AT00177401 03 PDmat2bachCC t03 - Blog de …

1 114 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, Piensa y calcula Dada la proporci n = , calcula el producto de extremos menos el producto de n:3 8 6 4 = 24 24 = mentalmente los siguientes determinantes:a) |A| = b) |B| = mentalmente los siguientes determinantes:a) |A| = b) |B| = los determinantes que se puedan calcular de lassiguientes matrices:a) A = b) B = Soluci n:a) |A| = = 38b) No se puede calcular porque no es los determinantes de las siguientes matrices:a) A = b) B = Soluci n:a) |A| = = 50b) |B| = = los determinantes de las siguientes matrices:a) A = b) B = Soluci n:a) |A| = = 255b) |B| = = los determinantes de las siguientes matrices:a) A = b) B = )8 3 154 9276() 25 1469 387(|123456789||3 2 5416 978|)123456789()3 2 5416 978(|258 9||47 2 9|)258 9()47 2 9(|3 456|)1 2 35 6 8()3 456(Soluci n:a) |A| = 0 porque tiene dos filas proporcionales; la 2 esel doble de la 1 b) |B| = 0 porque tiene una fila que es combinaci n li-neal de las otras dos.

2 La 3 es la suma de la 1 y de la 2 |3 2 147 975 8||1326|Soluci n:a) |A| = 0 porque tiene una columna de ) |B| = 0 porque tiene dos filas iguales, la 1 y la 3 |2 3 547 12 3 5||1020| Aplica la teor a1. Determinantes de orden 2 y 3 por SarrusTEMA 3. DETERMINANTES115 Grupo Editorial Bru o, n:a) |A| = = 265b) |B| = = los determinantes de las siguientes matrices:a) A = b) B = Soluci n:a) |A| = = 125b) |B| = = Et= (1 2 3) la traspuesta de la matriz E, cal-cula el determinante de la matriz Et ESoluci n:Et= E = (1, 2, 3) = (14)|Et E| = |14| = 14)123(|5 4 502 6007||500050005|)5 4 502 6007()500050005(|8 3 154 9276|| 25 1469 387| |A| == 374 y |B| =Halla mentalmente |B|.

3 Qu propiedad has utilizado? el valor de los siguientes determinantes y com-prueba que son 3 fila del 2 se ha obtenido sustituy ndola por lasuma de las tres del 1 |A| = , |B| = Soluci n:|A| = 245|B| = 245|3 1 245 6583||3 1 245 6 247|Soluci n:|B| = 374 Porque el determinante |B| se obtiene del |A| cambiandola 2 y 3 filas.|23 5 874019||23 5019 874| Aplica la teor a Piensa y calcula Dada la matriz , halla su determinante y el de su traspuesta. C mo son?Soluci n:|A| = = 2At= |At| = = 2 Ambos determinantes son iguales.|5364|)5364(|5634|)5634(2. Propiedades de los determinantes116 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, la identidad |A| = |At| siendo:|A| = que:= 2calcula el siguiente determinante y enuncia las propie-dades que utilices:Soluci n.

4 = + == + = 2 + 0 = 2En el 1erpaso hemos descompuesto el determinante enla suma de otros dos que tienen la 2 y 3 columna igua-les y la suma de las dos primeras columnas coincide conla 1 columna el 2 paso hemos cambiado en el 1erdeterminante la2 columna con la 3 y, por tanto, el determinante cambiade signo y el 2 determinante es cero, porque la 1 co-lumna es el doble de la 3 todos los elementos de una matriz de orden 3 3se multiplican por ( 1), qu relaci n hay entre los de-terminantes de la matriz original y de la nueva matriz?

5 Las matricesA = y B = comprueba que: |A B| = |A| |B|Soluci n:A B = = |A B| = = 1 071|A| = = 51|B| = = 21|A| |B| = 51 ( 21) = 1 071|943 1||2 578||31387 20|)31387 20()943 1()2 578()943 1()2 578(Soluci n:Si todos los elementos de una matriz de orden 3 3 semultiplican por ( 1), su determinante queda multiplicadopor ( 1)3= 1La propiedad que se ha utilizado dice que para multipli-car un determinante por un n mero se multiplica el n -mero por cada elemento de una l nea. Como se multipli-can las tres l neas, se eleva al cubo.|2b cb2e fe2h ih||ab cde fgh i||2b cb2e fe2h ih||ac bdfegih||a + 2b cbd + 2e feg + 2hih||a + 2bcbd + 2efeg + 2hih||abcde fgh i|Soluci n:|A| = 180|At| = 180|2 4 806 752 9| Piensa y calcula Halla una matriz A de orden 3, es decir, de dimensi n 3 3, definida por: aij= ( 1)i + jSoluci n:A = )1 1 1 11 11 1 1(3.

