Fractions et nombres décimaux au cycle 3

1 Fractions et nombres d cimaux au cycle 3 Pour que les l ves comprennent pleinement les donn es num riques exprim es avec des Fractions ou sous forme d cimale, et puissent mobiliser ces nombres dans la r solution de probl mes, leur premi re approche de ces notions est essentielle. Elle doit d abord s appuyer sur des activit s dans lesquelles le nombre entier montre ses limites ; les activit s de calcul, d croch es ou en situation, viennent ensuite appuyer cette construction qui se fait sur toute la dur e du cycle 3. Introduction Fractions Lorsqu on coupe une unit en un nombre entier de parts gales et qu on prend un nombre entier de ces parts, ventuellement sup rieur au nombre de parts contenues dans cette unit , on obtient une fraction. La fraction 23 (lire deux tiers ), rend compte d un partage de l unit en trois parts gales puis de la prise de deux de ces parts.

2 Lorsque le partage de l unit se fait en un petit nombre de parts (2, 3, 4, ..), et que l on prend un petit nombre de telles parts, on parle de fraction simple1: 23, 54, 310, etc. Lorsque le partage de l unit se fait en un nombre de parts gal une puissance de 10 (comme 10, 100, 1000, ..), la fraction obtenue est appel e fraction d cimale : 310, 547100, 31000, 1 La notion de fraction simple n est pas d finie de fa on pr cise en math matiques. 2 On rappelle que 1 est galement une puissance de 10. En effet, 1 = 100. La fraction 71 est donc galement une fraction d cimale. Exemples de Fractions simples AVEC DES MOTS AVEC DES SCH MAS FRACTION Trois cinqui mes On partage l unit en cinq parts gales et on prend trois parts. On obtient une quantit gale trois cinqui mes de l unit.

3 Cette quantit est plus petite que l unit . L unit est la longueur d un segment. 35 Quatre tiers On partage l unit en trois parts gales et on prend quatre parts : on obtient une quantit gale quatre tiers de l unit . Cette quantit est plus grande que l unit . L unit est la longueur d une bande (ou son aire). 43 Deux tiers On partage l unit en trois parts gales et on prend deux parts : on obtient une quantit gale deux tiers de l unit . Cette quantit est plus petite que l unit . L unit est l aire d un disque. 23 Exemples de Fractions d cimales AVEC DES MOTS AVEC DES SCH MAS FRACTION Sept dixi mes est une fraction d cimale. L unit est la longueur (ou l aire) de la bande rectangulaire. 710 Une unit partag e en cinq parts gales Une unit Une unit partag e en dix parts gales Un dixi me d unit Sept dixi mes d unit Une unit partag e en trois parts gales Une unit Un tiers d unit Quatre tiers d unit Une unit Une unit partag e en trois parts gales Un tiers d unit Deux tiers d unit AVEC DES MOTS AVEC DES SCH MAS FRACTION Trois-cent-dix-huit centi mes est une fraction d cimale.

4 L unit est l aire d un carr . 318100 nombres d cimaux Au cycle 1, les nombres entiers sont li s aux objets qu ils ont servi d nombrer, puis ils s en d tachent progressivement pour prendre pleinement leur statut de nombres , ind pendants des collections. De la m me fa on, les Fractions sont tout d abord li es aux partages physiques dont elles rendent compte, avant de s en d tacher progressivement travers des comparaisons, des rangements, des rep rages sur une demi-droite gradu e, des calculs, pour prendre pleinement leur statut de nombres . Les nombres que l on peut crire sous la forme d une fraction sont appel s les nombres rationnels3. En derni re ann e de cycle 3, la fraction , o a est un nombre entier et b est un nombre entier non nul, est d finie comme le nombre qui, multipli par b, donne a4. Un nombre d cimal est un nombre qui peut s crire sous la forme d une fraction d cimale.

5 Tr s progressivement, sur la dur e du cycle 3, l l ve apprend ainsi que le nombre d cimal qui s crit 318100 et se dit trois-cent-dix-huit centi mes est aussi trois unit s et dix-huit centi mes ou encore trois unit s et un dixi me et huit centi mes puis s crit en respectant le principe de la num ration d cimale de position : 3,18. Dans l criture virgule des nombres d cimaux, la virgule permet de rep rer le chiffre des unit s. 3 L expression nombre rationnel n est pas au programme du cycle 3. Les l ves s int resseront aux nombres rationnels dans toute leur g n ralit au cycle 4. 4 Si le num rateur ou le d nominateur ne sont pas des nombres entiers on ne parle plus de fraction, mais d criture fractionnaire ; ainsi, 2,5/10 n est pas une fraction, mais est une criture fractionnaire du nombre 25 centi mes.

