Teoría de Conjuntos - UCM

1 Teor a de ConjuntosAntonia Huertas SanchezMar a Manzano 2002ii ndice Prefacio ..vI TEOR AB SICADECONJUNTOS11. Introducci Pinceladashist Teor aintuitivadeconjuntos .. Problemas en la teor a intuitiva de Conjuntos : la Soluci ndelasparadojas .. ElUniversomatem tico .. Teor aaxiom ticadeconjuntos .. 72. lgebra de EllenguajedelaTeor adeConjuntos .. Igualdad,inclusi nyconjuntovac o .. 103. Relaciones y Clasesunitarias,paresyd Conjunto potencia (o conjunto de las partes de un conjunto) .. Granuni nygranintersecci n .. Productocartesiano .. Relaci ninversa,productorelativoyrestricci Imagenbajounarelaci nyrelaci nidentidad.. Propiedadesdeciertasrelaciones .. ,composici n .. 19iiiiv NDICE GENERALII Teor a de Conjuntos Axiom tica214. Primeros AxiomasdeExtensionalidadydeSeparaci n .. AxiomasdelPar,delaUni nydelasPartes .. AxiomadeReemplazamiento .. 245. Construcci n de los Buenos rdeneseinducci n.

2 Inducci Inducci n en el conjunto de los n meros naturales .. Buenos rdenesyordinales .. Comparaci n de Conjuntos bien ordenados: Isomorfismos . Segmento .. Ordinal .. 286. La Jerarqu a de Construcci ndelaJerarqu a .. Axiomas involucrados en la construcci n de la jerarqu a .. 327. Los Axiomas de Elecci n y Axioma de la elecci Otrasformulacionesdelaxiomadeelecci n .. ImportanciadelAxiomadeElecci Axioma de Constructibilidad .. 368. Igualdad,Inclusi nyConjuntovac Operaciones:Algebradeconjuntos .. ClasesUnitarias,ParesyD adas .. Conjunto Potencia (o Conjunto de las Partes de un Conjunto) .. GranUni nyGranIntersecci n .. Relaci nInversa,ProductoRelativoyRestricci ImagenbajounaRelaci nyRelaci ndeIdentidad .. ,Composici n .. Funciones n .. 449. Bibliograf PrefacioLas notas que siguen constituyen una gu a para un curso b sico de teor a deconjuntos. La primera parte, formada por tres cap tulos, se podr an insertar enun curso de introducci n de l gica, entre la l gica proposicional y la de primerorden.

3 Si el curso se piensa dar en Facultades de Letras, se puede complementarcon una serie de ejercicios a n m s elementales (que estamos elaborando) cuyoobjetivo es que el alumno sepa trasegar con Conjuntos y relaciones concretas. Nose incluyen las demostraciones, que son la parte fundamental del curso, ya quelas hacemos en la pizarra. Esto no es un libro, son unos apuntes que esperamosos sean de alguna bloque completo de estas notas constituye un curso de 20 horas paraalumnos de primer ciclo. Por tratarse de una asignatura de las denominadasde LIBRE CONFIGURACI N (esto quiere decir que no es de ninguna carreraen particular, que la pueden elegir alumnos de cualquier titulaci n) no se puedesuponer un conocimiento previo homog neo, de ah proviene su estilo mestizo .vi NDICE GENERALP arte ITEOR A B SICA DECONJUNTOS1 Cap tulo 1 Introducci Pinceladas hist ricasEn el ltimo cuarto del siglo XIX se vivi un episodio apasionante de la his-toria de las matem ticas que las ligar a desde entonces a la historia de la l , Georg Boole (1815-1864) en suMathematical Analysis of Logictrat de presentar la l gica como parte de las matem ticas.

