Álgebra básica - Universidad de Granada

1 Lgebra b sicaManuel Bullejos LorenzoPilar Carrasco CarrascoPedro Garc a S nchezAntonio Mart nez CegarraEugenio Miranda PalaciosAntonio Rodr guez Garz nCurso 2008-20092 ndice general1. Aritm tica El anillo ordenado de los n meros enteros .. Inducci n. Principios del m nimo y del m ximo .. Divisibilidad .. Algoritmo de la divisi n eucl dea .. M ximo com n divisor y m nimo com n m ltiplo .. Ecuaciones diof nticas .. Primos .. Congruencias .. Sistemas de ecuaciones en congruencias .. Teorema chino de los restos .. Los anillosZn.. Ejercicios .. Aritm tica entera usandoGAP.. Aritm tica entera con Mathematica..392. Anillos Leyes de composici n.

2 Estructuras algebraicas.. Ejemplos .. Reglas de c lculo .. Homomorfismos .. Subestructuras .. Anillos cocientes .. Dominios de integridad y cuerpos .. El cuerpo de fracciones .. Factorizaci n ..673. Dominios Eucl Definiciones y resultados b sicos .. Ejemplos: Anillos cuadr ticos .. Aritm tica en dominios eucl deos .. Ejercicios .. y extensiones cuadr ticas usandoGAP.. Aritm tica en extensiones cuadr ticas deZcon Mathematica..9734 NDICE GENERAL4. Definiciones y primeras propiedades .. El algoritmo de la divisi n con resto .. Factorizaci n .. Criterios de irreducibilidad .. Factorizaci n en un n mero finito de pasos.

3 Polinomios sim tricos .. La resultante .. El discriminante .. M todos de c lculo .. Ejercicios .. Polinomios usandoGAP.. Aritm tica en Anillos de Polinomios con Mathematica.. 1415. Grupos abelianos finitamente Generalidades .. Grupos c clicos .. Teorema de Lagrange .. Sumas directas .. Grupos abelianos libres .. Secuencias exactas cortas .. Matrices de cambio de base .. Matrices de homomorfismos .. Equivalencia de matrices enZ.. Teorema de estructura .. Grupos de torsi n .. Presentaciones de grupos .. Ejercicios .. Grupos abelianos usandoGAP.

4 Grupos abelianos usando Mathematica.. 1866. M dulos sobre dominios eucl El anillo de endomorfismos de un grupo abeliano .. Definiciones y ejemplos .. Resultados b sicos .. Sumas directas de m dulos .. Matrices sobre un anillo .. M dulos libres y matrices .. M dulos finitamente generados sobre un dominio eucl deo .. Equivalencia de matrices sobre un dominio eucl deo .. Estructura de m dulos sobre .. M dulos de torsi n y componentes primarias. Teorema de invarianza .. Aplicaciones a transformaciones lineales: Formas can nicas .. Ejercicios .. Formas can nicas usandoGAP.. Formas Can nicas de Matrices con Mathematica.

5 235 Cap tulo 1 Aritm tica El anillo ordenado de los n meros enterosLos n meros enteros son familiares en la aritm tica elemental. Aqu queremos expresar esta fami-liaridad en t rminos precisos. Enunciaremos una lista de propiedades que poseen los enteros y a partirde ellas sacaremos nuestras deducciones. Todas estas propiedades pueden deducirse de una lista muycorta de axiomas, pero de momento esto es conjunto de los enteros positivos (tambi n llamados n meros naturales){1,2,3,..}.y denotamos porZal conjunto de todos los enteros positivos, negativos y nulo. La letraNes la inicialde la palabran meroyZes la inicial deZahl(n mero en alem n). En matem ticas est muy extendidoel uso de ambas el conjuntoZhay definidas tres operaciones: Suma,x+y, resta o sustracci n ,x yy multiplicaci nx yoxy.

