Exo7 - Exercices de mathématiques

1 Exo7 Trigonom trieExercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche * tr s facile ** facile ** difficult moyenne ** difficile ** tr s difficileI : Incontournable T : pour travailler et m moriser le coursExercice 1*ITR soudre dansRpuis dans[0,2 ]les quations suivantes :1. sinx=0,2. sinx=1,3. sinx= 1,4. cosx=1,5. cosx= 1,6. cosx=0,7. tanx=0,8. tanx= [005063]Exercice 2*ITR soudre dansRpuis dans[0,2 ]les quations suivantes :1. sinx=12,2. sinx= 1 2,3. tanx= 1,4. tanx=1 3,5. cosx= 32,6. cosx= 1 [005064]Exercice 3**ITR soudre dansRpuis dansIles quations suivantes :1. sin(2x) =12,I= [0,2 ],2. sin(x2)= 1 2,I= [0,4 ],3. tan(5x) =1,I= [0, ],4. cos(2x) =cos2x,I= [0,2 ],5. 2 cos2x 3 cosx+1=0,I= [0,2 ],6. cos(nx) =0(n N ),7.

2 |cos(nx)|=1,8. sin(nx) =0,9.|sin(nx)|=1,110. sinx=tanx,I= [0,2 ],11. sin(2x)+sinx=0,I= [0,2 ],12. 12 cos2x 8 sin2x=2,I= [ , ].CorrectionH[005065]Exercice 4**ITR soudre dansIles in quations suivantes :1. cosx612,I= [ , ],2. sinx> 1 2,I=R,3. cosx>cosx2,I= [0,2 ],4. cos2x>cos(2x),I= [ , ],5. cos2x612,I= [0,2 ],6. cosx36sinx3,I= [0,2 ].CorrectionH[005066]Exercice 5*ICalculer cos 8et sin [005067]Exercice 6*ICalculer cos 12et sin [005068]Exercice 7**Montrer que cos( a1 a2 .. an) = (la somme comporte 2ntermes).CorrectionH[005069]Exercice 8**I1. Calculer nk=1cos(a2k)poura l ment donn de]0, [(penser sin(2x) =2 sinxcosx).2. D terminer limn + nk=1ln(cos(a2k)).CorrectionH[005070]Exer cice 9**R soudre dansRl quation 24 cos2x+1+ sin2x 3= [005071]Exercice 10**Soitaun r el distinct de1 3et 1 Calculer tan(3 )en fonction de tan.

3 2. R soudre dansRl quation :3x x31 3x2=3a a31 trouvera deux m thodes, l une alg brique et l autre utilisant la formule de trigonom trie tablie en1).2 CorrectionH[005072]Exercice 11**On veut calculerS=tan 9 tan 27 tan 63 +tan 81 .1. Calculer tan(5x)en fonction de En d duire un polyn me de degr 4 dont les racines sont tan 9 , tan 27 , tan 63 et tan 81 puis lavaleur [005073]Exercice 12**Combien l quationtanx+tan(2x)+tan(3x)+tan(4x) =0,poss de-t-elle de solutions dans[0, ]?CorrectionH[005074]Exercice 13**IOn veut calculer cos2 5et sin2 5. Pour cela, on posea=2 cos2 5,b=2 cos4 5etz=e2i V rifier quea=z+z4etb=z2+ V rifier que 1+z+z2+z3+z4= En d duire un polyn me de degr 2 dont les racines sontaetbpuis les valeurs exactes de cos2 5etsin2 [005075]Exercice 14**ICalculer une primitive de chacune des fonctions suivantes cos2x, cos4x, sin4x, cos2xsin2x, sin6x, cosxsin6x, cos5xsin2x, [005076]Exercice 15**CalculerI= /3 /6cos4xsin6x dxetJ= /3 /6cos4xsin7x [005077]Exercice 16**D montrer les identit s suivantes, en pr cisant chaque fois leur domaine de validit cosxsinx=tanx2,2.

4 Sin(x 2 3)+sinx+sin(x+2 3)=0,3. tan( 4+x)+tan( 4 x)=2cos(2x), tanx=2tan(2x).CorrectionH[005078]Exercic e 17**Soitkun r el distinct de 1 et de Etudier les variations defk:x7 sinx 1 2kcosx+ Calculer 0fk(x) [005079]Exercice 18**ICalculer les sommes suivantes :1. nk=0cos(kx)et nk=0sin(kx), (x Retn Ndonn s).2. nk=0cos2(kx)et nk=0sin2(kx), (x Retn Ndonn s).3. nk=0(nk)cos(kx)et nk=0(nk)sin(kx), (x Retn Ndonn s).CorrectionH[005080]Exercice 19**R soudre le syst me{cosa+cosb+cosc=0sina+sinb+sinc=0o a,betcsont trois r [005081]Exercice 20**Montrer que cos4 8+cos43 8+cos45 8+cos47 8= [005082]Exercice 21**1. R soudre dansRl quation cos(3x) =sin(2x).2. En d duire les valeurs de sinxet cosxpourx l ment de{ 10, 5,3 10}.CorrectionH[005083]4 Correction de l exercice 1N1.}

