Projet de Programme de mathématiques pour la …

1 Bulletin officiel sp cial n 9 du 30 septembre 2010 Minist re de l' ducation nationale > 1 / 7 Annexe MATH MATIQUES CYCLE TERMINAL DE LA S RIE SCIENTIFIQUE CLASSE DE PREMI RE L enseignement des math matiques au coll ge et au lyc e a pour but de donner chaque l ve la culture math matique indispensable pour sa vie de citoyen et les bases n cessaires son Projet de poursuite d tudes. Le cycle terminal de la s rie S procure un bagage math matique solide aux l ves d sireux de s engager dans des tudes sup rieures scientifiques, en les formant la pratique d une d marche scientifique et en renfor ant leur go t pour des activit s de recherche. L apprentissage des math matiques cultive des comp tences qui facilitent une formation tout au long de la vie et aident mieux appr hender une soci t en volution. Au-del du cadre scolaire, il s inscrit dans une perspective de formation de l individu. Objectif g n ral Outre l apport de nouvelles connaissances, le Programme vise le d veloppement des comp tences suivantes : - mettre en uvre une recherche de fa on autonome ; - mener des raisonnements ; - avoir une attitude critique vis- -vis des r sultats obtenus ; - communiquer l crit et l oral.

2 Raisonnement et langage math matiques Comme en classe de seconde, les capacit s d argumentation, de r daction d une d monstration et de logique font partie int grante des exigences du cycle terminal. Les concepts et m thodes relevant de la logique math matique ne font pas l objet de cours sp cifiques mais prennent naturellement leur place dans tous les champs du Programme . Il importe toutefois de pr voir des moments d institutionnalisation de certains concepts ou types de raisonnement, apr s que ceux-ci ont t rencontr s plusieurs fois en situation. De m me, le vocabulaire et les notations math matiques ne sont pas fix s d embl e, mais sont introduits au cours du traitement d une question en fonction de leur utilit . Il convient de pr voir des temps de synth se, l objectif tant que ces l ments soient ma tris s en fin de cycle terminal. Utilisation d outils logiciels L utilisation de logiciels, d outils de visualisation et de simulation, de calcul (formel ou scientifique) et de programmation change profond ment la nature de l enseignement en favorisant une d marche d investigation.

3 En particulier, lors de la r solution de probl mes, l utilisation de logiciels de calcul formel peut limiter le temps consacr des calculs tr s techniques afin de se concentrer sur la mise en place de raisonnements. L utilisation de ces outils intervient selon trois modalit s : - par le professeur, en classe, avec un dispositif de visualisation collective ; - par les l ves, sous forme de travaux pratiques de math matiques ; - dans le cadre du travail personnel des l ves hors de la classe. Diversit de l activit de l l ve Les activit s propos es en classe et hors du temps scolaire prennent appui sur la r solution de probl mes purement math matiques ou issus d autres disciplines. De nature diverse, elles doivent entra ner les l ves : - chercher, exp rimenter, mod liser, en particulier l aide d outils logiciels ; - choisir et appliquer des techniques de calcul ; - mettre en uvre des algorithmes ; - raisonner, d montrer, trouver des r sultats partiels et les mettre en perspective ; - expliquer oralement une d marche, communiquer un r sultat par oral ou par crit.

4 Des l ments d pist mologie et d histoire des math matiques s ins rent naturellement dans la mise en uvre du Programme . Conna tre le nom de quelques math maticiens c l bres, la p riode laquelle ils ont v cu et leur contribution fait partie int grante du bagage culturel de tout l ve ayant une formation scientifique. La pr sentation de textes historiques aide comprendre la gen se et l volution de certains concepts. Bulletin officiel sp cial n 9 du 30 septembre 2010 Minist re de l' ducation nationale > 2 / 7 Fr quents, de longueur raisonnable et de nature vari e, les travaux hors du temps scolaire contribuent la formation des l ves et sont absolument essentiels leur progression. Ils sont con us de fa on prendre en compte la diversit et l h t rog n it de leurs aptitudes. Les modes d valuation prennent galement des formes vari es, en phase avec les objectifs poursuivis. En particulier, l aptitude mobiliser l outil informatique dans le cadre de la r solution de probl mes est valuer.

5 Organisation du Programme Le Programme fixe les objectifs atteindre en termes de capacit s. Il est con u pour favoriser une acquisition progressive des notions et leur p rennisation. Son plan n indique pas la progression suivre. Les capacit s attendues dans le domaine de l algorithmique d une part et du raisonnement d autre part sont rappel es en fin de Programme . Elles doivent tre exerc es l int rieur de chaque champ du Programme . Plusieurs d monstrations, ayant valeur de mod le, sont rep r es par le symbole . Certaines sont exigibles et correspondent des capacit s attendues. De m me, les activit s de type algorithmique sont signal es par le symbole . 1. Analyse Le Programme s inscrit, comme celui de la classe de seconde, dans le cadre de la r solution de probl mes. Les situations propos es r pondent des probl matiques clairement identifi es d origine purement math matique ou en lien avec d autres disciplines. Un des objectifs de ce Programme est de doter les l ves d outils math matiques permettant de traiter des probl mes relevant de la mod lisation de ph nom nes continus ou discrets.