6 Con frecuencia es conveniente expresar la resta sumando el opuesto,x y=x+( y). Estasoperaciones verifican las siguientes propiedades:Ley asociativa(x+y)+z=x+(y+z),(xy)z=x(yz)Ley conmutativax+y=y+xxy=yxExistencia de neutrox+0=xx1=xExistencia de opuestox+( x)= n mero 0 se llamaneutro para la sumaporque al sumarlo a cualquier n meroxel resultado es igualax. De la misma forma el n mero 1 esneutro para la multiplicaci n. Todo enteroxtiene el opuesto x,pero salvo 1 y 1 ning n entero tiene un inverso multiplicativo. Mas adelante hallaremos inversos paratodo entero no nulo cuando veamos los n meros s de las propiedades anteriores, existe otra propiedad que relaciona la suma y el producto:Ley distributivax(y+z)=xy+ conjuntoRcon dos operacionesx+y,xyverificando las anteriores propiedades se llamaanilloconmutativo, as que el conjuntoZde todos los enteros es un anillo conmutativo.

7 Sin embargo estas leyesno son suficientes para determinar un vocamente ahora algunas consecuencias de las leyes anteriores: De la ley distributiva se sigue que paratodox Zse verificax 0=0=0 x. Por la ley asociativa, la suma de cualquier n mero de t rminoses independiente de la manera en que introduzcamos par ntesis, y por la ley conmutativa el orden de56 CAP TULO 1. ARITM TICA ENTERAlos t rminos no altera la suma. Igual ocurre con la multiplicaci n. De momento aceptamos todo esto suma de los n merosa1,..,anse puede escribira1+ +an. Normalmente se abrevia esta expresi nescribiendo el t rmino generalaiprecedido de una sigma may scula con alguna indicaci n del rangoen que se suman los enteros (excepto si esto ltimo est claro del contexto).

8 As que en lugar dea1+ +anpodemos escribir ni=1ai, n1ai, iai, aidonde en cada casoies unavariable muda. Cuandon=0 la suma escrita es vac a y, por convenci n, setoma igual a una abreviatura similar para productos repetidos usando la pi may scula en lugar de . As que en lugar escribir ni=1ai, n1ai, iai, aiPor ejemplo, podemos definir la funci n factorial comon!= n1i. Un producto vac o se toma igual a uno;as que las sumas vac as y los productos vac os son respectivamente neutros para la suma y el propiedad importante de los enteros es que el producto de dos enteros no nulos no es nuncacero:Ley de integridadPara cualesquiera enterosa,b, sia,0 yb,0 entoncesab,0. Adem s 1,0 Esto tiene una consecuencia muy til:Ley cancelativaPara cualesquieraa,b,c Zsica=cbyc,0 entoncesa= asegura que multiplicaci n por un entero no nulo es una aplicaci n inyectiva deZen s demostrarlo, supongamos quea,b, entoncesa b,0 y por la ley de integridadc(a b),0, portantoca cb=c(a b), s de las operaciones existe una relaci n de orden que escribimosx yoy x.

9 Six yperox,yescribimosx<yy tambi ny>x. Esta relaci n es unarelaci n de orden totaly est relacionadacon las operaciones deZpor las siguientes reglas:Six1 x2,y1 y2entoncesx1+y1 x2+ yyz>0 entonceszx reglas indican queZes unanillo totalmente ordenado. Usando la ordenaci n podemos describirel conjuntoNde los enteros positivos como:N={x Z|x>0}( )Es costumbre tomarNcomo conjunto de partida dado por algunos axiomas (normalmente losaxiomasde Peano) y a partir de l se tese que para todox Zse verifica quex=0 ox No x Ny que estas tres posibilidadesson mutuamente excluyentes. De hecho esto es cierto en cualquier anillo ordenado, definiendoNpor laregla , debido a que el orden es INDUCCI N.

10 PRINCIPIOS DEL M NIMO Y DEL M Inducci n. Principios del m nimo y del m ximoPara fijarZcompletamente utilizamos la siguiente condici n sobre el conjuntoNde los enterospositivos:I. Principio de inducci nseaSun subconjunto deNtal que 1 Sy quen S n+1 S. EntoncesS= principio forma la base del m todo familiar dedemostraci n por inducci n: SeaP(n) una afirmaci nacerca de un entero positivon(p. e.,P(n)= la suma de losnprimeros enteros positivos esn(n+1)/2 )Supongamos que queremos demostrarP(n) para todon. Para ello por el principio de inducci n bastademostrarP(1) y demostrar n(P(n) P(n+1)), porque esto significa que el conjuntoS={n N|P(n)}contiene a 1 y que si contiene antambi n contiene an+1.