Utiliser les nombres pour comparer, calculer et résoudre ...

1 Utiliser les nombres pour comparer, calculer et r soudre des probl mes : les nombres relatifs Le statut et l'usage des nombres voluent au cours de la scolarit . Au cours du cycle 3, les nombres positifs (entiers, d cimaux ou rationnels) ont t principalement utilis s pour : compter des objets ;. mesurer des grandeurs ;. graduer une demi-droite ;. jouer le r le d'op rateur (par exemple prendre le quart de, ou calculer 75 % de) ;. effectuer des calculs et en donner les r sultats sous forme exacte ou approch e. L' l ve a effectu sur ces nombres des op rations dont il a per u implicitement certaines propri t s (associativit , commutativit , l ment neutre, distributivit ). Objectifs L'introduction au cycle 4 des nombres d cimaux relatifs vise plusieurs objectifs : tendre l'ensemble des d cimaux positifs un ensemble plus vaste (celui des d cimaux positifs et n gatifs), dans lequel toutes les soustractions sont possibles.

2 Cette extension est r alis e de mani re maintenir les propri t s des op rations valables entre nombres d cimaux positifs (principe de permanence) ;. accorder le statut de nombres (en tant qu'objets math matiques sur lesquels on peut effectuer des op rations et des comparaisons) des r alit s de la vie quotidienne situ es au-dessous de z ro (temp ratures, profondeurs, dettes, etc.) ;. disposer de ces nouveaux outils pour mod liser et r soudre des probl mes de la vie courante ;. tendre la droite enti re la graduation d j connue de la demi-droite, rep rer et se rep rer sur une droite. Liens avec les domaines du socle La compr hension des nombres n gatifs en tant qu'objets math matiques sur lesquels on peut effectuer des op rations et des comparaisons, la perception de l'extension de l'ensemble des d cimaux positifs celui des d cimaux relatifs, la compr hension de l' criture des nombres n gatifs et de leur repr sentation sur la droite gradu e contribuent l'acquisition du langage math matique pour penser et communiquer (domaine 1).

3 L'utilisation des nombres relatifs pour mod liser des grandeurs physiques (temp rature, profondeur, altitude) ou sociales (dates, gains et pertes) susceptibles de prendre des valeurs en dessous de z ro contribue l' tude des syst mes naturels et techniques (domaine 4) ainsi qu'aux repr sentations du monde et de l'activit humaine (domaine 5). PROGRESSIVIT DES APPRENTISSAGES. Anticipation Quel que soit le proc d retenu pour l'introduction des nombres n gatifs, celle-ci gagne tre pr par e en amont par une r activation des propri t s des op rations sur les nombres d cimaux positifs et de la notion de diff rence, qui ont t tudi es au cycle 3. De nombreux exemples de calcul mental permettront dans un premier temps de simplifier des programmes de calcul du type ajouter puis soustraire en ajouter lorsque > puis, dans un deuxi me temps d'aborder la m me question lorsque <.

4 E De nombreux exemples de ce type sont pr sent s dans le document Les nombres relatifs en 5 , Parcours d' tude et de Recherche du groupe didactique de l'IREM d'Aix-Marseille. Un exemple d'introduction des nombres n gatifs dans un cadre math matique Une introduction des nombres n gatifs (d'abord entiers puis d cimaux non entiers) sans r f rence des contextes concrets peut se faire partir de l' quivalence de programmes de calcul. L' quivalence des programmes de calcul ajouter 3 puis soustraire 5 , ajouter 2 puis soustraire 4 , ajouter 1 puis soustraire +3 , ajouter 0 puis soustraire 2 permet d' crire : 3 5 = 2 4 = 1 3 = 0 2. On convient alors de coder par ( 2) le r sultat commun toutes ces soustractions (et beaucoup d'autres encore ). En d but d'apprentissage, l'utilisation de parenth ses englobant la fois le signe moins et la valeur absolue permet d' viter la confusion du signe moins intervenant dans le codage d'un nombre n gatif avec le signe op ratoire de la soustraction.

5 Pour bien faire comprendre le plongement de l'ensemble des d cimaux positifs dans celui des d cimaux relatifs et le fait que seuls les nombres n gatifs sont nouveaux dans la construction, on vitera les critures du type (+3) pour coder les d cimaux positifs d j connus. Cela permet de garder au signe + son seul statut op ratoire et d' viter des exercices de simplification d' criture au terme desquels les l ves ne savent plus reconna tre que (+2) + (+3), c'est tout simplement 2 + 3. Les l ves pourront ensuite tre entra n s r soudre des additions trous (reformul es en : quel nombre faut-il ajouter pour obtenir ? ) mettant en jeu d'abord des nombres entiers, puis des nombres d cimaux non entiers. Les nombres n gatifs apparaissent alors comme des outils permettant de r soudre des quations trou du type + = lorsque 0 < , ce qui revient rendre possibles des soustractions du type avec 0 < < , et tant des d cimaux.