6 Ainsi, on consolide l ensemble des fonctions mobilisables, enrichi de deux nouvelles fonctions de r f rence, les fonctions racine carr e et valeur absolue. On introduit un nouvel outil : la d rivation. L acquisition du concept de d riv e est un point fondamental du Programme de premi re. Les fonctions tudi es sont toutes r guli res et on se contente d une approche intuitive de la notion de limite finie en un point. Le calcul de d riv es dans des cas simples est un attendu du Programme ; dans le cas de situations plus complexes, on sollicite les logiciels de calcul formel. L tude de ph nom nes discrets fournit un moyen d introduire les suites et leur g n ration en s appuyant sur des registres diff rents (alg brique, graphique, num rique, g om trique) et en faisant largement appel des logiciels. Les interrogations sur leur comportement am nent une premi re approche de la notion de limite qui sera d velopp e en classe de terminale. L tude des suites se pr te tout particuli rement la mise en place d activit s algorithmiques.

7 CONTENUS CAPACIT S ATTENDUES COMMENTAIRES Second degr Forme canonique d une fonction polyn me de degr deux. quation du second degr , discriminant. Signe du trin me. D terminer et utiliser la forme la plus ad quate d une fonction polyn me de degr deux en vue de la r solution d un probl me : d velopp e, factoris e, canonique. On fait le lien avec les repr sentations graphiques tudi es en classe de seconde. Des activit s algorithmiques doivent tre r alis es dans ce cadre. tude de fonctions Fonctions de r f rence xx et xx . Conna tre les variations de ces deux fonctions et leur repr sentation graphique. D montrer que la fonction racine carr e est croissante sur ;0. Justifier les positions relatives des courbes repr sentatives des fonctions xx , 2xx et xx . Aucune technicit dans l utilisation de la valeur absolue n est attendue. Sens de variation des fonctions ku, u, u et u1, la fonction u tant connue, k tant une fonction constante et un r el.

8 Exploiter ces propri t s pour d terminer le sens de variation de fonctions simples. On nourrit la diversit des raisonnements travaill s dans les classes pr c dentes en montrant l aide de contre-exemples qu on ne peut pas noncer de r gle g n rale donnant le sens de variation de la somme ou du produit de deux fonctions. L tude g n rale de la compos e de deux fonctions est hors Programme . Bulletin officiel sp cial n 9 du 30 septembre 2010 Minist re de l' ducation nationale > 3 / 7 D rivation Nombre d riv d une fonction en un point. Tangente la courbe repr sentative d une fonction d rivable en un point. Tracer une tangente connaissant le nombre d riv . Le nombre d riv est d fini comme limite du taux d accroissement hafhaf)()( quand h tend vers 0. On ne donne pas de d finition formelle de la limite. L utilisation des outils logiciels facilite l introduction du nombre d riv . Fonction d riv e. D riv e des fonctions usuelles : xx , xx1 et nxx (n entier naturel non nul).

9 Calculer la d riv e de fonctions. On vite tout exc s de technicit dans les calculs de d rivation. Si n cessaire, dans le cadre de la r solution de probl mes, le calcul de la d riv e d une fonction est facilit par l utilisation d un logiciel de calcul formel. D riv e d une somme, d un produit et d un quotient. Il est int ressant de pr senter le principe de d monstration de la d rivation d un produit. Lien entre signe de la d riv e et sens de variation. Extremum d une fonction. Exploiter le sens de variation pour l obtention d in galit s. Il n est pas toujours utile de recourir la d rivation pour tudier le sens de variation d une fonction. On traite quelques probl mes d optimisation. Suites Modes de g n ration d une suite num rique. Suites arithm tiques et suites g om triques. Mod liser et tudier une situation l aide de suites. Mettre en uvre des algorithmes permettant : - d obtenir une liste de termes d une suite ; - de calculer un terme de rang donn.

10 Tablir et conna tre les formules donnant n 21 et nqq 1. Il est important de varier les approches et les outils. L utilisation du tableur et la mise en uvre d algorithmes sont l occasion d tudier en particulier des suites g n r es par une relation de r currence. Sens de variation d une suite num rique. Approche de la notion de limite d une suite partir d exemples. Exploiter une repr sentation graphique des termes d une suite. On peut utiliser un algorithme ou un tableur pour traiter des probl mes de comparaison d volutions et de seuils. Par exemple, dans le cas d une suite croissante non major e, on peut d terminer un rang partir duquel tout terme de la suite est sup rieur un nombre donn . Le tableur, les logiciels de g om trie dynamique et de calcul sont des outils adapt s l tude des suites, en particulier pour l approche exp rimentale de la notion de limite. On ne donne pas de d finition formelle de la limite. Bulletin officiel sp cial n 9 du 30 septembre 2010 Minist re de l' ducation nationale > 4 / 7 2.