Exo7 - Cours de mathématiques

1 Matrices Vid o partie 1. D finition Vid o partie 2. Multiplication de matrices Vid o partie 3. Inverse d'une matrice : d finition Vid o partie 4. Inverse d'une matrice : calcul Vid o partie 5. Inverse d'une matrice : syst mes lin aires et matrices l mentaires Vid o partie 6. Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices sym triques Fiche d'exercices Calculs sur les matrices Les matrices sont des tableaux de nombres. La r solution d'un certain nombre de probl mes d'alg bre lin aire se ram ne des manipulations sur les matrices. Ceci est vrai en particulier pour la r solution des syst mes lin aires. Dans ce chapitre, K d signe un corps. On peut penser Q, R ou C. 1. D finition D finition D finition 1. Une matrice A est un tableau rectangulaire d' l ments de K. Elle est dite de taille n p si le tableau poss de n lignes et p colonnes. Les nombres du tableau sont appel s les coefficients de A.

2 Le coefficient situ la i- me ligne et la j- me colonne est not ai, j . Un tel tableau est repr sent de la mani re suivante : . a1,1 a1,2 .. a1, j .. a1,p a2,1 a2,2 .. a2, j .. a2,p .. A= ou A = ai, j 16i 6n ou ai, j . ai,1 ai,2 .. ai, j .. ai,p .. 16 j 6 p .. an,1 an,2 .. an, j .. an,p Exemple 1.. 2 1 5. A=. 3 0 7. est une matrice 2 3 avec, par exemple, a1,1 = 1 et a2,3 = 7. Encore quelques d finitions : D finition 2. Deux matrices sont gales lorsqu'elles ont la m me taille et que les coefficients correspondants sont gaux. L'ensemble des matrices n lignes et p colonnes coefficients dans K est not Mn,p (K). Les l ments de Mn,p (R). MATRICES 1. D FINITION 2. sont appel s matrices r elles. Matrices particuli res Voici quelques types de matrices int ressantes : Si n = p (m me nombre de lignes que de colonnes), la matrice est dite matrice carr e. On note Mn (K) au lieu de Mn,n (K).

3 A1,1 a1,2 .. a1,n a2,1 a2,2 .. a2,n .. an,1 an,2 .. an,n Les l ments a1,1 , a2,2 , .. , an,n forment la diagonale principale de la matrice. Une matrice qui n'a qu'une seule ligne (n = 1) est appel e matrice ligne ou vecteur ligne. On la note . A = a1,1 a1,2 .. a1,p . De m me, une matrice qui n'a qu'une seule colonne (p = 1) est appel e matrice colonne ou vecteur colonne. On la note . a1,1. a2,1 . A = .. an,1. La matrice (de taille n p) dont tous les coefficients sont des z ros est appel e la matrice nulle et est not e 0n,p ou plus simplement 0. Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le r le du nombre 0 pour les r els. Addition de matrices D finition 3 (Somme de deux matrices). Soient A et B deux matrices ayant la m me taille n p. Leur somme C = A + B est la matrice de taille n p d finie par ci j = ai j + bi j . En d'autres termes, on somme coefficients par coefficients.

4 Remarque : on note indiff remment ai j o ai, j pour les coefficients de la matrice A. Exemple 2.. 3 2 0 5 3 3. Si A= B=. et alors A+ B = . 1 7 2 1 3 6.. 0 2. Par contre si B = alors A + B 0 n'est pas d finie. 8. D finition 4 (Produit d'une matrice par un scalaire).. Le produit d'une matrice A = ai j de Mn,p (K) par un scalaire K est la matrice ai j form e en multipliant chaque coefficient de A par . Elle est not e A (ou simplement A). Exemple 3.. 1 2 3 2 4 6. Si A= et =2 alors A = . 0 1 0 0 2 0. La matrice ( 1)A est l'oppos e de A et est not e A. La diff rence A B est d finie par A + ( B). MATRICES 2. MULTIPLICATION DE MATRICES 3. Exemple 4.. 2 1 0 1 4 2 3 5 2. Si A= et B= alors A B = . 4 5 2 7 5 3 3 0 1. L'addition et la multiplication par un scalaire se comportent sans surprises : Proposition 1. Soient A, B et C trois matrices appartenant Mn,p (K).

5 Soient K et K deux scalaires. 1. A + B = B + A : la somme est commutative, 2. A + (B + C) = (A + B) + C : la somme est associative, 3. A + 0 = A : la matrice nulle est l' l ment neutre de l'addition, 4. ( + )A = A + A, 5. (A + B) = A + B. D monstration. Prouvons par exemple le quatri me point. Le terme g n ral de ( + )A est gal ( + )ai j . D'apr s les r gles de calcul dans K, ( + )ai j est gal ai j + ai j qui est le terme g n ral de la matrice A + A. Mini-exercices. 7 2 1 2 3 21 6 1 0 1 1 2 . 1. Soient A = 0 1 , B = 2 3 1 , C = 0 3 , D = 12 0 1 0 , E = 3 0 . Calculer toutes les sommes possibles 1 4 321 3 12 111 8 6. de deux de ces matrices. Calculer 3A + 2C et 5B 4D. Trouver tel que A C soit la matrice nulle. 2. Montrer que si A + B = A, alors B est la matrice nulle. 3. Que vaut 0 A ? et 1 A ? Justifier l'affirmation : ( A) = ( )A. Idem avec nA = A + A + + A (n occurrences de A).