6 Le rep rage des nombres relatifs Le lien peut ensuite tre fait avec le rep rage sur la droite gradu e. La r f rence au placement des nombres n gatifs sur la droite gradu e peut tre bas e sur un mod le concret (par exemple celui des temp ratures) ou sur l'interpr tation de la soustraction d'un d cimal positif comme un d placement vers la gauche. Ainsi le nombre ( 2,7) = 0 2,7 rep re le point situ la distance 2,7 de l'origine, sym triquement par rapport l'origine au point rep r par le nombre 2,7. Il est d fini comme tant son oppos . Le nombre positif 2,7 est d sign comme tant la valeur absolue du nombre n gatif ( 2,7). 0 2,7 = ( 2,7). 0 + 2,7 = 2,7. La d finition de l'oppos d'un nombre permet de compl ter le corpus d' galit s trous par des galit s du type 7,1 + = 0 ou ( 7,1) + = 0. Pour viter les confusions, on peut convenir, en d but d'apprentissage, de noter op (7,1) l'oppos.

7 Du nombre 7,1. Cette notation sera, un peu plus tard, remplac e d'abord par la notation ( 7,1), puis par 7,1 sans n gliger d'aborder avec les l ves les diff rentes significations que prend alors le signe moins : marqueur d'un nombre n gatif dans ( 7,1) ;. signe de soustraction dans 0 7,1 ou dans 20 27,1 ;. marqueur de l'oppos , par exemple dans l' criture ( 7,1). Le rep rage des d cimaux relatifs sur la droite gradu e est un bon point d'appui pour aborder la question de leur classement. Un travail syst matique de changement de registre (de l' criture du nombre sa repr sentation sur la droite et vice versa) permet de construire l'image mentale de l'oppos , d' viter les erreurs de classement et facilitera l'introduction ult rieure du rep rage dans le plan. Si le classement des nombres relatifs ne pose pas de difficult particuli re lorsqu'ils sont exprim s sous forme chiffr e, la difficult appara t lorsqu'ils sont d sign s sous forme litt rale, les l ves ayant du mal concevoir que puisse, sous certaines conditions, d signer un nombre positif.

8 Les op rations L'addition et la soustraction sont introduites d s le d but de cycle 4 ; il est n cessaire d'entretenir leur assimilation tout au long du cycle, tant par des exercices d'entra nement technique (calcul mental ou crit) que par la r solution de probl mes les mettant en jeu. La multiplication est abord e une fois que ces deux op rations sont bien en place, et apr s avoir r activ la distributivit de la multiplication par rapport l'addition dans le cadre des nombres positifs. Il est n cessaire que le sens et les propri t s de la multiplication soient bien stabilis s avant d'aborder la division. L'addition et la soustraction Beaucoup de situations en lien avec la vie courante peuvent illustrer l'addition de deux nombres relatifs. Celle-ci permet en effet de mod liser soit le bilan de deux variations (gains et pertes, mont es et descentes d'un ascenseur, d placements vers la droite ou vers la gauche le long de la droite gradu e), soit l'application d'une variation (augmentation, diminution) un tat (temp rature, altitude, solde d'un compte financier, score d'un joueur).

9 La vari t des contextes utilis s vitera que la pr gnance d'un mod le emp che la construction du statut de nombre . Une pratique routini re, notamment sous forme de calcul mental, d'additions entre nombres relatifs permettra l'automatisation progressive de la r gle d'addition, sans qu'il soit n cessaire de la formaliser. L' l ve pourra alors s'affranchir du recours un mod le concret ou la droite gradu e. L'introduction de la soustraction suppose que soient bien install es l'addition et la notion d'oppos , tant d fini comme gal + op( ). Il est alors possible d'interpr ter le r sultat d'une addition trou comme la diff rence de deux nombres relatifs. La simplification des calculs L' l ve dispose alors de tous les l ments permettant de justifier la simplification de calculs encha nant des additions et des soustractions sur des nombres relatifs, du type 2 + ( 5) + 4.

10 La simplification des expressions repose sur la d finition de la soustraction dans D, puisque, sur l'exemple pr c dent, 2 + ( 5) = 2 5. Dans les expressions simplifi es, les seuls signes restants sont des signes d'op rations (additions et soustractions), sauf dans le cas o le premier terme de la somme est un nombre n gatif comme dans ( 2) + 3 5. Progressivement, l' l ve d gage des m thodes efficaces pour effectuer une suite d'additions et de soustractions de nombres relatifs, notamment la neutralisation des oppos s et le regroupement des nombres de m me signe. Beaucoup de situations concr tes se pr tent ce type de calculs : moyennes de temp ratures, mouvements dans les deux sens, bilans financiers de gains et de pertes, scores de jeu. Le choix des nombres d cimaux mis en jeu et le nombre d'op rations encha ner constituent des l ments de diff renciation.