Ejemplos Resueltos Tema 4 - Universidad de Granada

1 Ejemplos Resueltos Tema 420121. Intervalo de Confianza para la Media (con conocida)Dada una muestra de tama no n, para un nivel de confianza 1- y ladesviaci on t pica de la poblaci on , el Intervalo de Confiaza se determinamediante:(X z 2 n,X+z 2 n)Nota Importante: En la bibliograf a existente es corriente usar la notaci onz para indicar el cuantil de orden 1 , es decir, el sub ndice indica el areaque queda a la derecha del cuantil en el gr afico del modelo de en la usaremos aqu . ejemplo de intervalo de confianza para la media, con conocidaSe desea estimar con un nivel de confianza del 95 % la talla media de loshombres de 18 o m as a nos de un pa s. Suponiendo que la desviaci on t picade las tallas en la poblaci on vale 4, obtenga el intervalo de confianza conuna muestra de n=15 hombres seleccionados al azar, cuyas alturas son:167 167 168 168 168 169 171 172 173 175 175 175 177 182 195Es necesario determinar la media de la muestra,X, y los valores de loscuantiles,z 2, en la distribuci on normal.

2 En el modelo normal, el cuantil deorden lo notamos conz0,025= 1,96 y el de orden se nota conz0,975= 1,96, o bien podemos cambiar el signo al cuantil de orden ,que es lo que hacemos cuando la distribuci on es sim etrica (caso normal ycaso t de Student), z0,025= 1,96. La media se obtiene mediante:X= xiniN1La distribuci on de los datos en la muestra y la correspondiente columnade c alculo para la media se muestran en la tabla para c alculo de la Freq TallasxFreq16723341683504169116917111711 7211721731173175352517711771821182195119 5152602 Sustituyendo los datos en la expresi on del intervalo tenemos:(173,47 1,96 1,03,173,47 + 1,96 1,03)( , )Tenemos una confianza del 95 % de que la talla media, , en el pa s est ecomprendida entre y de confianza para la media a un nivel de confianzadel 80 %Lo unico que var a respecto del intervalo anteriormente calculado es elvalor de z, dado que ya hemos calculado el valor de la media y cono-cemos la desviaci on t pica de la poblaci on (4).

3 Es necesario determinar los cuantiles,z 2, en la distribuci on normal. Es-tos sonz0,1= 1,28 yz0,9= 1,28 Sustituyendo los datos en la expresi on del intervalo tenemos:(173,47 1,28 1,03,173,47 + 1,28 1,03)( , )Lo interpretamos diciendo que tenemos una confianza del 80 % de que latalla media, , en el pa s est e comprendida entre y on del tama no de muestra, n, necesario para no supe-rar una determinada cota de errorLa cota de error o error de muestreo viene dado por la expresi on siguiente:Error=z /2 nSupongamos que con los datos anteriores y con un nivel de confianza del99 % (es decir, casi con seguridad) deseamos estimar la talla media poblacio-nal, de modo que la cota de error cometida no sea mayor a medio cent de qu e tama no debe ser la muestra seleccionada de n de la expresi on anterior tenemos.

4 N=(z /2 )2 Error2 Por tanto, necesitamos determinar el cuantil de orden de la valor es El resto, lo en la expresi on anterior de n, tenemosn=(2,58 4)20,52= 424,63 Necesitamos, por tanto, un tama no de muestra de 425 hombres2. Intervalo de confianza para la media con desconocidaSupongamos que se desconoce la desviaci on t pica de las tallas en la po-blaci on del ejemplo anterior. En este caso es necesario estimar la desviaci ont pica de la poblaci on con los datos de la muestra. El intervalo de confianzaviene dado por:(X t 2s n,X+t 2s n)donde t es el correspondiente cuantil en la distribuci on t de Student conn-1 grados de libertad y s es la cuasidesviaci on t pica de la muestra:s= (xi X)2nin 1= V ar(X)nn 13 Tallas Freq TallasxFreq Tallas2xFreq1672334557781683504846721691 1692856117111712924117211722958417311732 9929175352591875177117731329182118233124 195119538025152602452118La varianza en la muestra, Var(X)= , es igual al cociente 452118 /15 menos el cuadrado de la media El valor de la cuasivarianza,s2,se obtiene multiplicando Var(X) pornn 50,52 1514= 54,12Y la cuasideviaci on t pica de la muestra,s= s2, es igual a necesario determinar los cuantiles,t 2, en la distribuci ontn 1de Stu-dent.

