Un complemento al teorema de Nyquist - SciELO

1 ENSE NANZAREVISTA MEXICANA DE F ISICA E56(2) 165 171 DICIEMBRE 2010Un complemento al teorema de Alvarado Reyes y Stern ForgachDepartamento de F sica, Facultad de Ciencias,Universidad Nacional Aut onoma de M el 1 de octubre de 2009; aceptado el 21 de junio de 2010 Este trabajo est a dirigido a estudiantes que por primera vez realizan la adquisici on y el tratamiento de se nales. En algunas carreras cient ficaspuede ser debido a un curso obligatorio de los primeros semestres, en otras a un curso optativo y en otras carreras puede simplemente serparte de un curso de laboratorio. Se presenta una revisi on de los requisitos para hacer una buena adquisici on de se nales, de manera queen el espacio temporal se pueda reconstruir la se nal original con sus caracter sticas m as importantes, y al transformar al espacio de lasfrecuencias, se obtenga tambi en la resoluci on requerida.

2 Se revisa el teorema de Nyquist y se muestra que este no es suficiente para aseguraruna resoluci on adecuada en el espacio de las frecuencias. Finalmente se hace una propuesta para escoger los par ametros de la adquisici on dedatos de la mejor manera :Adquisici on de se nales; resoluci on en frecuencia; teorema de content of this article is specially designed for students that are starting their education in data acquisition and signal processing. Insome scientific majors this can happen in a compulsory or an elective course or in an experimental one. We review some of the fundamentalrequirements for proper signal acquisition in order to reconstruct the most important characteristics of the original signal, and at the sametime obtain the required resolution when transforming to frequency space.

3 We show that the satisfaction of Nyquist criterion is not sufficientto assure adequate resolution in frequency space. Finally we suggest how to choose the parameters for the best possible :Data acquisition; resolution in frequency space; Nyquist : 01,50KW1. Introducci onRichard Lyons en su famoso libroPara Entender el Proce-samiento Digital de Se nales, le dice al lector en su prefa-cio: No es necesario decirte cuan importante es el proce-samiento digital de se nales en la ingenier a moderna, s olo tedir e que el futuro de la electr onicaesel procesamiento digitalde se nales [1].

4 Un buen procesamiento permite reconstruir la se nalanal ogica, recuperar la informaci on importante y desecharparte del ruido. La se nal temporal reconstruida es en gene-ral dif cil de analizar, por lo que es com un transformarla paraestudiarla en el espacio de las frecuencias. La caracteriza-ci on m as com un de una se nal es a trav es de su densidad es-pectral, que es la transformada de Fourier de la funci on deauto-correlaci on de la se nal original. Hay una relaci on direc-ta entre la densidad espectral y el contenido energ etico de lase nal [2].Lo m as importante para poder hacer un buen tratamientode se nal, es asegurar en cada paso que la informaci on origi-nal no ha sido alterada.

5 El presente trabajo hace una revisi onde algunas de las ideas m as importantes alrededor del proce-samiento confiable de se nales. Se hace enfasis, en particular,en que un buen muestreo en el dominio del tiempo no ase-gura una buena resoluci on en el dominio de las frecuenciasy, adem as, que tanto el teorema de Nyquist como la decisi onsobre el tiempo total de muestreo y el n umero de muestrases fundamental para recuperar toda la informaci on de las fre-cuencias de la se nal Datos experimentales vs. datos adquiridosUna gran cantidad de actividades, tanto en la vida cotidia-na como en el laboratorio o en las aplicaciones tecnol ogi-cas, dependen de c omo se transforma una se nal anal ogica enuna se nal digital.

6 En el mundo moderno, recibimos y trans-mitimos mucha informaci on a trav es de corrientes el corrientes traen a veces ruido mezclado con la infor-maci on que nos interesa y otras traen varias informacionesmezcladas. Para poder descifrar esa informaci on es necesarioadquirirla, por ejemplo con una computadora y, despu es, re-construirla de la manera m as fiel posible, para un laboratorio de investigaci on se hacen experimen-tos, es decir, se reproducen fen omenos de manera controlada,eliminando o introduciendo aquellas variables que puedan in-fluir en ellos. Se entiende por variable toda caracter stica quepueda causar cambios en los resultados de un , se deben determinar todas las variables que inter-vienen en un proceso.

7 Despu es se trata de cuantificar rela-ciones entre variables, como la densidad, la temperatura, laenerg a, etc. A veces solamente se logra adquirir informaci oncualitativa, pero en general se trata de medir, de asignar unn umero. Las mediciones de las variables se hacen a trav esde transductores, es decir, de sistemas que transforman untipo de energ a en otro. Lo m as com un, independientemen-te del transductor o sensor que se use, es que la se nal finalsea una corriente el ectrica. Por ejemplo, un micr ofono o unfoto-detector transforman la energ a ac ustica o luminosa ALVARADO REYES Y STERN FORGACH energ a el ectrica.

8 Lo que realmente se mide es una diferenciade potencial o una corriente. El transductor da una medidaconfiable cuando se conoce con precisi on la relaci on entre laenerg a el ectrica y la variable que se quiere proceso de medici on no acaba aqu . La se nal el ectricadebe todav a ser digitalizada, adquirida y procesada, ya seacon un mult metro, un osciloscopio o una corriente el ectrica pasa por un convertidor anal ogico-digital que asigna un valor num erico a la diferencia de poten-cial en un instante dado. El experimentador tiene que tomardecisiones importantes para hacer este proceso.

9 Para empe-zar, la amplitud de la se nal debe ser suficiente para que elconvertidor pueda asignarle un valor sin ambig uedad. Des-pu es es necesario determinar el intervalo de tiempo tentrecada dato que se adquiere y el n umero de puntosNque sequiere adquirir. Al conjunto de datos adquiridos se le llamamuestra. El intervalo tentre un dato y otro es la resolu-ci on temporal o periodo de muestreo de la se nal digitaliza-da. Es importante que tsea suficientemente peque no paraque no pasen inadvertidos eventos importantes entre un datoy el siguiente. Por otro lado, si tes demasiado peque no,se necesitan muchos datos para poder estudiar el fen omenodurante un tiempo tiempo totalTtde la muestra es igual aTt=N tEs importante que el tiempo total sea suficiente para que elfen omeno se pueda observar completamente.

10 Por ejemplo, sise va a estudiar la variaci on en la altura del agua cuando pasauna ola, y este proceso toma entre 7 y 9 segundos, el tiempototal de muestreo debe ser mayor a 7 o 9 segundos. De estasdecisiones depende la credibilidad de la se nal inverso del per odo de muestreo se le llama frecuenciade muestreofS= 1/ t. El teorema de Nyquist , considera-do el m as importante en la adquisici on de se nales, estableceuna condici on necesaria y suficiente para la reconstrucci on,en el dominio temporal, de una se nal adquirida: la frecuenciade muestreo debe ser al menos 2 veces mayor que la frecuen-cia m as alta de la se nal que se quiere reconstruir [1,2]:fS 2fm.