Exo7 - Exercices de mathématiques

1 Enonc s : Stephan de Bi vre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7. D riv es partielles : R visions Exercice 1. Soit f : R2 R la fonction d finie par f (x, y) = (x2 + y2 )x pour (x, y) 6= (0, 0) et f (0, 0) = 1. 1. La fonction f est-elle continue en (0, 0) ? 2. D terminer les d riv es partielles de f en un point quelconque distinct de l'origine. 3. La fonction f admet-elle des d riv es partielles par rapport x, y en (0, 0) ? Indication H Correction H [002624]. Exercice 2. Soit f : R2 R la fonction d finie par x2 y + 3y3. f (x, y) = pour (x, y) 6= (0, 0), x 2 + y2. f (0, 0) = 0. 1. La fonction f est-elle continue en (0, 0) ? Justifier la r ponse.

2 2. La fonction f admet-elle des d riv es partielles par rapport x, y en (0, 0) ? Donner la ou les valeurs le cas ch ant et justifier la r ponse. 3. La fonction f est-elle diff rentiable en (0, 0) ? Justifier la r ponse. 4. D terminer les d riv es partielles de f en un point (x0 , y0 ) 6= (0, 0). 5. D terminer l' quation du plan tangent au graphe de f au point (1, 1, 2). 6. Soit F : R2 R2 la fonction d finie par F(x, y) = ( f (x, y), f (y, x)). D terminer la matrice jacobienne de F au point (1, 1). La fonction F admet-elle une r ciproque locale au voisinage du point (2, 2) ? Indication H Correction H [002625]. Exercice 3. Soit f : R3 R une fonction de classe C1 et soit g : R3 R la fonction d finie par g(x, y, z) = f (x y, y z, z x).

3 Montrer que g g g + + = 0. (1). x y z Indication H Correction H [002626]. Exercice 4. On consid re les fonctions f : R2 R3 et g : R3 R d finies par f (x, y) = (sin(xy), y cos x, xy sin(xy) exp(y2 )), g(u, v, w) = uvw. 1. Calculer explicitement g f . 2. En utilisant l'expression trouv e en (1), calculer les d riv es partielles de g f . 3. D terminer les matrices jacobiennes J f (x, y) et Jg (u, v, w) de f et de g. 1. 4. Retrouver le r sultat sous (2.) en utilisant un produit appropri de matrices jacobiennes. Indication H Correction H [002627]. 2. Indication pour l'exercice 1 N. 1. Utiliser les coordonn es polaires (r, ) dans le plan et le fait que lim r 0 r log r = 0.

4 R>0. Indication pour l'exercice 2 N. 1. Pour r futer la diff rentiabilit de f en (0, 0), il suffit de trouver une d riv e directionnelle qui n'est pas combinaison lin aire des d riv es partielles (par rapport aux deux variables). 2. Le plan tangent au point (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) du graphe z = f (x, y) de F est donn e par l' quation f f z f (x0 , y0 ) = (x0 , y0 )(x x0 ) + (x0 , y0 )(y y0 ). (2). x y Indication pour l'exercice 3 N. Calculer m ne la v rit . Indication pour l'exercice 4 N. crire f (x, y) = (sin(xy), y cos x, xy sin(xy) exp(y2 )) = (u, v, w). 3. Correction de l'exercice 1 N. 2 +y2 ). 1. f (x, y) = (x2 + y2 )x = ex log(x = e2r cos log r.

5 Puisque cos est born , lim r 0 2r cos log r = 0 d'o . r>0. lim r 0 2r cos log r lim (x,y) (0,0) f (x, y) = e r>0 = e0 = 1, (x,y)6=(0,0). car la fonction exponentielle est continue. 2. Dans R2 \ {(0, 0)} les d riv es partielles par rapport aux variables x et y se calculent ainsi : 2x2.. f 2 2. = ln(x + y ) + 2 (x2 + y2 )x x x + y2.. f 2xy = (x2 + y2 )x y x2 + y2. f 3. Pour que la d riv e partielle x (0, 0) existe, il faut et il suffit que f (x, 0) 1 (x2 )x 1 e2x log x 1. lim x 0 = lim x 0 = lim x 0. x6=0 x x6=0 x x>0 x existe. Si x > 0, e2x log x 1. = 2 log x + (x). x f o lim x 0 (x) = 0. Par cons quent, la d riv e partielle x (0, 0) n'existe pas.

6 D'autre part, x>0. f f (0, y) 1 (y2 )0 1. (0, 0) = lim y 0 = lim y 0 =0. y y6=0 y y6=0 y existe. Correction de l'exercice 2 N. x2 y+3y3. 1. Puisque f (x, y) = x2 +y2. = r(cos2 sin + 3 sin3 ), il s'ensuit que lim (x,y) (0,0) f (x, y) = 0. (x,y)6=(0,0). car cos2 sin + 3 sin3 reste born . Par cons quent la fonction f est continue en (0, 0). 2. Les d riv es partielles f f (x, 0) 0. (0, 0) = lim x 0 = lim x 0 2 = 0. x x6=0 x x6=0 x f f (0, y) 3y3. (0, 0) = lim y 0 = lim y 0 2 = 3. y y6=0 y y6=0 y existent. 3. 3. Puisque f (x, x) = 4x 2x2. = 2x, la d riv e directionnelle Dv f (0, 0) suivant le vecteur v = (1, 1) est non nulle. Par cons quent, la fonction f n'est pas diff rentiable en (0, 0).

