Transcription of 1. Derivadas parciales
1 An alisis Matem atico II. Curso 2009 en Estad stica/Ing. T ec. en Inf. de Gesti on. Universidad de Ja enTEMA 3. DIFERENCIACI ON DE FUNCIONES DE VARIAS VARI-ABLES1. Derivadas parcialesPara determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una funci on devarias variables respecto a una de sus variables independientes se utiliza elproceso de derivaci on ( Derivadas parciales de una funci on de dos vari-ables).Siz=f(x, y) las primeras Derivadas parciales defcon respecto alas variablesxeyson las funciones definidas como z x= f x(x, y) =fx(x, y) := l mh 0f(x+h, y) f(x, y)h, z y= f y(x, y) =fy(x, y) := l mh 0f(x, y+h) f(x, y)h,siempre y cuando el l mite definici on indica que para calcular f xse considerayconstante derivando con respecto axy para calcular f yse consideraxconstante derivando con respecto ay. Pueden aplicarse por tanto las reglasusuales de derivaci las Derivadas parciales def(x, y) =yx2+ (x, y) =xex2yhallarfx, fyy evaluarlas en (1,ln(2)).
2 Interpretaci on geom etrica de las Derivadas par-cialesSiy=y0entoncesz=f(x, y0) representa la curva intersecci on de lasuperficiez=f(x, y) con el planoy=y0. Por tantofx(x0, y0) =pendiente de la curva intersecci on en(x0, y0, f(x0, y0)).An alogamente,f(x0, y) es la curva intersecci on de{z=f(x, y) (superficie)x=x0(plano)y entoncesfy(x0, y0) =pendiente de la curva intersecci on en(x0, y0, f(x0, y0)).Diremos que los valores f x(x0, y0), f y(x0, y0) denotan las pendientes dela superficie en las direcciones dexey, las pendientes en las direcciones dexeyde la superficiedada porf(x, y) = 1 x2y+xy3en el punto (1,2,7).Las Derivadas parciales tambi en se pueden interpretar como tasas, veloci-dades o ritmos de temperatura en un punto (x, y) de una placa de acero esT(x, y) = 500 , dondexeyse miden en metros. En el punto(2,3) hallar el ritmo de cambio de la temperatura respecto a la distanciarecorrida en las direcciones de los las Derivadas parciales def(x, y, z, w) =xy+yz+ Derivadas parciales de orden superiorComo sucede con las Derivadas ordinarias es posible hallar las segundas, Derivadas parciales de una funci on de varias variables, siempre quetales Derivadas ejemplo la funci onz=f(x, y) tiene las siguientes Derivadas parcialesde segundo orden:fxx= 2f x2= x( f x)(Derivar dos veces respecto ax)fxy= 2f y x= y( f x)(Derivar respecto ax, luego respecto ay)fyx= 2f x y= x( f y)(Derivar respecto ay, luego respecto ax)2fyy= 2f y2= y( f y)(Derivar dos veces respecto ay) las Derivadas parciales de segundo orden def(x, y) =3x2y+xy3 2x.}
3 Determinar el valor defx,y(1,2). (Igualdad de las Derivadas parciales mixtas).Sif(x, y)es tal quefxyyfyxexisten y son continuas en un disco abiertoDentoncesfxy(x, y) =fyx(x, y) (x, y) las Derivadas parciales de segundo orden def(x, y) =xey+ sen(xy). Comprobar que las Derivadas parciales mixtas Diferenciaci on de funciones de dos vari-ablesPara una funci on de una variablef(x) se define la derivada comof (a) := l mh 0f(a+h) f(a) quiere decir que parahpeque nof (a) f(a+h) f(a)h f(a+h) f(a) +f (a)hy por tanto la recta tangente es una buena aproximaci on de la funci onfcerca del (h) =f(a+h) f(a) f (a)hse cumple quef(a+h) f(a) =f (a)h+ (h)dondel mh 0| (h)||h|= ahora quef(x, y) es una funci on de 2 vari-ables. De forma an aloga a lo que hemos visto para una dimensi on diremosquefes diferenciable en el punto (a, b) sif(a+h1, b+h2) f(a, b) = f x(a, b)h1+ f y(a, b)h2+ (h1, h2)dondel m(h1,h2) (0,0)| (h1, h2)| (h1, h2) = 0.
