Groupes, sous-groupes, ordre - Exo7

1 Enonc s : Michel Emsalem,Corrections : Pierre D besExo7 Groupes, sous-groupes, ordreExercice 1On dispose d un chiquier et de dominos. Les dominos sont pos s sur l chiquier soit horizontalement, soitverticalement de fa on couvrir deux cases contigu s. Est-il possible de couvrir ainsi enti rement l chiquier l exception des deux cases extr mes, en haut gauche et en bas droite? Reprendre cette question dans lecas o l on exclut deux cases quelconques la place des deux cases extr mes [002101]Exercice 2(I) SoitXun ensemble etP(X)l ensemble des parties deXordonn par l inclusion. Soit une applicationcroissante deP(X)dans lui-m me.

2 (a) Montrer que l ensembleEdes partiesAdeXqui v rifient (A) Aest non vide et admet un plus petit l mentA0.(b) Montrer que (A0) =A0.(II) Soit deux ensemblesXetYmunis de deux injectionsgdeXdansYethdeYdansX.(a) Montrer que l application deP(X)dans lui-m me d fini par (A) =X h(Y g(A))est croissante.(b) D duire de ce qui pr c de qu il existe une bijection [002102]Exercice 3 SoitXun ensemble non vide et ordonn . Montrer qu il existe une partieYtotalement ordonn e deXqui v rifiela propri t x/ Y y X xetynon comparablesL ensembleYest-il unique?CorrectionH[002103]Exercice 4Un jardinier doit planter 10 arbres en 5 rang es de 4 arbres.

3 Donner une disposition possible. Quel est lenombre minimal d arbres dont il doit disposer pour planter 6 rang es de 5 arbres? G n [002104]Exercice 5 Soitnetpdeux entiers,p6n. D montrer, gr ce un d nombrement, la formule suivante: 06k6pCknCp kn k=2pCpnIndicationH[002105]Exercice 61 Soitnun entier impair non divisible par 3. Montrer que 24 divisen2 [002106]Exercice 7On consid re surRla loi de composition d finie parx?y=x+y xy. Cette loi est-elle associative, commutative?Admet-elle un l ment neutre? Un r elxadmet-il un inverse pour cette loi? Donner une formule pour lapuissancen-i me d un l mentxpour cette [002107]Exercice 8 SoitEun mono de unitaire.

4 On dit qu un l mentadeEadmet uninverse gauche( droite)s il existeb Etel queba=e( ).(a) Supposons qu un l mentaadmette un inverse gauchebqui lui-m me admet un inverse gauche. Montrerqueaest inversible.(b) Supposons que tout l ment deEadmette un inverse gauche. Montrer queEest un [002108]Exercice 9 SoitEun ensemble muni d une loi?associative(i) admettant un l ment neutre gauchee( x E e?x=x) et(ii) tel que tout l ment poss de un inverse gauche ( x E y E y?x=e).Montrer queEest un groupe pour la loi?.IndicationHCorrectionH[002109]Exerc ice 10 Les rationnels non nuls forment-ils un sous-groupe multiplicatif deR ?

5 IndicationH[002110]Exercice 11 Montrer que l ensemble{2n|n Z}est un sous-groupe multiplicatif deQ , ainsi que l ensemble{1+2m1+2n|n,m Z}.IndicationH[002111]Exercice 12 Montrer que l ensemble des matrices carr es nlignes etncolonnes de d terminant non nul est un groupe pourla [002112]Exercice 13On consid re l ensembleEdes matrices carr es coefficients r els de la forme[a0b0],a R ,b Rmuni du produit des matrices.(a) Montrer queEest ainsi muni d une loi de composition interne associative.(b) D terminer tous les l ments neutres droite deE.(c) Montrer queEn admet pas d l ment neutre (d) Soiteun l ment neutre droite.