7 4. f x2 y + 3y3 2xy(x2 + y2 ) 2x(x2 y + 3y3 ) xy3. = = = 4. x x x 2 + y2 (x2 + y2 )2 (x2 + y2 )2. f x2 y + 3y3 (x2 + 3y2 )(x2 + y2 ) 2y(x2 y + 3y3 ) x4 + 8x2 y2 + 3y4. = = =. y y x2 + y2 (x2 + y2 )2 (x2 + y2 )2. 4. 5. D'apr s (2), cette quation s' crit f f z 2 = (1, 1)(x 1) + (1, 1)(y 1) = 1 x + 3(y 1). x y d'o z = 3y x. 2 3 y2 x+3x3.. 6. La fonction F : R2 R2 s' crit F(x, y) = xxy+3y 2 +y2 , x2 +y2. et sa matrice jacobienne " f f # . x (1, 1) y (1, 1) 1 3. JF (1, 1) = f f =. y (1, 1) x (1, 1). 3 1. au point (1, 1) est inversible. Par cons quent, la fonction F admet une r ciproque locale au voisinage du point (1, 1). Au point (2, 2), " f f # . x (2, 2) y (2, 2) 1 3.

8 JF (2, 2) = f f =. y (2, 2) x (2, 2). 3 1. d'o la fonction F admet galement une r ciproque locale au voisinage du point (2, 2). Correction de l'exercice 3 N. g f f = . x x z g f f = . y y x g f f = . z z y d'o (1). Correction de l'exercice 4 N. 1. g( f (x, y)) = xy2 sin2 (xy) cos x exp(y2 ). 2. (g f ). = y2 sin(xy) exp(y2 )(2xy cos x cos(xy) x sin x sin(xy) + cos x sin(xy)). x (g f ). = 2xy cos x sin(xy) exp(y2 )(xy cos(xy) + (1 + y2 ) sin(xy)). y 3. Calculons d'abord w = y sin(xy) exp(y2 ) + xy2 cos(xy) exp(y2 ). x = y exp(y2 )(sin(xy) + xy cos(xy)). w = x sin(xy) exp(y2 ) + x2 y cos(xy) exp(y2 ) + 2xy2 sin(xy) exp(y2 ). y = x exp(y2 )(sin(xy) + xy cos(xy) + 2y2 sin(xy)).

9 = x exp(y2 )((1 + 2y2 ) sin(xy) + xy cos(xy)). Ainsi la matrice jacobienne J f de f s' crit u u . x y Jf = xv v .. y . w w x y . y cos(xy) x cos(xy). = y sin x cos x . 2 2 2. y exp(y )(sin(xy) + xy cos(xy)) x exp(y )((1 + 2y ) sin(xy) + xy cos(xy)). 5. De m me, la matrice jacobienne Jg de g est : . g g g Jg = , , = [vw, uw, uv]. u v w = xy2 sin(xy) cos x exp(y2 ), xy sin2 (xy) exp(y2 ), y sin(xy) cos x . 4. La matrice jacobienne Jg f de la fonction compos e g f s' crit comme produit matricielle ux uy .. g g g v v . Jg f = Jg J f = , , x y . u v w w w x y d'o . (g f ). = (xy2 sin(xy) cos x exp(y2 ))y cos(xy). x (xy sin2 (xy) exp(y2 ))y sin x + (y sin(xy) cos x)y exp(y2 )(sin(xy) + xy cos(xy)).

10 = xy3 cos x sin(xy) cos(xy) exp(y2 )) xy2 sin x sin2 (xy) exp(y2 ). + y2 cos x sin2 (xy) exp(y2 ) + xy3 cos x sin(xy) cos(xy) exp(y2 ). = y2 sin(xy) exp(y2 )(2xy cos x cos(xy) x sin x sin(xy) + cos x sin(xy)). (g f ). = (xy2 sin(xy) cos x exp(y2 ))x cos(xy). y + (xy sin2 (xy) exp(y2 )) cos x + (y sin(xy) cos x)x exp(y2 )((1 + 2y2 ) sin(xy) + xy cos(xy)). = x2 y2 cos x sin(xy) cos(xy) exp(y2 ) + xy cos x sin2 (xy) exp(y2 ). + xy(1 + 2y2 ) cos x sin2 (xy) exp(y2 ) + x2 y2 cos x sin(xy) cos(xy) exp(y2 ). = 2x2 y2 cos x sin(xy) cos(xy) exp(y2 ) + 2xy(1 + y2 ) cos x sin2 (xy) exp(y2 ). = 2xy cos x sin(xy) exp(y2 )(xy cos(xy) + (1 + y2 ) sin(xy)). 6.