4 (Recuerda que (h1, h2) = h21+h22es la longitud del vector (h1, h2)).3 Definici (x, y) es diferenciable en el punto (a, b) vamos a llamardiferencial defen(a, b), y se denota comoDf(a, b), a la funci on de dosvariablesDf(a, b)(h1, h2) = f x(a, b)h1+ f y(a, b) una variable los conceptos dederivabilidad (=existen-cia de la derivada )y dediferenciabilidad (=tener recta tangente) embargo en dos variables la existencia de las dos Derivadas parciales f x, f yno garantizan que la funci on sea diferenciable (es decir, no garantiza quetenga plano tangente). que la funci onf(x, y) ={x2yx2+y2,(x, y)6= (0,0),0,(x, y) = (0,0),tiene Derivadas parciales en (0,0) pero no es diferenciable en dicho (Condici on suficiente de diferenciabilidad).Sif(x, y)es una funci on continua de dos variables y las Derivadas parciales f xy f yexisten y son continuas en una regi on abiertaDentoncesfes diferenciableen todo punto(x, y) ocurre con una funci on de una variable, si una funci on de dos om as variables es diferenciable en un punto tambi en es continua en ese (Diferenciable implica continua).}
5 Sif(x, y)es difer-enciable en(a, b)entonces tambi en es continua en(a, b). que la funci onf(x, y) ={ 3xyx2+y2,(x, y)6= (0,0),0,(x, y) = (0,0),tiene Derivadas parciales en (0,0) pero no es continua en dicho punto. Esdiferenciable en (0,0)?Resumimos a continuaci on la relaci on que existe entre la continuidad, laexistencia de las Derivadas parciales y la parc. continuas Diferenciable Existen las deriv. parc. La diferencial como aproximaci onLlamandox=a+h1,y=b+h2sif(x, y) es diferenciable en (a, b)entoncesf(x, y) f(a, b) + f x(a, b)(x a) + f y(a, b)(y b),para valores de (x, y) cercanos al punto (a, b). (La f ormula anterior es laecuaci on del plano tangente a la gr afica defen el punto (a, b, f(a, b))). la ecuaci on del plano tangente a la gr afica dez=2 x2 y2en el punto (1,1).Llamemos ahora x=h1=x aal incremento enx, y=h2=y bal incremento eny, z=f(a+ x, b+ y) f(a, b) al incremento enz.}
6 Sif(x, y) es diferenciable en (a, b) entonces z=f(a+ x, b+ y) f(a, b) f x(a, b) x+ f y(a, b) y=dz,y por tanto la diferencialdzser a una buena aproximaci on del incremento zpara valores peque nos de los incrementos en las variables independientes x, (Uso de la diferencial como aproximaci on).Utilizarla diferencial para aproximar el cambio enz= 4 x2 y2cuando (x, y)se desplaza del punto (1,1) al punto ( , ). Comparar la aproximaci oncon el cambio exacto (An alisis de errores).El error producido al medir cadauna de las dimensiones de una caja rectangular es mm. Las dimensionessonx= 50 cm.,y= 20 cm.,z= 15 cm. Estimar el error absoluto y relativoque se comete en el c alculo del Regla de la cadena para funciones de variasvariablesEstudiaremos dos casos: cuando solo hay una variable independiente ycuando hay Regla de la cadena: una variable (x, y)es diferenciable yx=g(t)ey=h(t)sonderivables entoncesdwdt= w xdxdt+ w y2,x= sen(t),y= et.
