Enseignement de mathématiques - …

1 Enseignement de math matiques Classe de premi re STMG D rivation : parabole et raccordement l aide de tangentes Contexte p dagogique Objectifs Calculer un nombre d riv et l identifier au coefficient directeur de la tangente. D terminer une quation de la tangente en un point du graphe d'une fonction trin me du second degr . Utiliser une feuille automatis e de calcul dans le cadre de la r solution de probl mes. Extrait du programme de l Enseignement de math matiques du cycle terminal STMG Bulletin officiel n 6 du 9 f vrier 2012 Contenus Capacit s attendues Commentaires D rivation Application : nombre d riv , tangente.

2 Calculer le nombre d riv et l identifier au coefficient directeur de la tangente. D terminer une quation de la tangente en un point du graphe d'une fonction trin me du second degr . Tracer une tangente. La tangente en un point K d abscisse xK est d finie comme la droite passant par K de coefficient directeur f '(xK). Fonction d riv e d'une fonction polyn me de degr 3. D terminer l expression de la fonction d riv e d une fonction polyn me de degr 3. Pr requis, capacit s quation r duite d une droite. Sym trie orthogonale par rapport une droite. R solution d un syst me d quations lin aires. Utilisations d outils logiciels : Adressage relatif. Insertion d un graphique.

3 MEN/DGESCO-IGEN Juin 2013 Ressources pour le lyc e technologique duSCOLLes intentions L un des int r ts des tangentes est de permettre de raccorder deux courbes en un point sans cassure : il suffit que ces deux courbes aient la m me tangente en ce point. L activit propose : trois fa ons d tudier le raccordement d une parabole et d une droite, l tude de la jonction de deux paraboles, avec, pour prolongement, l tude d une fonction polyn me de degr 3, puis quelques exemples suppl mentaires de raccordement de courbes.

4 Cette notion de jonction des deux courbes est aussi trait e dans un document ressources de la s rie STD2A, intitul Arcs en architecture . Ce document est disponible sur internet l adresse : Ce document propose des s quences pour tudier trois formes d arcs complexes : lors de ces s quences, on en vient tudier diff rents probl mes de raccordement de courbes : raccordement de deux arcs de cercle, raccordement d un arc de cercle et d une droite .. Exemples d activit s raccordement d une parabole et d une droite : profil d une piste de skate-board. Pr sentation du probl me Pour illustrer le cas du prolongement d une parabole par une droite, on peut utiliser le profil d une piste de skate-board donn ci-dessous.

5 46-2-4-6-823-1021xyBDCB'C'D'O D apr s un sujet de Bac professionnel Travaux publics 2006 Cette courbe est sym trique par rapport l axe (Oy). Les points B, C et D ont pour coordonn es respectives (1 ; 0), (5 ; 1,8) et (6 ; 2,7). La courbe reliant les points B et C est la courbe repr sentative de la restriction l intervalle [1 ; 5] de la fonction f d finie sur R par : f (x) = 0,1125(x 1)2 soit f (x) = 0,1125x2 0,225x + 0,1125. [OB] et [CD] sont des segments. Afin que le mouvement du skate-board sur la piste reste fluide et sans accroc, les prolongements rectilignes [OB] et [CD] sont construits partir des tangentes la courbe repr sentative de f aux points B et C.

6 Remarque : Les points B', C' et D' ont donc pour coordonn es respectives ( 1 ; 0), ( 5 ; 1,8) et ( 6 ; 2,7). La courbe reliant les points B' et C' est la courbe repr sentative de la restriction l intervalle [ 5 ; 1].de la fonction g d finie sur R par : g(x) = 0,1125(x + 1)2soit g(x) = 0,1125x2 + 0,225x + 0,1125. Minist re de l ducation nationale (DGESCO IGEN) Page 2 sur 7 Math matiques Classe de premi re STMG D rivation : parabole et raccordement l aide de tangentes On peut envisager plusieurs utilisations de cet exemple : Travailler sur le trac de droites en r alisant la construction la main de la piste de skate-board. Les tangentes peuvent tre trac es soit partir de leur quation r duite, ce qui donne aussi l occasion de faire chercher l quation r duite de la tangente, soit partir d un point et de leur coefficient directeur.