4 Poco despu s GottlobFrege (1848-1925) intent mostrar que la aritm tica era parte de la l gica en suDie Grundlagen der , dando un gran paso tanto en la historiade las matem ticas como en la historia de la l gica, G. Cantor se hab a ade-lantado a Frege con una fundamentaci n l gica de la aritm tica. Cantor hab ademostrado que la totalidad de los n meros naturales comprendidos en el inter-valodeextremos0y1noesnumerable,ene lsentidodequesuinfinitud no esla de los n meros naturales. Como una consecuencia de esa situaci n, Cantorcre una nueva disciplina matem tica entre 1874 y 1897: la teor a de obra fue admirada y condenada simult neamente por sus contempor entonces los debates en el seno de la teor a de Conjuntos han sido siempreapasionados, sin duda por hallarse estrechamente conectados con importantescuestiones l n la definici n de conjunto de Cantor, ste es una colecci n en un todode determinados y distintos objetos de nuestra percepci n o nuestro pensamien-to, llamados los elementos del conjunto.

5 Frege fue uno de los admiradores dela nueva teor a de Cantor, y dio una definici n de conjunto 1903 B. Russell demostrar a que la teor a de Conjuntos de Cantor erainconsistente y cuestionar a la definici n de conjunto en la teor a de pronto la teor a axiom tica de Zermelo (1908) y refinamientos de stadebidos a Fraenkel (1922), Skolem (1923), von Newman (1925) y otros sentaronlas bases para la teor a de Conjuntos indiscutible el hecho de que la teor a de Conjuntos es una parte de lasmatem ticas, es adem s, la teor a matem tica d nde fundamentar la aritm tica34 CAP TULO 1. INTRODUCCI Ny el resto de teor as matem ticas. Es tambi n indiscutible que es una parte dela l gica y en particular una parte de la l gica de esta historia cruzada de las matem ticas, la l gica y los fundamentos deambas, la teor a de Conjuntos permitir a por un lado una fundaci n logicistade las matem ticas; pero por otro lado la teor a de Conjuntos mirada comoparte de las matem ticas proporciona el metalenguaje, el contexto o sustratode las teor as l gicas.

6 Finalmente, puede ser completamente expresada en unlenguaje de primer orden y sus axiomas y teoremas constituyen una teor a deprimer orden a la que pueden aplicarse los resultados generales que se aplicana cualquier teor a de primer los cap tulos que siguen se presenta primero la teor a intuitiva de con-juntos, basada en la original de Cantor, para seguir con sus problemas de incon-sistencia y la soluci n axiom ticafinal como la teor a de Conjuntos de Teor a intuitiva de La selva de CantorLa definici n inicial de Cantor es totalmente intuitiva:un conjunto es cualquiercolecci n C de objetos determinados y bien distintos x de nuestra percepci n onuestro pensamiento (que se denominan elementos de C), reunidos en un que en Frege su idea de lo que es un conjunto coincide con la extensi n deun predicado (la colecci n de objetos que satisface el predicado).Esta idea sencilla y tan intuitiva resulta ser tambi n ingenua porque produceenormes contradicciones de inmediato, como por ejemplo laparadoja de poder mostrarlo es necesario empezar por formalizar esta teor a intuitivaque, aparte de los s mbolos para los Conjuntos y sus elementos (x, C, etc.)

7 , tendr los s mbolos de pertenencia e igualdad=(de los objetos del lenguaje formal).Quexes un elemento del conjuntoCse expresa x pertenece a C obienx es un elemento deCse expresa x no pertenece a C (x/ C).Tendremos en cuenta que no es necesario denotar siempre con may sculasa los Conjuntos y con min sculas a sus elementos, ya que un conjunto puedeserasuvezunelementodeotroconjuntoei nclusopodemosconsiderarqueennuestra teor a no hay objetos que no sean Conjuntos . C mo se determina una colecci n?Listar los acuerdo con la definici n intuitiva de Cantor un con-junto queda definido si es posible describir completamente sus procedimiento m s sencillo de descripci n es nombrar cada uno de suselementos, se llamadefinici n por extensi n;es conocida la notaci n deencerrar entre llaves los elementos del :A={a, b, c}.DondeAes el conjunto formado por la colecci n de TEOR A INTUITIVA DE CONJUNTOS5a, { , , , , }.DondeBes el conjunto formado exactamente poresos cinco c es cierto queb Ayqueb/ inconveniente para este m todo de listado o enumeraci n de los elemen-tos del conjunto es que stos deben poseer un n merofinito de elementosy, en la pr ctica, un n mero muy peque o Qu hacer cuando la colecci n es infinita, o cuando esfinita pero nu-merosa?

