Exo7 - Cours de mathématiques

1 Exo7. Polyn mes Vid o partie 1. D finitions Vid o partie 2. Arithm tique des polyn mes Vid o partie 3. Racine d'un polyn me, factorisation Vid o partie 4. Fractions rationnelles Exercices Polyn mes Exercices Fractions rationnelles Motivation Les polyn mes sont des objets tr s simples mais aux propri t s extr mement riches. Vous savez d j r soudre les quations de degr 2 : aX 2 + bX + c = 0. Savez-vous que la r solution des quations de degr 3, aX 3 + bX 2 + cX + d = 0, a fait l'objet de luttes acharn es dans l'Italie du X V I e si cle ?

2 Un concours tait organis avec un prix pour chacune de trente quations de degr 3 r soudre. Un jeune italien, Tartaglia, trouve la formule g n rale des solutions et r sout les trente quations en une seule nuit ! Cette m thode que Tartaglia voulait garder secr te sera quand m me publi e quelques ann es plus tard comme la m thode de Cardan . Dans ce chapitre, apr s quelques d finitions des concepts de base, nous allons tudier l'arithm - tique des polyn mes. Il y a une grande analogie entre l'arithm tique des polyn mes et celles des entiers.

3 On continue avec un th or me fondamental de l'alg bre : Tout polyn me de degr n admet n racines complexes. On termine avec les fractions rationnelles : une fraction rationnelle est le quotient de deux polyn mes. Dans ce chapitre K d signera l'un des corps Q, R ou C. 1. D finitions D finitions D finition 1. Un polyn me coefficients dans K est une expression de la forme P(X ) = a n X n + a n 1 X n 1 + + a 2 X 2 + a 1 X + a 0 , avec n N et a 0 , a 1 , .. , a n K. L'ensemble des polyn mes est not K[X ]. Les a i sont appel s les coefficients du polyn me.

4 Si tous les coefficients a i sont nuls, P est appel le polyn me nul, il est not 0. On appelle le degr de P le plus grand entier i tel que a i 6= 0 ; on le note deg P. Pour le degr du polyn me nul on pose par convention deg(0) = . Un polyn me de la forme P = a 0 avec a 0 K est appel un polyn me constant. Si a 0 6= 0, son degr est 0. 1. 2. Exemple 1. X 3 5X + 34 est un polyn me de degr 3. X n + 1 est un polyn me de degr n. 2 est un polyn me constant, de degr 0. Op rations sur les polyn mes galit . Soient P = a n X n + a n 1 X n 1 + + a 1 X + a 0 et Q = b n X n + b n 1 X n 1 + + b 1 X + b 0.

5 Deux polyn mes coefficients dans K. P =Q ssi a i = b i pour tout i et on dit que P et Q sont gaux. Addition. Soient P = a n X n + a n 1 X n 1 + + a 1 X + a 0 et Q = b n X n + b n 1 X n 1 + + b 1 X + b 0 . On d finit : P + Q = (a n + b n )X n + (a n 1 + b n 1 )X n 1 + + (a 1 + b 1 )X + (a 0 + b 0 ). Multiplication. Soient P = a n X n + a n 1 X n 1 + + a 1 X + a 0 et Q = b m X m + b m 1 X m 1 +. + b 1 X + b 0 . On d finit P Q = c r X r + c r 1 X r 1 + + c 1 X + c 0 avec r = n + m et c k =. X. a i b j pour k {0, .. , r }. i+ j=k Multiplication par un scalaire.

6 Si K alors P est le polyn me dont le i- me coefficient est a i . Exemple 2. Soient P = aX 3 + bX 2 + cX + d et Q = X 2 + X + . Alors P +Q = aX 3 +(b+ )X 2 +(c+ )X +. (d + ), P Q = (a )X 5 + (a + b )X 4 + (a + b + c )X 3 + (b + c + d )X 2 + (c + d )X + d . Enfin P = Q si et seulement si a = 0, b = , c = et d = . La multiplication par un scalaire P quivaut multiplier le polyn me constant par le polyn me P. L'addition et la multiplication se comportent sans probl me : Proposition 1. Pour P,Q, R K[X ] alors 0 + P = P, P + Q = Q + P, (P + Q) + R = P + (Q + R).

7 1 P = P, P Q = Q P, (P Q) R = P (Q R) ;. P (Q + R) = P Q + P R. Pour le degr il faut faire attention : 3. Proposition 2. Soient P et Q deux polyn mes coefficients dans K. deg(P Q) = deg P + degQ. deg(P + Q) max(deg P, degQ). On note Rn [X ] = P R[X ] | deg P n . Si P,Q Rn [X ] alors P + Q Rn [X ].. Vocabulaire Compl tons les d finitions sur les polyn mes. D finition 2. Les polyn mes comportant un seul terme non nul (du type a k X k ) sont appel s mo- n mes. Soit P = a n X n + a n 1 X n 1 + + a 1 X + a 0 , un polyn me avec a n 6= 0.

8 On appelle terme dominant le mon me a n X n . Le coefficient a n est appel le coefficient dominant de P. Si le coefficient dominant est 1, on dit que P est un polyn me unitaire. Exemple 3. P(X ) = (X 1)(X n + X n 1 + + X + 1). On d veloppe cette expression : P(X ) = X n+1 + X n +.. + X 2 + X X n + X n 1 + + X + 1 = X n+1 1. P(X ) est donc un polyn me de degr n + 1, . il est unitaire et est somme de deux mon mes : X n+1 et 1. Remarque Tout polyn me est donc une somme finie de mon mes. Mini-exercices 1. Soit P(X ) = 3X 3 2, Q(X ) = X 2 + X 1, R(X ) = aX + b.

9 Calculer P + Q, P Q, (P + Q) R. et P Q R. Trouver a et b afin que le degr de P QR soit le plus petit possible. 2. Calculer (X + 1)5 (X 1)5 . 3. D terminer le degr de (X 2 + X + 1)n aX 2n bX 2n 1 en fonction de a, b. 4. Montrer que si deg P 6= degQ alors deg(P + Q) = max(deg P, degQ). Donner un contre- exemple dans le cas o deg P = degQ. 5. Montrer que si P(X ) = X n + a n 1 X n 1 + alors le coefficient devant X n 1 de P(X a nn 1 ). est nul. 4. 2. Arithm tique des polyn mes Il existe de grandes similarit s entre l'arithm tique dans Z et l'arithm tique dans K[X ].

10 Cela nous permet d'aller assez vite et d'omettre certaines preuves. Division euclidienne D finition 3. Soient A, B K[X ], on dit que B divise A s'il existe Q K[X ] tel que A = BQ. On note alors B| A. On dit aussi que A est multiple de B ou que A est divisible par B. Outre les propri t s videntes comme A | A, 1| A et A |0 nous avons : Proposition 3. Soient A, B, C K[X ]. 1. Si A |B et B| A, alors il existe K tel que A = B. 2. Si A |B et B|C alors A |C. 3. Si C | A et C |B alors C |(AU + BV ), pour tout U, V K[X ]. Th or me 1. Division euclidienne des polyn mes Soient A, B K[X ], avec B 6= 0, alors il existe un unique polyn me Q et il existe un unique polyn me R tels que : A = BQ + R et deg R < deg B.