6 Desarrollo de un determinante por los elementos de una l neaTEMA 3. DETERMINANTES117 Grupo Editorial Bru o, la siguiente matriz:A = halla:a) el menor complementario del elemento a21b) el menor complementario del elemento a13 Soluci n:a) M21= = 24b) M13= = la matriz:A = halla:a) el adjunto del elemento a12b) el adjunto del elemento a31 Soluci n:a) A12= = 35b) A31= = el valor de los siguientes determinantes porlos adjuntos de la l nea m s sencilla:a) b) Soluci n:a) = 7= 7 23 = 161b) = 8= 8 22 = el valor de los siguientes determinantes.

7 A) b) Soluci n:a)= = == 86b)=== = == 3= 3 ( 388) = 1 en funci n de ael valor del determinante:D= Soluci n:D= = = = = a== a (2 a)3= a (a 2)3|2 a0012 a 0112 a||aaaa2 a00012 a00112 a0|2 1 3 2 4 3 |aaaa2aaa32aa432a||aaaa2aaa32aa432a||17 3244 60||712 317 32044 600|2 1 + 2 1 + 3 |712 338637 483||5 1 8 07012 33086370 483|1 + 2 7 1 + 4 |5 1 8 0214 3308627 83||2136 4||1 7 8021306 4|1 + 2 |1 7 8 19506 4||5 1 8 0214 3308627 83||1 7 8 19506 4||4 523||14 5 723800||5 243||4 7 950 2403||14 5 723800||4 7 950 2403|| 7 109||293 4|)8 7 120935 4(|4 529|| 3 09 8|)

8 6 3 04 5 729 8( Aplica la teor a118 SOLUCIONARIO Grupo Editorial Bru o, que las siguientes matrices son inversas:A = B = Soluci n:A B = = = I2B A = = = la inversa de las siguientes matrices:A = B = Soluci n:a) |A| = = 1A11= 2A21= 5A12= 1A22= 3A 1= b) |B| = = 2A11= 2A21= 3A12= 4A22= 7B 1= la inversa de las siguientes matrices:A = B = Soluci n:a) |A| = = 1A11= = 1A21= = 1A31= = 0A12= = 0A22= = 1A32= = 1A13= = 5A23= = 9A33= = 3A 1= b) |B| = = 2A11= = 1A21= = 2A31= = 2A12= = 1A22= = 8A32= = 12|84 7 5||8443|| 7 543|| 2 42 5|| 2 4 1 3||2 5 1 3||8 2 4 72 54 1 3|)

9 110011 5 9 3(|63 5 3||6354|| 5 354||61 5 1||6151|| 5 151||31 3 1||3141|| 3 141||631 5 3 1541|)8 2 4 72 54 1 3()631 5 3 1541()1 3/2 27/2(|7342|)2 5 1 3(|3512|)7342()3512()1001()5645()5 6 4 5()1001()5 6 4 5()5645()5 6 4 5()5645( Aplica la teor a Piensa y calcula Multiplica las siguientes matrices A B y B A. Qu matriz se obtiene?A = y B = Soluci n:A B = = = I2B A = = = l2En ambos casos se obtiene la matriz unidad de orden 2)1001()3275()5 2 7 3()1001()5 2 7 3()3275()5 2 7 3()3275(4. Matriz inversaTEMA 3. DETERMINANTES119 Grupo Editorial Bru o, = 1A23= = 0A33= = 2B 1= que la matriz A = n:Para comprobar que es ortogonal hallamos la traspues-ta y la inversa y veremos que son |A| = = sen2x + cos2x = 1 A 1= Por tanto:A 1= las siguientes matrices, determina si son inver-tibles y, en su caso, calcula la matriz inversa y el deter-minante de dicha ) A = b) B = Soluci n:Para que una matriz sea invertible tiene que ser cuadra-da y su determinante distinto de ) La matriz A es cuadrada.

10 |A| = = 2 Por tanto,A es 4A21= 2A12= 3A22= 1A 1= El determinante de la inversa es el inverso del deter-minante.|A 1| = = b) La matriz B no es cuadrada. Por tanto, no es la matriz A que depende de un par metro aA = a) Para qu valores de atiene A inversa? Justifica ) Para a = 0 halla la inversa de ASoluci n:a) Como A es una matriz cuadrada, para que tenga in-versa, su determinante tiene que ser distinto de a3 3a2+ 3a 1a3 3a2+ 3a 1 = 0 a = 1La matriz A tiene inversa para a 1b) Para a = 0 se tiene:A = |A| = = 1A11= = 1A21= = 1A31= = 1A12= = 2A22= = 1A32= = 0A13= = 1A23= = 0A33= = 0A 1= )1 1 1 210100(|0001||0011||0111||0102||0111||02 11||0112||0111||1211||001012111|)0010121 11(|a2a12aa + 12111|)a2a12aa + 12111(121|A|) 213/2 1/2(|1234|)123456()1234()sen x cos xcos xsen x( A11= sen xA21= cos xA12= cos x A22= sen x|sen x cos x cos x sen x|)sen x cos xcos xsen x()sen xcos x cos xsen x()