6 Trois-cent-dix-huit centi mes d unit Une unit partag e en cent parts gales centi me d unit Une unit Un centi me d unit Quelles sont les relations entre les diff rents types de nombres5 ? Il existe diff rents types ou familles de nombres ; les math maticiens parlent d ensembles de nombres . L ensemble de tous les nombres que l on peut placer sur une droite gradu e s appelle l ensemble des nombres r els. L ensemble des nombres r els se partage en deux sous-ensembles disjoints : l ensemble des nombres rationnels, compos de tous les nombres qui peuvent s crire comme une fraction. Par exemple, 2, 3,18, 13 et 17111 sont des nombres rationnels (2 = 21 et 3,18 = 318100 ). l ensemble des nombres irrationnels, compos de tous les nombres qui ne peuvent pas s crire comme une fraction. Par exemple, et 2 sont des nombres irrationnels.

7 Un nombre r el est donc soit un nombre rationnel soit un nombre irrationnel. On peut sch matiser la situation de la fa on suivante : Les critures d cimales des nombres rationnels sont soit finies (limit es) (comme 2 ; 2,0 ; 2,00 ; 3,18 ou 3,180), soit illimit es et p riodiques, c est- -dire avec une suite des m mes chiffres qui se r p te l infini (comme 0, , avec des 3 l infini, qui est gal 13 , ou 0, , avec 153 qui se r p te l infini, qui est gal 17111). Les critures d cimales des nombres irrationnels sont illimit es et non p riodiques, comme qui peut s crire 3, , mais les points de suspension signifient ici seulement que le d veloppement continue l infini ; il n y a pas de suite de chiffres qui se r p tent l infini. Au cycle 3, les l ves ne rencontrent que des nombres rationnels, l exception du nombre irrationnel utilis en derni re ann e de cycle pour calculer la longueur d un cercle ou l aire d un disque.

8 Les nombres rationnels, qui au cycle 3 restent des nombres positifs6, sont class s dans diff rents ensembles emboit s : l ensemble des nombres entiers : 0, 1, 3 ou 1524 sont des nombres entiers, nulle n cessit de virgule ou de trait de fraction pour les crire, m me si on peut aussi les crire avec des virgules (3,00) ou avec des barres de fraction ( 31 ) ; 5 Ce paragraphe ne contient pas des l ments enseigner, mais des connaissances pour l enseignant. 6 l exception ventuellement de quelques nombres n gatifs, rencontr s dans le cas de relev s de temp ratures, mais ces nombres ne font pas l objet d un travail particulier. nombres rationnels 2 3,18 13 17111 nombres irrationnels 2 3 nombres r els l ensemble des nombres d cimaux : cet ensemble comprend tous les nombres qui peuvent s crire sous la forme d une fraction dont le d nominateur est une puissance de 10.

9 Ainsi 3, qui peut s crire 31 ou 3010 , est un nombre d cimal ; de m me, 3,18 qui peut s crire 318100 est galement un nombre d cimal. Tous les nombres entiers sont des nombres d cimaux. l ensemble des nombres rationnels : cet ensemble comprend tous les nombres qui peuvent s crire sous forme d une fraction. Les nombres d cimaux peuvent s crire sous la forme d une fraction d cimale ce sont donc des nombres rationnels. Il existe aussi des nombres qui peuvent s crire sous forme de fraction mais qui ne sont pas des nombres d cimaux, comme 13 ou 17111. On peut sch matiser la situation de la fa on suivante : Les nombres non d cimaux (rationnels ou non rationnels), comme , 2, 13 ou 17111, admettent une unique criture d cimale ; elle est illimit e. Les nombres d cimaux admettent : une infinit d critures d cimales finies obtenues en ajoutant des 0 apr s la derni re d cimale non nulle (2,0 ; 2,00 ; etc.)

10 3,180 ; 3,1800 ; etc.) ; une criture d cimale illimit e avec des 0 l infini (2, ou 3, ) et pour les nombres d cimaux non nuls une seconde criture d cimale illimit e avec des 9 l infini (2 = 1, et 3,18 = 3, )7. Lien avec les domaines du socle Utiliser les principes du syst me d cimal de num ration et les diff rentes critures d un nombre d cimal pour effectuer des calculs, utiliser une droite gradu e et mod liser des situations contribuent au d veloppement des langages pour penser et communiquer (domaine 1). De plus, l l ve, en s engageant dans une d marche de r solution de probl me n cessitant l utilisation de Fractions et/ou de nombres d cimaux, en mettant l'essai plusieurs solutions, en mobilisant les connaissances n cessaires, en analysant et en exploitant les erreurs, d veloppe des m thodes et des outils pour apprendre (domaine 2).