6 Montrer que tout l ment deEposs de un inverse gauche pour cet l ment neutre, g E h E hg=eIndicationH[002113]Exercice 14 SoitGun groupe v rifiant x G x2=eMontrer queGest commutatif. D duire que siGest fini, alors l ordre deGest une puissance de [002114]Exercice 15 SoitGun groupe d ordre pair. Montrer qu il existe un l mentx G,x6=etel quex2= [002115]Exercice 16 SoitGun groupe d ordre impair. Montrer que l applicationfdeGsur lui-m me donn e parf(x) =x2est unebijection. En d duire que l quationx2=ea une unique solution, savoirx= [002116]Exercice 17 SoientGun groupe fini etmun entier premier l ordre deG.

7 Montrer que pour touta Gl quationxm=aadmet une unique [002117]Exercice 18 SoitGun groupe etH<G,K<Gdeux sous-groupes deG. On suppose qu il existe deux l mentsa,b Gtels queHa Kb. Montrer queH< [002118]Exercice 19 SoitHune partie non vide d un groupeG. On poseH 1={x 1;x H}. Montrer les quivalences suivantes:(a)H<G HH 1 H(b)H<G a H Ha= [002119]Exercice 20 SoitGun groupe etH,Kdeux sous-groupes deG.(a) Montrer queH Kest un sous-groupe deGsi et seulement siH<KouK<H.(b) Montrer qu un groupe ne peut tre la r union de deux sous-groupes [002120]Exercice 21 Montrer que dans un groupeG, toute partie non vide finie stable par la loi de composition est un un contre-exemple la propri t pr c dente dans le cas d une partie [002121]Exercice 22(a) Montrer que les seuls sous-groupes deZsont de la formenZo nest un (b) Un l mentxd un groupe est dit d ordre fini s il existe un entierktel quexk=eG.

8 Montrer que{k Z|xk=eG}est alors un sous-groupe non nul deZ. On appelle ordre dexle g n rateur positif de ce sous-groupe.(c) Soitxun l ment d un groupeG. Montrer quexest d ordredsi et seulement si le sous-groupe<x>deGengendr parxest d [002122]Exercice 23On poseSL2(Z) ={[a bc d]|a,b,c,d Z,ad bc=1}.(a) Montrer queSL2(Z)est un sous-groupe du groupe des matrices inversibles coefficients dansZ.(b) On consid re les deux matrices[0 110] [01 1 1]D montrer queAetBsont d ordres finis mais queABest d ordre [002123]Exercice 24 SoitGun groupe ab lien etaetbdeux l ments d ordres finis. Montrer queabest d ordre fini et que l ordredeabdivise le ppcm des ordres deaetb.

9 Montrer que si les ordres deaetbsont premiers entre eux, l ordre deabest gal au ppcm des ordres deaet [002124]Exercice 25 SoitGun groupe commutatif. Montrer que l ensemble des l ments d ordre fini deGforme un sous-groupe [002125]Exercice 26D terminer tous les sous-groupes de 2 [002126]Exercice 27 SoientGun groupe fini et commutatif et{Gi}i Ila famille des sous-groupes propres maximaux deG. On poseF= i IGi. Montrer queFest l ensemble des l mentsadeGqui sont tels que, pour toute partieSdeGcontenantaet engendrantG,S {a}engendre [002127]Exercice 28D terminer tous les groupes d ordre65. En d duire qu un groupe non commutatif poss de au moins 6 l ments.

10 Montrer que le groupe sym triqueS3est non [002128]Exercice 29Le centre d un groupeGest l ensembleZ(G)des l ments deGqui commutents tous les l ments rifier queZ(G)est un sous-groupe ab lien deG. Montrer que siGposs de un unique l ment d ordre 2,alors cet l ment est dans le centreZ(G).IndicationH[002129]Exercice 30 SoientGun groupe etHetKdeux sous-groupes (a) Montrer que l ensembleHK={xy|x H,y K}est un sous-groupe deGsi et seulement siHK=KH.(b) Montrer que siHetKsont finis alors|HK|=|H| |K||H K|.CorrectionH[002130]Exercice 31D terminer tous les sous-groupes du groupe sym [002131]Exercice 32 Montrer que dans un groupe d ordre 35, il existe un l ment d ordre 5 et un l ment d ordre [002132]Exercice 33 SoitGun groupe d ordre 2pavecpun nombre premier.