Ua un estad sticoo resumen MuestralesPoblaci n formada por todas lasmuestras posibles de tama o nU variable aleatoria muestral(Estad sticos de las muestras: res menes de los valores de X en las muestras.) n X variable ,x2,x3,..,xnResumen de X en la muestra:Estad sticos: media, varianza, .. de X en la Poblaci n:Par metros: media, varianza, ..Resumen de los estad sticos Muestrales :media, varianza, ..Poblaci n formada por todas lasmuestras posibles de tama o nU variable aleatoria media muestral(valores de los estad sticos: mediasde las muestras)x4 Ejemplo: Distribuci n muestralde la mediaPoblaci n X variable ,x2,x3,..,xnDistribuci n de X en la n de X en la Poblaci nDistribuci n muestralde U (medias)XXXXhXmXlx1x1,x2,x3.

3 ,xnXmX2X1 XhXlNaturalmente, las medias diferir n, en general, de una muestra a variabilidad de las medias viene reflejada en su distribuci n de probabilidadxixtDistribuciones Muestrales Resumiendo: Dada una poblaci n y el experimento aleatorio consistente en seleccionar unamuestra de dicha poblaci n, se define la variable aleatoria U (estad stico muestral)como una aplicaci n que asigna a cada muestra, m, un resumen estad stico determinado,U(m). Esta nueva variable aleatoria U tiene una distribuci n de probabilidad denominada distribuci n muestralde : E RU(m)=estad stico muestralm=(x1, x2, ..,xn) Su comportamiento depender del que tenga X en la poblaci n y del tama ode las muestras. Utilidad:Estaremos interesados en conocer su comportamiento probabil stico, porque estonos permitir hacer inferencias acerca del comportamiento de la poblaci n. A veces nos resultar til conocer su esperanza matem tica y/o su Muestrales Casos particulares de Distribuciones Muestrales : Sea una poblaci n P y X la variable aleatoria observada, cuya distribuci n esNormal),( NX Total muestralRU=total muestral=t: E m=(x1, x2.)

4 ,xn) ===niXitmU1)( Se verifica que el estad stico muestralt es tambi n normal con las siguientes mediay desviaci n t pica:),(21 nnNXitni = =Adem s, si el tama o de la muestra es suficientemente grande (n>30), t se distribuye normalmente, aunque X en la poblaci n no sea Muestrales Casos particulares de Distribuciones Muestrales : Sea una poblaci n P y X la variable aleatoria observada, cuya distribuci n esNormal),( NX Media muestralU=media muestral: E RnXiXmUni ===1)(m=(x1, x2, ..,xn) Se verifica que el estad stico muestralmedia es tambi n normal con las siguientes media y desviaci n t pica:),(1nNnXiXni = =Adem s, si el tama o de la muestra es suficientemente grande (n>30), se distribuye normalmente, aunque X en la poblaci n no sea Muestrales Casos particulares de Distribuciones Muestrales : Sea una poblaci n P y X la variable aleatoria observada, cuya distribuci n esNormal),( NX RU=S2: E m=(x1, x2.

5 ,xn)Estad stico cuasivarianzamuestral1)(122 = =nXXSniiObserva que esta nueva variable se ha obtenido a partir de la anterior (S2) multiplicando por la constante (n-1)/ Esta transformaci n permite conocer su comportamiento probabil stico2 Estad stico UchimuestralRUchi: E 22)1()( SnmUchi =m=(x1, x2, ..,xn) Se verifica que el estad stico muestralUchisigue un modelo Chi-cuadrado conn-1 grados de libertad2122)1( =nchiSnU Distribuciones Muestrales Casos particulares de Distribuciones Muestrales : Sea una poblaci n P y X la variable aleatoria observada, cuya distribuci n esNormal),( NX Estad stico Ut,v(funci n de los estad sticos media y cuasivarianza)RUt,v: E Observa que esta nueva variable se ha obtenido a partir de los estad sticos media y cuasidesviaci nt pica (S)Esta transformaci n permite conocer su comportamiento probabil sticonSXUt =,m=(x1, x2, ..,xn) Se verifica que el estad stico muestralUt,vsigue un modelo t de Studentconn-1 grados de libertad1,)( =nttnSXU Distribuciones Muestrales Casos particulares de Distribuciones Muestrales : Sea una poblaci n P y X la variable aleatoria observada, cuya distribuci n esuna Bernoulli: X=0 con probabilidad q=P(fracaso) y X=1 con probabilidad p=P( xito)Se sabe que E(X)=p y V(X)=pqEstad stico Ut=t=totalde xitos en la muestraObserva que esta variable refleja el total de xitos (1 s) en la muestra entre el total de selecciones n.

6 Es un caso particular de total muestral t, ya visto. Observa que es tambi n la variable binomialRUt: E ===niXitUt1m=(x1, x2, ..,xn) Se verifica que el estad stico muestralUtsigue un modelo Binomial),(pnBUt E(Ut)=npV(Ut)=npq Para tama os de muestra suficientemente grandes se aproxima a una normalDistribuciones Muestrales Casos particulares de Distribuciones Muestrales : Sea una poblaci n P y X la variable aleatoria observada, cuya distribuci n esuna Bernoulli: X=0 con probabilidad q=P(fracaso) y X=1 con probabilidad p=P( xito)Se sabe que E(X)=p y V(X)=pqEstad stico Up=proporci n de xitos en la muestraRUp : E xitosdeproporci nnXinUtUpni=== =1m=(x1, x2, ..,xn) Si el tama o de muestra es suficientemente grande (n>30)se verifica que el estad stico muestralUp sigue un modelo normalObserva que esta variable refleja la proporci n de xitos (1 s) en la muestra entre el total de selecciones n.

