Logique et raisonnements - e Math

1 Logique etraisonnementsVid o partie 1. LogiqueVid o partie 2. RaisonnementsFiche d exercices Logique , ensembles, raisonnementsQuelques motivations Il est important d avoir unlangage rigoureux. La langue fran aise est souvent ambig e. Prenonsl exemple de la conjonction ou ; au restaurant fromage ou dessert signifie l un ou l autre mais pasles deux. Par contre si dans un jeu de carte on cherche les as ou les c urs alors il ne faut pas exclurel as de c ur. Autre exemple : que r pondre la question As-tu10euros en poche ? si l on dispose de15 euros ? Il y a des notions difficiles expliquer avec des mots : par exemple la continuit d une fonction estsouvent expliqu e par on trace le graphe sans lever le crayon . Il est clair que c est une d finition peusatisfaisante. Voici la d finition math matique de la continuit d une fonctionf:I Ren un pointx0 I: >0 >0 x I(|x x0|< = |f(x) f(x0)|< ).C est le but de ce chapitre de rendre cette ligne plus claire !

2 C est lalogique. Enfin les math matiques tentent dedistinguer le vrai du faux. Par exemple Est-ce qu une augmentationde20%, puis de30%est plus int ressante qu une augmentation de50%? . Vous pouvez penser oui ou non , mais pour en tre s r il faut suivre une d marche Logique qui m ne la conclusion. Cetted marche doit tre convaincante pour vous mais aussi pour les autres. On parle math matiques sont un langage pour s exprimer rigoureusement, adapt aux ph nom nes complexes,qui rend les calculs exacts et v rifiables. Le raisonnement est le moyen de valider ou d infirmer unehypoth se et de l expliquer ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE21. AssertionsUneassertionest une phrase soit vraie, soit fausse, pas les deux en m me : Il pleut. Je suis plus grand que toi. 2+2=4 2 3=7 Pour tout x R, on a x2>0. Pour tout z C, on a|z|=1. SiPest une assertion etQest une autre assertion, nous allons d finir de nouvelles assertions construites partir dePet op rateur Logique et L assertion PetQ est vraie siPest vraie etQest vraie.

3 L assertion P et Q est fausse r sume ceci en unetable de v rit :P\QVFVVFFFFFI G U R Table de v rit de P et Q Par exemple siPest l assertion Cette carte est un as etQl assertion Cette carte est c ur alors l assertion P et Q est vraie si la carte est l as de c ur et est fausse pour toute autre op rateur Logique ou L assertion PouQ est vraie si l une (au moins) des deux assertionsPouQest vraie. L assertion PouQ est fausse si les deux assertionsPetQsont reprend ceci dans la table de v rit :P\QVFVVVFVFFI G U R Table de v rit de P ou Q SiPest l assertion Cette carte est un as etQl assertion Cette carte est c ur alors l assertion PouQ est vraie si la carte est un as ou bien un c ur (en particulier elle est vraie pour l as de c ur). d finir les op rateurs ou , et on fait appel une phrase en fran ais utilisant les motsou,et! Lestables de v rit s permettent d viter ce probl n gation non L assertion nonP est vraie siPest fausse, et fausse siPest ET RAISONNEMENTS1.

4 LOGIQUE3 PVFnonPFVFI G U R Table de v rit de non P L implication= La d finition math matique est la suivante :L assertion (non P) ou Q est not e P= Q .Sa table de v rit est donc la suivante :P\QVFVVFFVVFI G U R Table de v rit de P= Q L assertion P= Q se lit en fran ais P implique Q .Elle se lit souvent aussi si P est vraie alors Q est vraie ou si P alors Q .Par exemple : 06x625= px65 est vraie (prendre la racine carr e). x ] , 4[= x2+3x 4>0 est vraie ( tudier le bin me). sin( )=0= =0 est fausse (regarder pour =2 par exemple). 2+2=5= p2=2 est vraie ! Eh oui, siPest fausse alors l assertion P= Q est quivalence L quivalenceest d finie par : P Q est l assertion (P= Q) et (Q= P) .On dira Pest quivalent Q ou P quivaut Q ou Psi et seulement siQ . Cette assertion est vraielorsquePetQsont vraies ou lorsquePetQsont fausses. La table de v rit est :P\QVFVVFFFVFI G U R Table de v rit de P Q Exemples : Pourx,x R, l quivalence x x =0 (x=0ou x =0) est vraie.