5 Para un nivel de confianza 1 = 0,95, los valores de los cuantiles enla distribuci ont14sont /2= 2,145 yt1 /2= 2, en la expresi on del intervalo de confianza, tenemos:(173,47 2,14 1,03,173,47 + 2,14 1,03)( , )Y decimos que tenemos una confianza del 95 % de que la talla media, ,en el pa s est e comprendida entre y Intervalo de confianza para la varianza 2El intervalo de confianza para la varianza viene dado por((n 1)s2 2 /2,(n 1)s2 21 /2)donde 2 /2y 21 /2son los cuantiles de orden 1 /2 y /2, respecti-vamente, en un modelo Chi-cuadrado con n-1 grados de de Intervalo de confianza para la varianza 2 Para construir el intervalo de confianza para la varianza de la poblaci onnecesitamos la cuasivarianza de la muestra (s2) y los cuantiles de orden /2y 1 /2 en un modelo 2n los datos de apartados anteriores, construiremos un intervalo deconfianza para la varianza de las tallas masculinas de adultos en el pa sdonde se ha extra do la muestra, a un nivel de confianza del 90 %.

6 La cuasivarianza en la muestra se obtuvo en apartados anterioress2=54,12. Por tanto, solo es necesario determinar los cuantiles en el modelo 214 Los valores de los cuantiles son 20,05= 6,58 y 20,95= 23,8. Por tanto,sustituyendo en la expresi on del intervalo(14 54,1223,8,14 54,126,58)(31,86,115,25)Tenemos una confianza del 90 % de que la varianza en la poblaci on est ecomprendida entre 31,86 y 115, Intervalo de confianza para la proporci onEl intervalo de confianza viene dado por:(p z /2 p qn,p+z /2 p qn)donde p es la probabilidad del exito y q=1-p es la probabilidad del fracasoen la de Intervalo de confianza para la propor-ci onEn una muestra de 105 comercios seleccionados al azar de una zona, seobserva que 27 de ellos han tenido p erdidas en este mes. Obtenga un intervalode confianza para la proporci on de comercios en la zona con p erdidas, a unnivel de confianza a) del 80 % y a un nivel de confianza b) del 90 %.

7 Para determinar el intervalo necesitamos conocer la proporci on en lamuestra, p, de comercios con p erdidas:p=Total exitosn=27105= 0,26q= 1 p= 0, Intervalo de Confianza al 80 %Para el intervalo de confianza a un nivel del 80 %, el cuantilz /2= 1, en la expresi on del intervalo:(0,26 1,28 0,26 0,74105,0,26 + 1,28 0,26 0,74105)El intervalo tiene una cota de error igual a 0,26 0,74105= 0,05(0,26 0,05,0,26 + 0,05)(0,21,0,31)Se tiene una confianza del 80 % de que la proporci on de comercios conp erdidas en la zona estudiada est e comprendida entre y de confianza al 90 %Para el intervalo de confianza a un nivel del 90 %, el cuantilz /2= 1, en la expresi on del intervalo:(0,26 1,64 0,26 0,74105,0,26 + 1,64 0,26 0,74105)El intervalo tiene una cota de error igual a (0,26 0,07,0,26 + 0,07)(0,19,0,33)Se tiene una confianza del 90 % de que la proporci on de comercios conp erdidas en la zona estudiada est e comprendida entre y on del tama no de muestra necesario para no superarun error determinadoError=z /2 p qnPor tanto, despejando de la expresi on anterior el valor de n obtenemos eltama no necesario.

8 En la pr actica, suele usarse, por defecto, el valor p=q= ,lo que supone mayor garant a para no superar la cota de error, al nivel deconfianza dado. Aqu lo haremos as :n=(z /2)2 p qError2=(z /2)2 0,25 Error26 Determine el tama no de muestra necesario para que la cota de error nosupere el 1 %, con una confianza del 80 %.Sustituyendo en la expresi on anterior de n, obtenemos:n=(1,28)2 0,250,012= 4096El tama no necesario de la muestra es al menos igual a 4096 comerciosde la zona en