7 Es un caso particular de media muestral , ya visto. ),(npqpNUp Ejemplo simple de simulaci n del proceso de generaci n de una Distribuci n Muestralde la Media Supondremos una poblaci n formada por solo N=3 elementos. Por ejemplo 3 ni os. Se observa la variable X=edad. Consideremos la selecci n con reemplazamientode todas las muestras posibles de tama o n=2. Poblaci n ni os: {A, B, C} Edad: 2, 3 y 4 a os respectivamente. El espacio muestralformado por todas las muestras posibles E={AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC} Estad stico muestralU=media muestralU=media muestral: E RnXiXmUni ===1)(m=(x1, x2, ..,xn)Ejemplo simple de simulaci n del proceso de generaci n de una Distribuci n Muestralde la Media (continuaci n)U=media muestral: E R2222=+=X(AA)5,2232=+=X(AB)3242=+=X(AC)5 ,2232=+=X(BA)(BB)(CA)5,3243=+=X3233=+=X( BC)(CB)4244=+=X3242=+=X5,3243=+=X(CC)Eje mplo simple de simulaci n del proceso de generaci n de una Distribuci n Muestralde la Media (continuaci n)Distribuci n muestralde la mediaU=mediaP(U)21/92,52/933/93,52/941/9 X=EdadP(X)21/331/341/3 Distribuci n de X=Edaden la poblaci nE(X)=3 Varianza(X)=2/3 Comprueba que la esperanza de X en la poblaci n coincide con la esperanza de la variable media muestral, U, y que la varianza de U es igual al cociente entre la Varianza de X y el tama o de la muestra (2).

8 Ejemplo: Distribuci n Muestralde la MediaObserva que en la pr ctica se selecciona una muestra de la poblaci n y se efect a un resumen de dicha muestra mediante el c lculo de un estad stico muestralque nos interese. Por ejemplo media de la muestra, desviaci n t pica, mediana, conoci ramos el comportamiento que tienen todos los posibles valores del esta-d stico muestralque nos interesa (su modelo de probabilidad), podr amos saberqu probabilidad hay de que el valor de nuestra muestra est comprendida en undeterminado :Se ha seleccionado una muestra al azar de 50 mujeres de una poblaci n de mayoresde 18 a os. Se desconoce la talla media de la poblaci n, pero en la muestra se ha observado que la media de las 50 tallas es 1,60 m. Si se sabe por otros estudios quela desviaci n t pica en la poblaci n es de 3 ,3 cm, determina la probabilidad de que lamedia de la poblaci n no difiere en m s de 1 cmde la de la muestra.

9 Ejemplo: Distribuci n Muestralde la MediaEjemplo (continuaci n):Se sabe que para tama os de muestra grandes la media muestralse distribuyeseg n un modelo normal.),(1nNnXiXni = =)4667,0,()503,3,( NNX Sustituyendo X)14,214,2()4667,014667,01()11()1|)(| = =+ =< ZPZPXPXP 1 cmEjemplo: Distribuci n Muestralde la MediaEjemplo 2Se sabe que los pesos de los paquetes de cierto art culo en una cadena deproducci n se distribuyen normalmente con media 500 gry desviaci n t pica 10 grSe selecciona una muestra de 100 paquetes de la producci n y se observa que la media de stos es de 530 gr es coherente este resultado con la hip tesis de quese distribuyen normalmente con media y desviaci n t pica 500 y 10, respectivamente.)10,500(== NXSi la hip tesis fuese cierta, entonces habr que admitir)1,500()10010,500(NNX La probabilidad de observar un suceso tan extremoo m s (530 gr) es igual a500= )530( X0)30()1500530()530(= = = ZPZPXP530 Ejemplo: Distribuci n Muestralde la MediaEjemplo 3Se sabe que los pesos de los paquetes de cierto art culo en una cadena deproducci n se distribuyen normalmente con media 500 gry desviaci n t pica 10 grSe seleccionan muestras de 10, 50 y 100 paquetes de la producci la desviaci n t pica de la media muestralpara cada uno de estos 3 casos.

10 10,500(== NX)16,3,500()1010,500(NNX 500= XObserva que la variabilidad de la distribuci n muestralse reduce cuando aumenta nCaso n=10 Caso n=50 Caso n=10 Caso n=100)41,1,500()5010,500(NNX Caso n=50)1,500()10010,500(NNX Caso n=100 Ejemplo: Distribuci n Muestralde la MediaEjemplo 4En unas elecciones un determinado candidato asegura que tiene ganadosal menos el 50% de los votos. En un sondeo previo a las elecciones se obtuvo una muestra de 500 votantes y 160 se mostraron favorables al candidato es coherente con la hip tesis del candidato el resultado obtenido en la muestra?)5,0,1(= pBXSi la hip tesis fuese cierta, entonces habr a que admitir que la proporci n muestralse distribuye seg n)1118,0,5,0()5005,05,0,5,0(),(NNnpqpNUp La probabilidad de observar un suceso tan extremo o m s al obtenido Up=160/500=0,32 es5,0=p0)1,16()1118,05,032,0()32,0(= = = ZPZPUPp32,0)32,0( UpU)