5 Voici une quivalencetoujours fausse(quelle que soit l assertionP) : P non(P) .On s int resse davantage aux assertions vraies qu aux fausses, aussi dans la pratique et en dehors de cechapitre on crira P Q ou P= Q uniquement lorsque ce sont des assertions vraies. Parexemple si l on crit P Q cela sous-entend P Qest vraie . Attention rien ne dit quePetQsoient vraies. Cela signifie quePetQsont vraies en m me temps ou fausses en m me P,Q,R trois assertions. Nous avons les quivalences (vraies) suivantes :1. P non(non(P)) Logique ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE42.(PetQ) (QetP)3.(PouQ) (QouP) (PetQ) (nonP)ou(nonQ) (PouQ) (nonP)et(nonQ)6. Pet(QouR) (PetQ)ou(PetR)7. Pou(QetR) (PouQ)et(PouR)8. P= Q non(Q)= non(P) D des exemples de d monstrations suffit de comparer les deux assertions non(P et Q) et (non P)ou(non Q) pour toutes les valeurspossibles dePetQ. Par exemple siPest vrai etQest vrai alors PetQ est vrai donc non(P et Q) est faux ; d autre part (nonP) est faux, (nonQ) est faux donc (non P)ou(non Q) est faux.

6 Ainsi dansce premier cas les assertions sont toutes les deux fausses. On dresse ainsi les deux tables de v rit s etcomme elles sont gales les deux assertions sont \QVFVFVFVVFI G U R Tables de v rit de non(P et Q) et de (non P)ou(non Q) fait la m me chose mais il y a trois variables :P,Q,R. On compare donc les tables de v rit d aborddans le cas o Pest vrai ( gauche), puis dans le cas o Pest faux ( droite). Dans les deux cas les deuxassertions P et(Q ou R) et (P et Q)ou(P et R) ont la m me table de v rit donc les assertionssont \RVFVVVFVFQ\ d finition, l implication P= Q est l assertion (nonP) ouQ . Donc l implication non(Q)= non(P) est quivalente non(non(Q))ou non(P) qui quivaut encore Q ou non(P) et donc est quivalente P= Q . On aurait aussi pu encore une fois dresser les deux tables de v rit et voirqu elles sont QuantificateursLe quantificateur : pour tout Une assertionPpeut d pendre d un param trex, par exemple x2>1 , l assertionP(x)est vraie oufausse selon la valeur assertion x E P(x)est une assertion vraie lorsque les assertionsP(x)sont vraies pour tous les l mentsxde l lit Pour tout x appartenant E, P(x) , sous-entendu Pour tout x appartenant E, P(x)est vraie.

7 Par exemple : x [1,+ [(x2>1) est une assertion vraie. x R(x2>1) est une assertion fausse. n Nn(n+1)est divisible par2 est ET RAISONNEMENTS1. LOGIQUE5Le quantificateur : il existe L assertion x E P(x)est une assertion vraie lorsque l on peut trouver au moins unxdeEpour lequelP(x)est vraie. On lit ilexiste x appartenant E tel que P(x)(soit vraie) .Par exemple : x R(x(x 1)<0) est vraie (par exemplex=12v rifie bien la propri t ). n Nn2 n>n est vraie (il y a plein de choix, par exemplen=3 convient, mais aussin=10oum men=100, un seul suffit pour dire que l assertion est vraie). x R(x2= 1) est fausse (aucun r el au carr ne donnera un nombre n gatif).La n gation des quantificateursLa n gation de x E P(x) est x E non P(x) .Par exemple la n gation de x [1,+ [(x2>1) est l assertion x [1,+ [(x2<1) . Eneffet la n gation dex2>1 est non(x2>1)mais s crit plus simplementx2< n gation de x E P(x) est x E non P(x) .Voici des exemples : La n gation de z C(z2+z+1=0) est z C(z2+z+16=0).]]]]]]

