OBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE ... - …

1 CLASSE DE DEUXI`EME ANN EE MPOBJECTIFS DE FORMATION ET PROGRAMME DE MATH EMATIQUESI OBJECTIFS DE FORMATION1) OBJECTIFS g en eraux de la formationDans la fili`ere Math ematiques et Physique, les math ematiques constituent conjointement une disciplinescientifique `a part enti`ere, d eveloppant des concepts, des r esultats, des m ethodes et une d emarche sp ecifiques,et une discipline fournissant des connaissances et des m ethodes n ecessaires `a la physique, `a l informatique, `a lachimie et aux sciences r eflexion sur les concepts et les m ethodes, la pratique du raisonnement et de la d emarche math ematiqueconstituent un objectif majeur.

2 Les etudiants doivent conna tre les d efinitions, les enonc es et les d emonstrationsdes th eor`emes figurant au PROGRAMME , savoir analyser la port ee des hypoth`eses et des r esultats, et savoirmobiliser leurs connaissances pour l etude de probl`emes. En revanche, certains r esultats puissants, mais dont lad emonstration est hors de port ee au niveau des classes pr eparatoires, sont ) OBJECTIFS de la formationLa FORMATION est con cue en fonction de quatre OBJECTIFS D evelopper conjointement l intuition, l imagination, le raisonnement et la Promouvoir la r eflexion personnelle des etudiants sur les probl`emes et les ph enom`enes math ematiques, sur laport ee des concepts, des hypoth`eses, des r esultats et des m ethodes, au moyen d exemples et de contre-exemples.

3 D evelopper ainsi une attitude de questionnement et de Exploiter toute la richesse de la d emarche math ematique : analyser un probl`eme, exp erimenter sur des exemples,formuler une conjecture, elaborer et mettre en uvre des concepts et des r esultats th eoriques, r ediger une solutionrigoureuse, contr oler les r esultats obtenus et evaluer la pertinence des concepts et des r esultats au regard duprobl`eme pos e, sont des el ements indissociables de cette d emarche ; valoriser ainsi l interaction entre d une partl etude de ph enom`enes et de probl`emes math ematiques, et d autre part l elaboration et la mise en uvre desconcepts th eoriques, les phases d abstraction et de mise en th eorie interagissant donc constamment avec cellesde passage aux exemples et aux Privil egier les probl`emes math ematiques susceptibles de d evelopper la r eflexion personnelle des etudiants etles capacit es de synth`ese.

4 En particulier, on ne saurait en aucun cas se limiter `a l etude de probl`emes dont les enonc es sont ferm es et d exercices mettant en uvre des techniques bien r epertori ees. Il est n ecessaire d entra nerles etudiants `a se poser eux m emes des questions, c est `a dire `a prendre en compte une probl ematiquemath ematique ; l effort de synth`ese doit constituer l aboutissement de cette d emarche. Les travaux d initiativepersonnelle encadr es (TIPE) permettent de renforcer cette attitude, essentielle pour la FORMATION scientifique,laquelle est par nature d abord un )Unit e de la FORMATION scientifiqueIl est important de mettre en valeur l interaction entre les diff erentes parties du PROGRAMME d une m emediscipline, tant au niveau du cours que des th`emes des travaux propos es aux etudiants.

5 Plus largement,l enseignement d une discipline scientifique est `a relier `a celui des autres disciplines sous deux aspects principaux :organisation concert ee des activit es d enseignement d une m eme classe ; etude de questions mettant en uvredes interactions entre les champs de connaissances (math ematiques et physique, math ematiques et informatique,math ematiques et sciences ).La coop eration des enseignants d une m eme classe ou d une m eme discipline et, plus largement, celle del ensemble des enseignants d un cursus donn e, y contribue de fa con efficace, notamment dans le cadre destravaux d initiative personnelle encadr importe aussi que le contenu culturel des math ematiques ne soit pas sacrifi e au profit de la seule technicit particulier, les textes et les r ef erences historiques permettent d analyser l interaction entre les probl`emesmath ematiques et la construction des concepts.

6 Mettent en evidence le r ole central jou e par le questionnementscientifique pour le d eveloppement th eorique et montrent en outre que les sciences, et les math ematiques enparticulier, sont en perp etuelle evolution et que le dogmatisme n est pas la r ef erence en la mati` ) Architecture et contenus des programmesa)Intentions majeuresLes contenus sont organis es autour de trois intentions Organiser les programmes autour de quelques notions essentielles, en d egageant les id ees majeures et leurport ee, en fournissant des outils puissants et efficaces, en evitant toute technicit e gratuite, et en ecartant lesnotions qui ne pourraient etre trait ees que de fa con Donner un r ole tr`es important `a la r esolution de probl`emes et d exercices d application, en particulieren mettant en uvre l outil informatique.

7 Le but est d indiquer le champ des probl`emes et ph enom`enesmath ematiques `a etudier en relation avec les concepts figurant au PROGRAMME et de pr eciser les m ethodes et lestechniques usuelles exigibles des etudiants. En revanche, ces etudes de probl`emes et d exercices ne doivent pasconduire `a des d epassements de PROGRAMME prenant la forme d une anthologie d exemples dont la connaissanceserait exigible des R ealiser un equilibre global entre l alg`ebre, l analyse et la g eom etrie. Il va de soi, d ailleurs, que cette s eparationtraditionnelle n est qu une commodit e de r edaction et ne doit pas faire oublier les interactions nombreuses et etroites entre ces trois grands domaines des math ematiques.

8 Dans cette intention, les programmes sont pr esent esselon deux grandes parties : analyse et g eom etrie diff erentielle, alg`ebre et g eom etrie, mais le plan du programmen est pas un plan de est en fonction des OBJECTIFS pr ec edents que les programmes sont con cus et que l horaire hebdomadaire doit etre g er e. Dans les classes MPSI et MP, il est de 12 heures (10 heures de cours et 2 heures de travaux dirig es).Pour valoriser les concepts essentiels et les principales m ethodes (comprenant les exemples et contre-exemplesqui illustrent leur port ee et leurs conditions de validit e), il convient de consacrer `a leur etude environ au plus 8heures de cours.

9 Le temps restant est `a consacrer `a l etude de probl`emes math ematiques de difficult e vari ee ; `acet egard, toute technicit e gratuite est `a )Secteur de l analyse et de ses interventionsDans ce secteur, le PROGRAMME est organis e autour des concepts fondamentaux de fonction, qui permet demod eliser le comportement des ph enom`enes continus, et de suite (ou de s erie), qui permet de mod eliser lecomportement des ph enom`enes discrets. Les interactions entre le continu et le discret sont mises en valeur,notamment en seconde ann PROGRAMME d analyse combine l etude des probl`emes qualitatifs avec celle des probl`emes quantitatifs ;il d eveloppe conjointement l etude du comportement global des suites et des fonctions avec celle de leurcomportement local ou asymptotique.

10 Pour l etude des solutions des equations, il combine les probl`emesd existence et d unicit e, les m ethodes de calcul exact, les m ethodes d approximation et les algorithmes de miseen uvre. Pour l ensemble de l analyse, il met l accent sur les techniques de premi`ere ann ee, la ma trise du calcul diff erentiel et int egral `a une variable et de ses interventions en g eom etriediff erentielle plane constitue un objectif seconde ann ee, le PROGRAMME introduit le concept d espace vectoriel norm e et d application lin eaire continue,afin de fournir un cadre coh erent pour l etude des suites, des s eries et des fonctions et celle des suites et des s eriesde fonctions.