5 Sinx=0 x Z. De plus,S[0,2 ]={0, ,2 }.2. sinx=1 x 2+2 Z. De plus,S[0,2 ]={ 2}.3. sinx= 1 x 2+2 Z. De plus,S[0,2 ]={3 2}.4. cosx=1 x 2 Z. De plus,S[0,2 ]={0,2 }.5. cosx= 1 x +2 Z. De plus,S[0,2 ]={ }.6. cosx=0 x 2+ Z. De plus,S[0,2 ]={ 2,3 2}.7. tanx=0 x Z. De plus,S[0,2 ]={0, ,2 }.8. tanx=1 x 4+ Z. De plus,S[0,2 ]={ 4,5 4}.Correction de l exercice 2N1. sinx=12 x ( 6+2 Z) (5 6+2 Z). De plus,S[0,2 ]={ 6,5 6}.2. sinx= 1 2 x ( 4+2 Z) ( 3 4+2 Z). De plus,S[0,2 ]={ 4, 3 4}.3. tanx= 1 x 4+ Z. De plus,S[0, ]={3 4}.4. tanx=1 3 x 6+ Z. De plus,S[0, ]={ 6}.5. cosx= 32 x ( 6+ Z) ( 6+ Z). De plus,S[0,2 ]={ 6,11 6}.6. cosx= 1 2 x ( 3 4+ Z) (3 4+ Z). De plus,S[0,2 ]={3 4,5 4}.Correction de l exercice 3N1. sin(2x) =12 2x ( 6+2 Z) (5 6+2 Z) x ( 12+ Z) (5 12+ Z).

6 De plus,S[0,2 ]={ 12,5 12,13 12,17 12}.2. sinx2= 1 2 x2 (5 4+2 Z) (7 4+2 Z) x (5 2+4 Z) (7 2+4 Z). De plus,S[0,4 ]={5 2,7 2}.3. tan(5x) =1 5x 4+ Z x 20+ 5Z. De plus,S[0, ]={ 20, 4,9 20,13 20,17 20}.4. cos(2x) =cos2x cos(2x) =12(1+cos(2x)) cos(2x) =1 2x 2 Z x Z. De plus,S[0,2 ]={0, ,2 }.5. 2 cos2x 3 cosx+1=0 (2 cosx 1)(cosx 1) =0 cosx=12ou cosx=1 x ( 3+2 Z) ( 3+2 Z) 2 Z. De plus,S[0,2 ]={0, 3,5 3,2 }.6. cos(nx) =0 nx 2+ Z x 2n+ |cos(nx)|=1 nx Z x sin(nx) =0 nx Z x |sin(nx)|=1 nx 2+ Z x 2n+ sinx=tanx sinx sinxcosx=0 sinxcosx 1cosx=0 sinx=0 ou cosx=1 x Z. De plus,S[0,2 ]={0, ,2 }. (2x)+sinx=0 sin(2x) =sin(x+ ) ( k Z/2x=x+ +2k )ou( k Z/2x= x+2k ) ( k Z/x= +2k )ou( k Z/x=2k 3)De plus,S[0,2 ]={0,2 3, ,4 3,2 }. cos2x 8 sin2x=2 6 cos2x 4(1 cos2x) =1 cos2x=12 cosx=1 2ou cos= 1 2 x ( 4+ Z) ( 4+ Z) x 4+ de l exercice 4N1.

7 Pourx [ , ], cosx612 x [ , 3] [ 3, ].2. Pourx R, sinx> 1 2 x k Z[ 4+2k ,5 4+2k ].3. Pourx [0,2 ],cosx>cosx2 2 cos2x2 cosx2 1>0 (2 cosx2+1)(cosx2 1)>0 2 cosx2+1<0 et cosx26=1 cosx2< 12etx2/ 2 Z x2 k Z]2 3+2k ,4 3+2k [etx/ 4 Z x k Z]4 3+4k ,8 3+4k [etx/ 4 Z x ]4 3,2 ]4. Pourx [ , ], cos2x>cos(2x) 12(1+cos(2x))>cos(2x) cos(2x)61 x [ , ].5. Pourx [0,2 ], cos2x612 1 26cosx61 2 x [ 4,3 4] [5 4,7 4].6. Pourx [0,2 ],cosx36sinx3 1 2sinx3 1 2cosx3>0 sin(x3 4)>0 k Z/2k 6x3 46 +2k k Z/3 4+6k 6x63 +3 4+6k 3 46x62 Correction de l exercice 5 Ncos2 8=12(1+cos(2 8))=12(1+ 22)=2+ 24, et puisque cos 8>0,cos 8=12 2+ m me, puisque sin 8>0, sin 8= 12(1 cos(2 8))etsin 8=12 2 de l exercice 6 Ncos 12=cos( 3 4)=cos 3cos 4+sin 3sin 4= 6+ m me,sin 12=sin( 3 4)=sin 3cos 4 sin 3sin 4= 6 12= 6+ 24et sin 12= 6 de l exercice 7 NPournnaturel non nul, on poseSn= ei( a1.)

