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TEORÍA DE CONTROL - MDP

TEOR A DE CONTROL . Especificaciones de Respuesta en el Tiempo ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. Al momento de especificar la respuesta en el tiempo de un sistema de CONTROL , existen ciertos par metros que definen el comportamiento. Dependiendo de si la respuesta en el tiempo para una entrada en escal n tiene sobrepico o no se puede dividir en Sobreamortiguada Subamortiguada Sin sobrepico Con sobrepico Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. Respuesta sobreamortiguada : Esta respuesta es caracter stica de sistemas con polos reales. Los par metros que generalmente se especifican para caracterizar esta respuesta son: Constante de Tiempo : t Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. Respuesta sobreamortiguada : Esta respuesta es caracter stica de sistemas con polos reales. Los par metros que generalmente se especifican para caracterizar esta respuesta son: Ts(2%) = 3t Ts(5%) = 4 t Tiempo de Establecimiento :Ts Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES.

Teoría de Control ESPECIFICACIONES Parámetros de la Respuesta Temporal. Al momento de especificar la respuesta en el tiempo de un sistema de …

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1 TEOR A DE CONTROL . Especificaciones de Respuesta en el Tiempo ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. Al momento de especificar la respuesta en el tiempo de un sistema de CONTROL , existen ciertos par metros que definen el comportamiento. Dependiendo de si la respuesta en el tiempo para una entrada en escal n tiene sobrepico o no se puede dividir en Sobreamortiguada Subamortiguada Sin sobrepico Con sobrepico Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. Respuesta sobreamortiguada : Esta respuesta es caracter stica de sistemas con polos reales. Los par metros que generalmente se especifican para caracterizar esta respuesta son: Constante de Tiempo : t Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. Respuesta sobreamortiguada : Esta respuesta es caracter stica de sistemas con polos reales. Los par metros que generalmente se especifican para caracterizar esta respuesta son: Ts(2%) = 3t Ts(5%) = 4 t Tiempo de Establecimiento :Ts Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES.

2 Par metros de la Respuesta Temporal. Respuesta subamortiguada : Esta respuesta es caracter stica de sistemas con polos complejos conjugados. Los par metros que generalmente se especifican para caracterizar esta respuesta son: Sobrepico: 100 ymax-yrp yrp Tiempo de Pico : Tp Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. Respuesta subamortiguada : Esta respuesta es caracter stica de sistemas con polos complejos conjugados. Los par metros que generalmente se especifican para caracterizar esta respuesta son: Tiempo de Crecimiento : Tr Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. Respuesta subamortiguada : Esta respuesta es caracter stica de sistemas con polos complejos conjugados. Los par metros que generalmente se especifican para caracterizar esta respuesta son: Tiempo de Demora : Td Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. Respuesta subamortiguada : Esta respuesta es caracter stica de sistemas con polos complejos conjugados.

3 Los par metros que generalmente se especifican para caracterizar esta respuesta son: Tiempo de Establecimiento : Ts Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. Los par metros correspondientes a la respuesta transitoria se pueden calcular con suficiente precisi n en sistemas de segundo orden a partir del coeficiente de amortiguamiento x y de la frecuencia natural wn . La funci n de transferencia de un sistema de segundo orden, con ganancia unitaria, se puede escribir como: Y ( s) wn2. G( s) 2. R( s) s 2 x wn s wn2. Si el coeficiente de amortiguamiento x es mayor o igual a 1. la transferencia tiene polos reales y si es menor a 1 los polos son complejos conjugados. Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. Los polos de la funci n de transferencia resultan: s x wn wn x 2 1. Si x<1, la ra z cuadrada da resultados imaginarios y por lo tanto los polos son complejos conjugados. La respuesta para una entrada en escal n, con x<1, tiene la siguiente expresi n: e xwnt 1 x 2.

