PONER UN PROBLEMA EN ECUACIONES - UV

1 PONER UN PROBLEMA EN ECUACIONESESQUEMA DEL deintroducci nRegla para ponerun PROBLEMA en ecuacionesUso de la reglaAn lisis deun enunciado de un problemaque tiene cantidadesque no est n mencionadas expl citamenteUso en clases de problemasProblemas deedadesProblemas deestadosProblemas dem vilesInstrumentos heur sticos:esquemas conceptualestablas de cantidadesl neas de vidadiagramas espacialesINTRODUCCI N. RELACIONES CON OTROS n de problemasPoner un problemaenecuacionesLenguajealgebraicoRe soluci ndeecuacionesLuis PuigPoner un PROBLEMA en ecuaciones2La resoluci n de problemas de matem ticas recorre cuatro fases:comprender el PROBLEMA , elaborar un plan para resolverlo, ejecutar el plany, finalmente, revisar y extender el trabajo se conoce el lenguaje algebraico, una parte importante delproceso de resoluci n de un buen n mero de problemas consiste en traducirel enunciado del PROBLEMA a ese lenguaje , es decir, consiste en PONER elproblema en PROBLEMA que hay que resolver se transforma entonces en elproblema de resolver la ecuaci n.

2 Una vez resuelta la ecuaci n falta volveral PROBLEMA planteado para comprobar el resultado obtenido, y revisar yextender el trabajo a continuaci n qu hay que hacer para PONER un PROBLEMA enecuaciones, formularemos una regla y estudiaremos algunas clases deproblemas que usualmente se resuelven poni ndolos en PROBLEMA1. Un grupo de j venes quiere ir a un concierto de rock. Para elloalquilan un autob s que los lleve desde el instituto. El autob stiene capacidad para 55 personas y hay cuatro veces m s plazaspara ir sentado que plazas para ir de pie. Cu l es el n mero deplazas para ir de pie?En el PROBLEMA se pregunta por el n mero de plazas que hay para ir depie. sa es la inc gnita del el PROBLEMA se dice adem s que la capacidad del autob s, es decir, eln mero total de plazas es 55.

3 Esta cantidad es conocida, es un dato n se habla del n mero de plazas sentado. Esta cantidad esdesconocida, pero no es la inc gnita del cantidades mencionadas en el PROBLEMA son, por tanto, tres: el n mero de plazas de pie, el n mero de plazas sentado, el n mero total de cantidades est n relacionadas entre s :Luis PuigPoner un PROBLEMA en ecuaciones3el n mero total de plazas es el n mero de plazas de pie m s eln mero de plazas el PROBLEMA tambi n se habla de otra relaci n entre cantidades en lafrase hay cuatro veces m s plazas para ir sentados que plazas para ir de pie .Esta frase quiere decir queel n mero de plazas sentado es cuatro veces el n mero de plazas resolver el PROBLEMA traducimos esas cantidades y esas relacionesentre cantidades al lenguaje primer lugar, llamamos x al n mero de plazas de n mero de plazas sentado es cuatro veces el n mero de plazas depie,escribimos 4x para designar el n mero de plazas n mero total de plazas es el n mero de plazas de pie m s eln mero de plazas sentado,escribimos x+4x para designar el n mero total de el PROBLEMA dice queel n mero total de plazas es que podemos igualar x+4x a 55, con lo que escribimos la ecuaci n:x+4x = comprobar que la ecuaci n est bien escrita examinando loque significa cada una de sus partes.

4 Luis PuigPoner un PROBLEMA en ecuaciones4x455+=xn merode plazasde pien merode plazasde pien merode plazassentadon merototalde plazasn merototalde plazasResolvemos entonces la ecuaci nx+4x = 555x = 55 x=555= n mero de plazas de pie es, por tanto, n mero de plazas sentado es cuatro veces el n mero de plazas depie,el n mero de plazas sentado ser 4 11= n mero total de plazas es el n mero de plazas de pie m s eln mero de plazas sentado,y55=11+44el resultado obtenido al resolver la ecuaci n verifica las condiciones PuigPoner un PROBLEMA en ecuaciones5 PONER UN PROBLEMA EN ECUACIONESPara PONER un PROBLEMA en ECUACIONES hay que traducir el enunciadodel PROBLEMA , que est escrito en lenguaje natural, al lenguaje tenemos que traducir un texto del ingl s al castellano, pocas vecespodemos traducirlo palabra por palabra; habitualmente necesitamoscomprender el significado global de cada frase del texto ingl s para buscarexpresiones castellanas que las traduzcan.

5 Lo mismo sucede al traducir delcastellano al lenguaje algebraico. Pero al traducir al lenguaje algebraicotenemos que tener en cuenta adem s que en ese lenguaje s lo se puedehablar de cantidades, operaciones con cantidades y relaciones entre ellas. As que tenemos que buscar cu les son las cantidades de las que se habla en elenunciado del PROBLEMA y qu se dice de que hemos hecho para PONER en ECUACIONES el PROBLEMA 1 ha sidopues lo siguiente:En primer lugar, hemos analizado el enunciado del PROBLEMA paraaveriguar cu les son las cantidades conocidas y desconocidas que aparecenen l. Tambi n hemos analizado las relaciones que hay entre esascantidades. Al hacerlo hemos reescrito algunas frases para mostrar conclaridad la relaci n entre cantidades.

