Transcription of Exo7 - Cours de mathématiques
1 A L G B R ECO U R S D E M AT H M AT I Q U E SPR E M I R E A N N EExo7 la d couverte de l alg breLa premi re ann e d tudes sup rieures pose les bases des math matiques . Pourquoi se lancer dans unetelle exp dition ? D j parce que les math matiques vous offriront un langage unique pour acc der unemultitude de domaines scientifiques. Mais aussi parce qu il s agit d un domaine passionnant ! Nous vousproposons de partir la d couverte des maths, de leur logique et de leur beaut .Dans vos bagages, des objets que vous connaissez d j : les entiers, les Ces notions en apparencesimples et intuitives seront abord es ici avec un souci de rigueur, en adoptant un langage pr cis et enpr sentant les preuves.
2 Vous d couvrirez ensuite de nouvelles th ories (les espaces vectoriels, les quationsdiff rentielles,..).Ce tome est consacr l alg bre et se divise en deux parties. La premi re partie d bute par la logiqueet les ensembles, qui sont des fondamentaux en math matiques . Ensuite vous tudierez des ensemblesparticuliers : les nombres complexes, les entiers ainsi que les polyn mes. Cette partie se termine par l tuded une premi re structure alg brique, avec la notion de seconde partie est enti rement consacr e l alg bre lin aire. C est un domaine totalement nouveau pourvous et tr s riche, qui recouvre la notion de matrice et d espace vectoriel.
3 Ces concepts, la fois profonds etutiles, demandent du temps et du travail pour tre bien efforts que vous devrez fournir sont importants : tout d abord comprendre le Cours , ensuite conna trepar c ur les d finitions, les th or mes, les sans oublier de travailler les exemples et lesd monstrations, qui permettent de bien assimiler les notions nouvelles et les m canismes de , vous devrez passer autant de temps pratiquer les math matiques : il est indispensable de r soudreactivement par vous-m me des exercices, sans regarder les solutions. Pour vous aider, vous trouverez sur lesite Exo7 toutes les vid os correspondant ce Cours , ainsi que des exercices corrig bout du chemin, le plaisir de d couvrir de nouveaux univers, de chercher r soudre des probl etd y parvenir.
4 Bonne route !Sommaire1 Logique et raisonnements11 Logique ..22 Raisonnements ..62 Ensembles et applications111 Ensembles ..122 Applications ..153 Injection, surjection, bijection ..174 Ensembles finis ..205 Relation d quivalence ..273 Nombres complexes311 Les nombres complexes ..312 Racines carr es, quation du second degr ..363 Argument et trigonom trie ..384 Nombres complexes et g om trie ..424 Arithm tique451 Division euclidienne et pgcd ..452Th or me de B zout ..483 Nombres premiers ..514 Congruences ..545 Polyn mes591D finitions ..592 Arithm tique des polyn mes.
5 613 Racine d un polyn me, factorisation ..654 Fractions rationnelles ..686 Groupes711 Groupe ..712 Sous-groupes ..763 Morphismes de groupes ..774Le groupeZ/nZ..805Le groupe des permutationsSn..827 Syst mes lin aires871 Introduction aux syst mes d quations lin aires ..872Th orie des syst mes lin aires ..913R solution par la m thode du pivot de Gauss ..938 Matrices991D finition ..992 Multiplication de matrices .. 1013 Inverse d une matrice : d finition .. 1064 Inverse d une matrice : calcul .. 1085 Inverse d une matrice : syst mes lin aires et matrices l mentaires.
6 1106 Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices sym triques .. 1179L espace vectorielRn1231 Vecteurs deRn.. 1232 Exemples d applications lin aires .. 1263 Propri t s des applications lin aires .. 13210 Espaces vectoriels1371 Espace vectoriel (d but) .. 1372 Espace vectoriel (fin) .. 1403 Sous-espace vectoriel (d but) .. 1444 Sous-espace vectoriel (milieu) .. 1475 Sous-espace vectoriel (fin) .. 1506 Application lin aire (d but) .. 1567 Application lin aire (milieu) .. 1588 Application lin aire (fin) .. 16111 Dimension finie1671 Famille libre.
7 1672 Famille g n ratrice .. 1713 Base .. 1734 Dimension d un espace vectoriel .. 1785 Dimension des sous-espaces vectoriels .. 18212 Matrices et applications lin aires1871 Rang d une famille de vecteurs .. 1872 Applications lin aires en dimension finie .. 1923 Matrice d une application lin aire .. 1984 Changement de bases .. 20413D terminants2111D terminant en dimension 2 et 3 .. 2112D finition du d terminant .. 2153 Propri t s du d terminant .. 2204 Calculs de d terminants .. 2245 Applications des d terminants .. 228 IndexLogique etraisonnementsChapitre1 Vid o partie 1.
8 LogiqueVid o partie 2. RaisonnementsFiche d'exercices Logique, ensembles, raisonnementsQuelques motivations Il est important d avoir unlangage rigoureux. La langue fran aise est souvent ambig e. Prenonsl exemple de la conjonction ou ; au restaurant fromage ou dessert signifie l un ou l autre mais pasles deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche les as ou les c urs alors il ne faut pas exclurel as de c ur. Autre exemple : que r pondre la question As-tu10euros en poche ? si l on dispose de15 euros ?
9 Il y a des notions difficiles expliquer avec des mots : par exemple la continuit d une fonction estsouvent expliqu e par on trace le graphe sans lever le crayon . Il est clair que c est une d finition peusatisfaisante. Voici la d finition math matique de la continuit d une fonctionf:I Ren un pointx0 I: >0 >0 x I(|x x0|< = |f(x) f(x0)|< ).C est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire ! C est lalogique. Enfin les math matiques tentent dedistinguer le vrai du faux. Par exemple Est-ce qu une augmentationde20%, puis de30%est plus int ressante qu une augmentation de50%?
10 Vous pouvez penser oui ou non , mais pour en tre s r il faut suivre une d marche logique qui m ne la conclusion. Cetted marche doit tre convaincante pour vous mais aussi pour les autres. On parle math matiques sont un langage pour s exprimer rigoureusement, adapt aux ph nom nes complexes,qui rend les calculs exacts et v rifiables. Le raisonnement est le moyen de valider ou d infirmer unehypoth se et de l expliquer ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE21. AssertionsUneassertionest une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en m me : Il pleut. Je suis plus grand que toi.