Ejemplos Resueltos Tema 4 - Universidad de Granada

1 Ejemplos Resueltos Tema 420121. Contraste de Hip otesis para la Media (con conocida)Dada una muestra de tama no n y conocida la desviaci on t pica de lapoblaci on , se desea contrastar la hip otesis nula:H0: = 0frente a la alternativa:H1: 6= 0con un nivel de significaci on .Dado el valor muestral de la mediaX, se determina el estad stico decontraste:zc=X 0 nDado el nivel de significaci on se determina el valorz /2tal que =P(|Z| z /2)Es decir, se obtiene el cuantil1de orden 1 /2,z /2, en el modelonormal, tal que las colas a izquierda y derecha de los valores z /2, sumanun area total igual a .Si|zc|> z /2se decide rechazar la hip otesis |zc| z /2no se puede rechazar la hip otesis gr afico siguiente muestra las zonas de aceptaci on y rechazo de lahip otesis nula:1En la bibliograf a existente es corriente usar la notaci onz para indicar el cuantil deorden 1 , es decir, el sub ndice indica el area que queda a la derecha del cuantil en elgr afico del modelo de probabilidad.

2 Tambi en la usaremos aqu .1 4 n normal estandarizadaContraste de 2 colasRECHAZORECHAZOACEPTO1 alfaEjemplo de contraste de hip otesis para la media, con co-nocida (dos colas)Se desea contrastar con un nivel de significaci on del 5 % la hip otesis deque la talla media de los hombres de 18 o m as a nos de un pa s es igual a180. Suponiendo que la desviaci on t pica de las tallas en la poblaci on vale 4,contraste dicha hip otesis frente a la alternativa de que es : = 180frente a la alternativa:H1: 6= 180 Los datos constituyen una muestra de n=15 hombres seleccionados alazar, cuyas alturas son:167 167 168 168 168 169 171 172 173 175 175 175 177 182 195Es necesario determinar la media de la muestra,X, y los valores de loscuantiles,z 2, en la distribuci on normal. En el modelo normal, el cuantil deorden esz0,025= 1, media de la muestra es igual a los datos en la expresi on del estad stico de contraste, tene-mos:zc=173,47 1804 15= 6,32El valor del estad stico de contraste est a en la zona de rechazo.

3 Por loque se rechaza la hip otesis nula que establece una talla media igual a aficamente la situaci on es la siguiente: 6 4 n normal estandarizadaContraste de 2 de Contraste de hip otesis para la media con cono-cida(una cola)Se desea contrastar con un nivel de significaci on del 5 % la hip otesis deque la talla media de los hombres de 18 o m as a nos de un pa s es igual omayor a 175. Suponiendo que la desviaci on t pica de las tallas en la poblaci onvale 4, contraste dicha hip otesis frente a la alternativa de que es menor, conuna muestra de n=15 hombres seleccionados al azar, cuyas alturas son lasdel apartado anterior:H0: 1753frente a la alternativa:H1: <175En el modelo normal, el cuantil de orden es z0,05= 1, los datos en la expresi on del estad stico de contraste, tene-mos:zc=173,47 1754 15= 1,48El valor del estad stico de contraste est a en la zona de aceptaci on.

4 Porlo que no se puede rechazar la hip otesis nula que establece una talla mediaigual o mayor a 175 aficamente la situaci on es la siguiente: 6 4 n normal estandarizadaContraste de una cola de Contraste de Hip otesis para la media con desconocida (una cola)Supongamos que se desconoce la desviaci on t pica de las tallas en lapoblaci on del ejemplo anterior. Se desea contrastar la hip otesis nula siguientea un nivel de significaci on del 5 %.4H0: 168frente a la alternativa:H1: >168En este caso es necesario estimar la desviaci on t pica de la poblaci on conlos datos de la el valor muestral de la mediaXy la cuasidesviaci on t pica de lamuestra,s, se determina el estad stico de contraste:tc=X 0s nEn este ejemplo el contraste es de una cola, tal que el nivel de significaci on que determina el valort es tal que =P(tn 1 t )Para el nivel de significaci on dado, = 0,05, es necesario determinar elcuantil en la distribuci on t de Student con n-1 grados de libertad y el valors (cuasidesviaci on t pica) de la muestra:Para los datos de la muestra se obtiene queX= 137,47 ys= 7,36.

5 Elcuantil en la distribuci ont14est = 1,762. De modo que sustituyendo en laexpresi on del estad stico de contraste, tenemos:tc=173,47 1687,36 15= 2,88El gr afico siguiente muestra la situaci on que nos lleva a rechazar la hi-p otesis nula, dado que el valor del estad stico de contraste cae en la zona 6 4 n t de Student 14 de una Contraste de hip otesis para la proporci onEl contraste de 2 colas establece las hip otesis:H0:p=p0frente a la alternativaH1:p6=p0donde p es la probabilidad del exito y q=1-p es la probabilidad del un nivel de significaci on , es necesario determinar el valor delcuantilz /2en una distribuci on normal. Dada la proporci on muestral, elestad stico de contraste viene dado porzc=p p0 p0 q0n6 Ejemplo de Contraste de Hip otesis para la proporci on (unacola)En una muestra de 105 comercios seleccionados al azar de una zona,se observa que 27 de ellos han tenido p erdidas en este mes.

6 Un analistaecon omico de la zona establece que la proporci on de comercios en la zonacon p erdidas es igual o superior a Contraste dicha hip otesis a un nivelde significaci on del 5 %.El contraste de una cola establece las hip otesis:H0:p 0,35frente a la alternativaH1:p <0,35La proporci on en la muestra, p, de comercios con p erdidas es:p=27105= 0,26q= 1 p= 0,74El cuantil z correspondiente al nivel de significaci on es igual a z = 1,65El valor del estad stico de contraste eszc=p p0 p0 q0n=0,26 0,35 0,35 0,65105= 1,93Gr aficamente tenemos7 6 4 n normal estandarizadaContraste de una cola