8 Describir los el n mero de elementos del conjunto es in-finito (como el de los n mero impares) o demasiado numeroso (como el detodas las palabras que pueden formarse con el alfabeto latino) se utilizael m todo dedefinici n por intensi n,que consiste en la descripci n deun conjunto como laextensi n de un predicado,esto es,mediante una ovarias propiedades (el predicado) que caracterizan a los elementos de principio podr a tomarse cualquier lengua natural para describir los ob-jetos (espa ol, ingl s, italiano, vasco, catal n, etc), sin embargo es preferibleutilizar unlenguaje formalque ofrezca rigor y precisi n. Dicho lenguaje debeser suficientemente rico; esto es, lo suficientemente expresivo como para poderdescribirtodaslas colecciones matem ticas. Pero tambi n lo suficientemente re-strictivo como para limitarse as lolas colecciones de objetos matem ticos. Paraexpresar predicados utilizaremos el lenguaje formal de la la l gica de predica-dos de primer orden (el lenguaje de la l gica de proposiciones con los s mbolosl gicos de las conectivas , , , , m s los cuantificadores universal yexis-tencial )al que se a ade variables, igualdad y el relator binario de lenguaje puede ser ampliado con los s mbolos propios de las operaciones,relaciones o funciones del lenguaje espec fico de teor a de la primera parte, al presentar la Teor a b sica de Conjuntos , utilizaremoscon frecuencia el lenguaje natural para describir propiedades.

9 Estas propiedadespueden ser aritm ticas (<, ,/,etc.) o matem ticas en general, pero tambi npueden ser propiedades expresadas en lenguaje natural (nombres, verbos,..) quedescriban colecciones no estrictamente matem :C={x /0<x<230000 2/x},donde es el conjunto de los n merosnaturales con la ordenaci n habitual,<significa menor que y2/xsignificaque 2divideax .D={x/ xes una palabra de 2 letras del alfabeto griego (pueden estar repetidas)}E={x/ P2(x) P3(x) P10(x)}.DondePi(x)significa xes una palabradeiletras del alfabeto griego (pueden estar repetidas).6 CAP TULO 1. INTRODUCCI Problemas en la teor a intuitiva de Conjuntos : laparadoja de RussellPero la definici n intuitiva de conjunto como el de una colecci n de objetos describible por un predicado conduce inevitablemente a ciertas contradiccionesque se llaman paradojas, la m s c lebre es la conocida como paradoja de Russell:Consideremos el conjuntoA={x:x/ x}, descrito mediante el predicadodel lenguaje formalx/ x.

10 Obviamente, para cualquierB, B Asi y s lo siB/ decir, est enAcuando verifica las condiciones que definen , qu sucede con el propioA? Evidentemente,A Asi y s lo siA/ esteresultado es contradictorio. En vano se debe intentar descubrir un error en elrazonamiento, m s bien parece que el problema proviene de admitir expresionescomoA A(o Conjuntos como el conjunto de todos los Conjuntos que producetambi n paradojas).Se ha visto claramente que el concepto de conjunto no es tan sencillo y queidentificarlo sin mayor investigaci n con el de colecci n resulta problem evitar la paradoja de Russell, y otras de esta naturaleza, es necesariotener m s cuidado en la definici n de conjunto, lo veremos en lo que paradojas, de hecho las primeras en descubrirse, afectaban a coleccionesgrandes, como por ejemplo la de los ordinales, o la de todos los Conjuntos . Estascolecciones no podr n ser Soluci n de las paradojasUna soluci n radical al problema de las paradojas es la propuesta en 1903por Russell, suTeor a de Tipos.