7 Revenir sur la recherche d quations de droites partir de la donn e des coordonn es de deux points. D terminer les quations des droites (OB) et (CD) permet de v rifier que le profil de cette piste utilise bien les tangentes la courbe repr sentative de f pour prolonger la partie incurv e sans cassure. Utiliser le tableur pour tracer ce profil. Il sera alors n cessaire de compl ter un tableau en plusieurs parties (chacune correspondant une partie du trac de la piste). Application 1 Construction de la piste de skate-board Apr s avoir donn aux l ves l expression de la fonction f et le trac de sa courbe repr sentative Cf (sur papier millim tr dans un rep re orthonormal, d unit s graphiques 2 cm, par exemple), on peut leur demander : 1.

8 De placer sur la courbe Cf les points B et C d abscisses respectives 1 et 5 et de limiter le trac de la courbe Cf l intervalle [1 ; 5] ( tape 1) ; 2. de tracer ensuite ( tape 2) les tangentes la courbe Cf aux points B et C : soit en d terminant les quations des tangentes ; soit en partant des points B et C et en utilisant leur coefficient directeur (respectivement 0 et 1) ; puis de placer le point D d abscisse 6 appartenant la tangente la courbe Cf au point C ; 3. puis enfin, apr s avoir limit le trac de la piste de skate-board l intervalle [0 ; 6], de le compl ter par sym trie par rapport l axe (Oy) ( tape 3). tape 1 46-2-4-6-823021xyBC tape 2 46-2-4-6-823021xyBDC Minist re de l ducation nationale (DGESCO IGEN) Page 3 sur 7 Math matiques Classe de premi re STMG D rivation : parabole et raccordement l aide de tangentes tape 3 46-2-4-6-823021xyBDCB'C'D' Exemple d nonc : On va r aliser le trac de la piste de skate-board vue pr c demment.

9 Le plan est rapport un rep re orthogonal. On consid re la fonction d finie sur R par f (x) = 0,1125x2 0,225x + 0,1125. On appelle Cf la courbe repr sentative de la fonction f. 1. Calculer f (1) et f (5) puis f '(1) et f '(5). 2. Tracer dans le rep re ci-dessous la tangente en B Cf et la tangente en C Cf. 3. Compl ter le trac pour obtenir la piste de skate-board compl te. 46-2-4-623021xy Application 2 V rification de l utilisation des tangentes tant donn s le trac de la piste de skate-board, les coordonn es des points B, C et D ainsi que l expression de la fonction f, on d termine les quations des tangentes la courbe aux points d abscisses 1 et 5 puis on v rifie que ce sont bien les quations des droites (OB) et (CD).

10 46-2-4-6-823-1021xyOBDCB'C'D' Exemple d nonc : La courbe ci-dessus est sym trique par rapport la droite (Oy). On a : B(1 ; 0) C(5 ; 1,8) D(6 ; 2,7). La courbe reliant B C est la repr sentation graphique de la fonction f d finie sur l intervalle [1 ; 5].par : f (x) = 0,1125x2 0,225x + 0,1125. 1. D terminer les quations des tangentes la courbe repr sentative de f aux points d abscisses 1 et 5. 2. D terminer les quations r duites des droites (OB) et (CD). Que constate-t-on ? Minist re de l ducation nationale (DGESCO IGEN) Page 4 sur 7 Math matiques Classe de premi re STMG D rivation : parabole et raccordement l aide de tangentes Application 3 Trac de la piste l aide d un tableur On compl te un tableau de valeurs pour tracer la courbe sur tableur.