8 An). S1=eia1+e ia1=2 cosa1 Soitn>1. Supposons queSn= +1= ei( a1 .. an+1)=eian+1 ei( a1 .. an)+e ian+1 ei( a1 .. an)=2 cos(an+1)Sn=2n+ + a montr par r currence que : n>1,Sn= Ensuite, pourn>1, cos( a1 .. an) =Re(Sn) = (et on obtient aussi sin( a1 .. an) =Im(Sn) =0). n N , cos( a1 .. an) = de l exercice 8N1. Soitn N . Puisqueaest dans]0, [alors, pour tout entier naturel non nulk,a2kest dans]0, [et doncsina2k6=0. De plus, puisque sin(a2k 1)=sin(2 a2k)=2 sin(a2k)cos(a2k), on a :n k=1cos(a2k)=n k=1sin(a2k 1)2 sin(a2k)=12nsin(a)sin(a2)..sin(a2n 1)sin(a2)..sin(a2n 1)sin(a2n)=sina2nsina2n. a ]0, [, n N , nk=1cos(a2k)= k N ,cos(a2k)>0 cara2kest dans]0, 2[. Puisn k=1ln(cos(a2k))=ln(n k=1cos(a2k))=ln(sina2nsina2n)=ln(sinaa) ln(sina2na2n).Maintenant, limn + sina2na2n=limx 0sinxx=1 et donc,limn + n k=1ln(cos(a2k))=limn + (ln(sinaa) ln(sina2na2n))=ln(sinaa).

9 A ]0, [, limn + nk=1ln(cos(a2k))=ln(sinaa).Correction de l exercice 9 NSoitx cos2x+1+ sin2x 3=20 24 cos2x+1+ 4 cos2x=20 24 cos2x 10+16 2 4 cos2x=0 24 cos2x 10+1624 cos2x=0 (24 cos2x)2 10 24 cos2x+16=0 24 cos2x=2 ou 24 cos2x=8 4 cos2x=1 ou 4 cos2x=3 cosx=12ou cosx= 12ou cosx= 32ou cosx= 32 x ( 6+ 2Z) ( 3+ 2Z).7 Correction de l exercice 10N1. Tout d abord, d apr s la formule de MOIVRE,cos(3 )+isin(3 ) = (cos +isin )3= (cos3 3 cos sin2 )+i(3 cos2 sin sin3 ),et par identification des parties r elles et imaginaires, R,cos(3 ) =cos3 3 cos sin2 et sin(3 ) =3 cos2 sin sin3 .Ensuite, tan(3 )et tan existent 3 / 2+ Zet / 2+ Z 3 / 2+ Z / 6+ 3Z. Soitdonc / 6+ (3 ) =sin(3 )cos(3 )=3 cos2 sin sin3 cos3 3 cos sin2 =3 tan tan3 1 3 tan2 ,apr s division du num rateur et du d nominateur par le r el non nul cos3.

10 R\( 6+ 3Z),tan(3 ) =3 tan tan3 1 3 tan2 .2. Soita6= 1 re m bien s r racine de l quation propos e, ce qui permet d crire :3x x31 3x2=3a a31 3a2 (3x x3)(1 3a2) = (1 3x2)(3a a3) (car 1 3ne sont pas solution de l quation) (x a)((3a2 1)x2+8ax a2+3) = discriminant r duit du trin me(3a2 1)x2+8ax a2+3 vaut : =16a2 (3a2 1)( a2+3) =3a4+6a2+3= ( 3(a2+1))2> quation propos e a donc trois racines r elles :S={a,4a 3(a2+1)1 3a2,4a+ 3(a2+1)1 3a2}.2 me m existe un unique r el ] 2, 2[\{ 6, 6}tel quea=tan . De m me, sixestun r el distinct de 1 3, il existe un unique r el ] 2, 2[\{ 6, 6}tel quex=tan ( savoir =arctanaet =arctanx). Comme 1 3ne sont pas solution de l quation propos e, on a :3x x31 3x2=3a a31 3a2 3 tan tan3 1 3 tan2 =3 tan tan3 1 3 tan2 tan(3 ) =tan(3 ) 3 3 + Z + refournit les solutionsx=tan =a, puisx=tan( + 3)=tan +tan 31 tan tan 3=a+ 31 3a=(a+ 3)(1+ 3a)1 3a2=4a+ 3(a2+1)1 3a2,etx=tan( 3)=4a 3(a2+1)1 de l exercice 11N1.