7 Calculardwdt|t=0de lasdos formas y derivando como una funci on de una la regla de la objetos recorren trayectorias el pticas dadas por las ecua-ciones param etricasx1= 4 cos(t), y1= 2 sen(t) (Objeto 1),x2= 2 sen(2t), y2= 3 cos(2t) (Objeto 2). A qu e velocidad cambia la distancia entre los dos objetos cuandot= ? Regla de la cadena: dos variables (x, y),x=g(s, t)ey=h(s, t)son diferenciablesentonces w s= w x x s+ w y y s, w t= w x x t+ w y y w sy w tparaw= 2xy,x=s2+t2,y=s/tde lasdos formas y calculando las Derivadas la regla de la Derivadas direccionales y gradientesHemos visto que para una superficiez=f(x, y) la pendiente en la di-recci on dexest a dada por f xy la pendiente en la direcci on deypor f vamos a determinar como calcular la pendiente de una superficie enun punto a lo largo de cualquier direcci (x, y) una funci on de dos variables yv= (v1, v2) un vector deR2.
8 Las ecuaciones param etricas de la recta que pasa por el punto (a, b) ytiene como vector director avson{x=a+tv1,y=b+ ( derivada direccional).La derivada direccional defen el punto (a, b) y en la direcci on dev= (v1, v2) se define comoDvf(a, b) := l mt 0+f(a+tv1, b+tv2) f(a, b)t,siempre que este l mite que especificar siempre una direcci on medianteun vector unitariov= (v1, v2), es decir de longitud v = v21+v22= (v1, v2) es cualquier vector deR2entoncesv v =(v1 v ,v2 v ),es un vector unitario con la misma direcci on y sentido forma de determinar un vector unitario es considerarv= (cos( ),sen( )),siendo el angulo que forma la direcci on elegida con la (C alculo de la derivada direccional).Sif(x, y)esuna funci on diferenciable en el punto(a, b) int(D(f))entonces la derivadadireccional en el punto(a, b)seg un la direcci on del vectorv= (v1, v2)esDvf(a, b) = f x(a, b) v1+ f y(a, b) la derivada direccional def(x, y) =x2sen(2y) en elpunto (1, /2) en la direcci on que marcav= (3, 4).}
9 7 Observaci diferenciable entonces f x(a, b) =D(1,0)f(a, b),es la derivada direccional en la direcci on del semiejexpositivo y f y(a, b) =D(0,1)f(a, b),es la derivada direccional en la direcci on del El gradiente de una funci on de dos variablesDefinici (Gradiente).Siz=f(x, y) entonces el gradiente def, f(x, y), es el vector f(x, y) =( f x(x, y), f y(x, y)) R2.(Nota: el gradiente es un vector en el plano y no un n umero). el gradiente def(x, y) =x2y+sen(x+y) en el punto(0, /2).Observaci diferenciable en (a, b) entonces la derivada direc-cional defen (a, b) en la direcci on del vectorv= (v1, v2) puede escribirsecomoDvf(a, b) = f(a, b) v= f x(a, b)v1+ f y(a, b)v2 P (Propiedades del gradiente).Seafdiferenciable en(a, b). f(a, b) = (0,0)entoncesDvf(a, b) = 0para toda direcci direcci on de m aximo incremento defest a dado por f(a, b)y elvalor m aximo deDvf(a, b)es f(a, b).
10 Direcci on de m nimo incremento defes f(a, b)y el valor m axi-mo deDvf(a, b)es f(a, b) . temperatura en la superficie de una placa met alica esT(x, y) = 20 4x2 y2conxeymedidas en cm. En qu e direcci on a partirde (2, 3) aumenta m as r apido la temperatura? Cu al es la tasa o ritmo decrecimiento? (El gradiente es ortogonal a las curvas de niv-el).Sifes diferenciable en(a, b)y f(a, b)6= (0,0)entonces f(a, b)esortogonal a la curva de nivel que pasa por(a, b).5. Extremos de funciones de dos variablesDefinici (f:D R2 R). unm aximo absolutoen(a, b) sif(x, y) f(a, b) (x, y) unm aximo relativoen (a, b) si exister >0 tal quef(x, y) f(a, b) (x, y) B((a, b), r). unm nimo absolutoen (a, b) sif(x, y) f(a, b) (x, y) unm nimo relativoen (a, b) si exister >0 tal quef(x, y) f(a, b) (x, y) B((a, b), r).Hemos visto en el Tema 1 que si la regi onDes compacta (cerrada yacotada) yf(x, y)es continuaentoncesfalcanza siempre un valor m aximoy m nimo absolutos en la regi (Condici on necesaria para la existencia de extremos).