6 As , el enunciado del PROBLEMA haquedado preparado para traducirlo al lenguaje algebraico, que s lo habla traducci n la hemos hecho entonces en tres partes:1) Hemos decidido qu cantidad desconocida bamos a designar con unaletra:n mero de plazas de pie x2) Otras cantidades las hemos expresado a partir de sta, usando lasrelaciones que hemos encontrado entre las mero de plazas sentado es cuatro veces n mero de plazas de pie:n mero de plazas sentado 4x;n mero total de plazas es n mero de plazas de pie m s n mero deplazas sentado:n mero total de plazas x+ PuigPoner un PROBLEMA en ecuaciones63) Hemos escrito una ecuaci n cuando hemos encontrado una cantidadrepresentada de dos mero total de plazas x+4x,n mero total de plazas 55,x+4x = tabla siguiente es una ayuda para ver c mo hemos hecho latraducci n: lenguaje naturallenguaje algebraicon mero de plazas de piexn mero de plazas sentado es cuatroveces n mero de plazas de pie4xn mero total de plazas es n merode plazas de pie m s n mero deplazas sentadox+4xn mero total de plazas es 55x+4x = 55En la primera columna de la tabla est reescrito el enunciado delproblema, preparado para la traducci n.

7 Esa preparaci n es el resultado delan lisis del enunciado. En la segunda columna est n escritas las expresionesalgebraicas correspondientes y la ecuaci n obtenida al traducir el PONER un PROBLEMA en ECUACIONES , podemos encontrarnos por tantocon dificultades de tres tipos:1) Dificultades para analizar el enunciado y determinar las cantidadesque hay que considerar para resolver el PROBLEMA y las relaciones entre este PROBLEMA , apenas se presentan dificultades de este tipo porque todaslas cantidades que hacen falta est n mencionadas en el ) Dificultades en la traducci n. En este PROBLEMA , es f cil cometer elerror de traducir la frase hay cuatro veces m s plazas para ir sentado queplazas para ir de pie por 4 plazas para ir sentado = plazas para ir de pie ,manteniendo el orden en que aparecen las cantidades.

8 La reescritura quehemos hecho de esa frase evita tropezar con esa dificultad: el n mero deplazas sentado es cuatro veces el n mero de plazas de pie menciona lasLuis PuigPoner un PROBLEMA en ecuaciones7cantidades y las operaciones en el mismo orden en que hay que escribirlas enlenguaje ) Dificultades al escribir la ecuaci n. El error que puede cometerse esigualar dos expresiones que no representen la misma cantidad. Para nocometer este error hemos hecho dos cosas: en primer lugar, hemos igualadox+4x con 55 despu s de haber visto que las dos expresiones corresponden aln mero total de plazas; pero adem s, hemos comprobado de nuevo que losdos miembros de la ecuaci n x+4x = 55 representan la misma PARA PONER UN PROBLEMA EN ECUACIONESLo que hemos hecho para resolver el PROBLEMA y hemos examinado enel apartado anterior podemos esquematizarlo en la siguiente regla paraponer un PROBLEMA en ECUACIONES .

9 1) Comprender el enunciado, identificando las cantidades conocidas(o datos) y las cantidades desconocidas (inc gnitas), as como lasrelaciones entre ) Dar nombre a una de las cantidades desconocidas, asign ndoleuna ) Representar las cantidades desconocidas mediante expresionesalgebraicas que traducen las relaciones entre esas cantidades y la quehemos designado con una ) Escribir una igualdad entre expresiones algebraicas (una ecuaci n)a partir de las relaciones existentes entre las diferentes ) Comprobar que los dos miembros de la igualdad representan lamisma los dos miembros de la igualdad representan la misma cantidad,hemos hecho una traducci n adecuada del lenguaje natural al lenguajealgebraico, es decir, hemos puesto el PROBLEMA en vez puesto el PROBLEMA en ECUACIONES , su resoluci n contin a conotros dos pasos: resolver la ecuaci n, comprobar que el resultado obtenido satisface la condici n PuigPoner un PROBLEMA en ecuaciones8 Esta regla organiza el plan de resoluci n del PROBLEMA , pero no dice loque hay que hacer exactamente en cada uno de sus pasos, no es unalgoritmo.

10 En lo que sigue estudiaremos el uso de la regla para resolverotros problemas m s complejos que el PROBLEMA 1 y algunas clases PROBLEMA EN CUYO ENUNCIADO NO EST N MENCIONADAS TODAS LASCANTIDADES QUE HAY QUE CONSIDERAR2. Un bol grafo cuesta 30 ptas m s que un l piz. Un muchacho hacomprado 8 bol grafos y 15 l pices. En total le han costado 700ptas. Cu nto val a cada l piz y cada bol grafo?1) Siguiendo la regla, empezamos por analizar el enunciado paradeterminar las cantidades que aparecen y las relaciones entre enunciado habla de las cantidades: precio de un bol grafo (desconocido), precio de un l piz (desconocido), n mero de bol grafos (dato, 8), n mero de l pices (dato, 15), coste total de la compra (dato, 700).