8 La n gation de x R(x+1 Z) est x R(x+1/ Z) . Ce n est pas plus difficile d crire la n gation de phrases complexes. Pour l assertion : x R y>0(x+y>10)sa n gation est x R y>0(x+y610).RemarquesL ordre des quantificateurs est tr s important. Par exemple les deux phrases logiques x R y R(x+y>0)et y R x R(x+y>0).sont diff rentes. La premi re est vraie, la seconde est fausse. En effet une phrase Logique se lit de gauche droite, ainsi la premi re phrase affirme Pour tout r elx, il existe un r ely(qui peut donc d pendre dex)tel quex+y>0. (par exemple on peut prendrey=|x|+1). C est donc une phrase vraie. Par contre ladeuxi me se lit : Il existe un r ely, tel que pour tout r elx,x+y>0. Cette phrase est fausse, cela nepeut pas tre le m meyqui convient pour tous lesx!On retrouve la m me diff rence dans les phrases en fran ais suivantes. Voici une phrase vraie Pour toutepersonne, il existe un num ro de t l phone , bien s r le num ro d pend de la personne. Par contre cettephrase est fausse : Il existe un num ro, pour toutes les personnes.

9 Ce serait le m me num ro pour tout lemonde !Terminons avec d autres remarques. Quand on crit x R(f(x)=0) cela signifie juste qu il existe un r el pour lequelfs annule. Rienne dit que cexest unique. Dans un premier temps vous pouvez lire la phrase ainsi : il existeau moinsun r elxtel quef(x)=0 . Afin de pr ciser quefs annule en une unique valeur, on rajoute un pointd exclamation : !x R(f(x)=0). Logique ET RAISONNEMENTS2. RAISONNEMENTS6 Pour la n gation d une phrase Logique , il n est pas n cessaire de savoir si la phrase est fausse ou proc d est algorithmique : on change le pour tout en il existe et inversement, puis on prend lan gation de l assertionP. Pour la n gation d une proposition, il faut tre pr cis : la n gation de l in galit stricte < est l in galit large > , et inversement. Les quantificateurs ne sont pas des abr viations. Soit vous crivez une phrase en fran ais : Pour toutr el x, si f(x)=1alors x>0. , soit vous crivez la phrase Logique : x R(f(x)=1= x>0).

10 Mais surtout n crivez pas xr el, sif(x)=1= xpositif ou nul . Enfin, pour passer d une ligne l autre d un raisonnement, pr f rez plut t donc = . Il est d fendu d crire6 ,6= . Ces symboles n existent pas ! crire la table de v rit du ou exclusif . (C est leoudans la phrase fromage ou dessert , l un oul autre mais pas les deux.)2. crire la table de v rit de non (P et Q) . Que remarquez vous ?3. crire la n gation de P= Q .4. D montrer les assertions restantes de la proposition??.5. crire la n gation de P et(Q ou R) .6. crire l aide des quantificateurs la phrase suivante : Pour tout nombre r el, son carr est positif .Puis crire la n mes questions avec les phrases : Pour chaque r el, je peux trouver un entier relatif tel que leurproduit soit strictement plus grand que1 . Puis Pour tout entiern, il existe un unique r elxtel queexp(x) gale n .2. RaisonnementsVoici des m thodes classiques de Raisonnement directOn veut montrer que l assertion P= Q est vraie.