6 2. Multiplication de matrices D finition du produit Le produit AB de deux matrices A et B est d fini si et seulement si le nombre de colonnes de A est gal au nombre de lignes de B. D finition 5 (Produit de deux matrices). Soient A = (ai j ) une matrice n p et B = (bi j ) une matrice p q. Alors le produit C = AB est une matrice n q dont les coefficients ci j sont d finis par : p X. ci j = aik bk j k=1. On peut crire le coefficient de fa on plus d velopp e, savoir : ci j = ai1 b1 j + ai2 b2 j + + aik bk j + + aip b p j . Il est commode de disposer les calculs de la fa on suivante.. B.. |. | . A AB. ci j . MATRICES 2. MULTIPLICATION DE MATRICES 4. Avec cette disposition, on consid re d'abord la ligne de la matrice A situ e gauche du coefficient que l'on veut calculer (ligne repr sent e par des dans A) et aussi la colonne de la matrice B situ e au-dessus du coefficient que l'on veut calculer (colonne repr sent e par des dans B).

7 On calcule le produit du premier coefficient de la ligne par le premier coefficient de la colonne (ai1 b1 j ), que l'on ajoute au produit du deuxi me coefficient de la ligne par le deuxi me coefficient de la colonne (ai2 b2 j ), que l'on ajoute au produit du troisi me.. Exemples Exemple 5.. 1 2. 12 3. A= B = 1 1 . 23 4. 1 1. On dispose d'abord le produit correctement ( gauche) : la matrice obtenue est de taille 2 2. Puis on calcule chacun des coefficients, en commen ant par le premier coefficient c11 = 1 1 + 2 ( 1) + 3 1 = 2 (au milieu), puis les autres ( droite).. 1 2 1 2 1 2. 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 . 1 2 3 c11 c12 1 2 3 2 c12 1 2 3 2 7. 2 3 4 c21 c22 2 3 4 c21 c22 2 3 4 3 11. Un exemple int ressant est le produit d'un vecteur ligne par un vecteur colonne : . b1. b2 . u = a1 a2 an v= .. bn Alors u v est une matrice de taille 1 1 dont l'unique coefficient est a1 b1 + a2 b2 + + an bn.

8 Ce nombre s'appelle le produit scalaire des vecteurs u et v. Calculer le coefficient ci j dans le produit A B revient donc calculer le produit scalaire des vecteurs form s par la i- me ligne de A et la j- me colonne de B. Pi ges viter Premier pi ge. Le produit de matrices n'est pas commutatif en g n ral. En effet, il se peut que AB soit d fini mais pas BA, ou que AB et BA soient tous deux d finis mais pas de la m me taille. Mais m me dans le cas o AB et BA sont d finis et de la m me taille, on a en g n ral AB 6= BA. Exemple 6.. 5 1 2 0 14 3 2 0 5 1 10 2. = mais = . 3 2 4 3 2 6 4 3 3 2 29 2. Deuxi me pi ge. AB = 0 n'implique pas A = 0 ou B = 0. Il peut arriver que le produit de deux matrices non nulles soit nul. En d'autres termes, on peut avoir A 6= 0 et B 6= 0. mais AB = 0. Exemple 7.. 0 1 2 3 0 0. A= B= et AB = . 0 5 0 0 0 0. Troisi me pi ge. AB = AC n'implique pas B = C.

9 On peut avoir AB = AC et B 6= C. MATRICES 2. MULTIPLICATION DE MATRICES 5. Exemple 8.. 0 1 4 1 2 5 5 4. A= B= C= et AB = AC = . 0 3 5 4 5 4 15 12. Propri t s du produit de matrices Malgr les difficult s soulev es au-dessus, le produit v rifie les propri t s suivantes : Proposition 2. 1. A(BC) = (AB)C : associativit du produit, 2. A(B + C) = AB + AC et (B + C)A = BA + CA : distributivit du produit par rapport la somme, 3. A 0 = 0 et 0 A = 0. D monstration. Posons A = (ai j ) Mn,p (K), B = (bi j ) M p,q (K) et C = (ci j ) Mq,r (K). Prouvons que A(BC) = (AB)C. en montrant que les matrices A(BC) et (AB)C ont les m mes coefficients. Xp Le terme d'indice (i, k) de la matrice AB est x ik = ai` b`k . Le terme d'indice (i, j) de la matrice (AB)C est donc `=1. q q p . X X X. x ik ck j = ai` b`k ck j . k=1 k=1 `=1. q X. Le terme d'indice (`, j) de la matrice BC est y` j = b`k ck j.

10 Le terme d'indice (i, j) de la matrice A(BC) est donc k=1. p q . X X. ai` b`k ck j . `=1 k=1. Comme dans K la multiplication est distributive et associative, les coefficients de (AB)C et A(BC) co ncident. Les autres d monstrations se font comme celle de l'associativit . La matrice identit . La matrice carr e suivante s'appelle la matrice identit : . 1 0 .. 0. 0 1 .. 0 . In = .. 0 0 .. 1. Ses l ments diagonaux sont gaux 1 et tous ses autres l ments sont gaux 0. Elle se note I n ou simplement I. Dans le calcul matriciel, la matrice identit joue un r le analogue celui du nombre 1 pour les r els. C'est l' l ment neutre pour la multiplication. En d'autres termes : Proposition 3. Si A est une matrice n p, alors In A = A et A I p = A. D monstration. Nous allons d tailler la preuve. Soit A Mn,p (K) de terme g n ral ai j . La matrice unit d'ordre p est telle que tous les l ments de la diagonale principale sont gaux 1, les autres tant tous nuls.