4 Y (t ) 1 sen wn 1 x 2 t tan 1 (t 0). 1 x 2 x .. Esta respuesta es subamortiguada y a partir de ella se van a calcular los par metros Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. La figura muestra la respuesta para distintos coeficientes de amortiguamiento: x 0. x x x x x 1 cr tico x 1 sobreamortiguado Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. El tiempo correspondiente al sobrepico Tp se puede calcular derivando la expresi n de la salida e igualando a cero. d y (t ) 0. dt Esta condici n tiene el primer m ximo en: . Tp . wn 1 x 2. El valor de la salida para este instante es: x . 1 x 2. ymax 1 e Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. El Sobrepico porcentual da como resultado: x . SP % 100 e 1 x 2. El tiempo de Crecimiento se calcula como: 2 Tr . 2 x wn El tiempo de Demora resulta: 1 Td . wn Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. La constante de tiempo se calcula como: t 1.

5 X wn El tiempo de Establecimiento se calcula teniendo en cuenta el t rmino exponencial: Para el 5% de tolerancia: 3. Ts . x wn Para el 2% de tolerancia: 4. Ts . x wn Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. Polos Dominantes: Los polos de la transferencia de un sistema que est n m s pr ximos al eje imaginario son los que determinan generalmente la respuesta transitoria. Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. Polos Dominantes Para que un polo de la funci n de transferencia sea no dominante pueden ocurrir dos situaciones: Que la parte real del polo sea al menos 10 veces mayor que parte real del polo de baja frecuencia m s cercano. Que haya un cero muy pr ximo a la ubicaci n del polo. Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. Funci n de Transferencia Deseada: Dadas ciertas especificaciones se puede determinar una transferencia de segundo orden que cumpla con esas especificaciones.

6 En el caso que se requiera un sistema de orden mayor, lo que se hace es determinar un par de polos para cumplir con las especificaciones y ubicar el resto de los polos en posiciones no dominantes. Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. Ejemplo: Encuentre una transferencia de tercer orden que tenga una respuesta al escal n con las siguientes especificaciones: Ganancia = 10. Soprepico Sp[%]= 10%. Tiempo de estalecimiento Ts[2%] = 0,5 seg. Se va a dise ar una transferencia con un par de polos complejos conjugados y un polo en alta frecuencia Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. Con el sobrepico especificado se calcula el coeficiente de amortiguamiento x. SP . ln . x 100 2. SP . ln . 2.. 100 . Con el coeficiente de amortiguamiento x calculado y el tiempo de establecimiento se calcula wn. 4 rad wn x Ts seg Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. Se calculan los polos de segundo orden: s1,2 x wn j wn 1 x 2.

7 S1,2 8 j Para determinar el tercer polo (no dominante) se multiplica por 10 la parte real de los complejos: s3 10 x wn 80. Finalmente la transferencia queda: G( s) 2. 10 80 . 3. 105. s 16s s 80 s 96 s 2. 1463 s 10 4. Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. La respuesta al escal n resulta: Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. SISTEMAS DISCRETOS. En el caso de tener que trabajar con transferencias discretas, generalmente se ubican los polos en el plano s y luego se transforma la transferencia al plano z . Para poder determinar las especificaciones de un sistema de segundo orden discreto se recurre a la siguiente t cnica. Partiendo de la funci n de transferencia continua: Y ( s) wn2. G( s) 2. R( s) s 2 x wn s wn2. Los polos de la funci n de transferencia resultan: s1,2 x wn j wn 1 x 2. Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. SISTEMAS DISCRETOS. Transformando los polos al plano z: z1,2 esT e xwnT wnT 1 x 2 r.

8 Por consiguiente: r e xwnT y wnT 1 x 2. Despejando queda: ln r xwnT. Calculando: ln r x . 1 x 2. Teor a de CONTROL ESPECIFICACIONES. Par metros de la Respuesta Temporal. SISTEMAS DISCRETOS: ln r Despejando x: x .. 2 2. ln r 1. wn ln r 2. 2. Por lo tanto: T. 1 T. La constante de tiempo queda: t . xwn ln r Teor a de CONTROL


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