Calculs dans le triangle rectangle - Authentification

1 117 Vous connaissez quelques propri t s g om -triques des ce chapitre, nous nous int resserons plussp cialement au triangle allez consolider vos connaissances desclasses ant rieures en utilisant le th or me dePythagore et sa r ciproqueou les rapportstrigonom triques d un angle aigu: cosinus,sinus, tangente. Pour cela, il vous faudra savoirreconna tre dans un triangle rectangle : l hypot nuse, le c t adjacent un angleaigu,le c t oppos un angle s du chapitreDe nombreuses situations de la vie professionnelle n cessitentle calcul de longueurs ou d par exemple : pour une charpente, le calcul de la longueur des chevrons ou de l angle d inclinaison de la toiture ; pour une machine commande num rique, le calcul des donn es fournir de mani re obtenir le d placementd sir de l outil.

2 Pour l usinage d une pi ce, le calcul de l angle d attaquede l outil. Ce chapitre va vous fournir les moyens math matiques de r soudrecertains de ces probl dans le triangle rectangle1010 Comment utiliser le th or me de Pythagore ?La figure ci-contre repr sente sch matique-ment une partie de charpente (cotes enm tre).Comment calculer la longueur du chevronPM ?Premi re partieConstruire un triangle ABC rectangleen A tel queAB = 8 cm, AC = 6 rifier l aide du double d cim tre queBC = 10 BC2, puis AB2+ AC2. Comparer les r sultats galit obtenue ne vous rappelle-t-elle pas un th or me connu ?

3 Deuxi me partieOn se propose de calculer la longueur du chevron MP (figure ci-dessus).On sait que le triangle MNP est rectangle en est l hypot nuse du triangle MNP ? crire la relation de rempla ant les longueurs connues par leurs valeurs, calculer utilisant la touche de la calculatrice (voir page 201), calculer MP(valeurarrondie au cm).Comment utiliser la r ciproque du th or me de Pythagore ?Pour construire des murs perpendiculaires,les ma ons gyptiens utilisaient une corde 13 n uds : 1 n ud chaque extr mit et11 n uds gale distance l un de l cette corde, le ma on r alise untriangle dont les c t s ont pour longueur 3 ; 4 et 5, en choisissant comme unit de longueur la distance entre deux n murs ainsi construits sont-ils l querre ?

4 M LA D 146?MNPA ctivit Calculs dans le triangle rectangleSolutions pages suivantesConstruire un triangle ABC tel queAB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm. l aide d un rapporteur, mesurer l angle .Comparer BC2et AB2+ utiliser les relations trigonom triques dans le triangle rectangle ?Un alpiniste doit, pour atteindre le sommet, gravir une derni re face plane recou-verte de glace. Son altim tre lui indique que, s il parcourt 100 m, il gagne en altitu-de 70 m. Cette situation est illustr e par la figure de droite. Quelle est la mesure de l angle d inclinaison de la face ?

5 L altitude du sommet est de 8 000 m ; l altim tre indique 7 875 m. Quelle distancereste-t-il parcourir l alpiniste ?L tude suivante va donner les r ponses ces le tableau ci-contre, on note dla distanceparcourue par l alpiniste et d le gain en que ce tableau est un tableau de proportionnalit , le reproduire et le compl est la valeur commune des rapports ?La valeur commune des rapports est repr sent e dans le triangle ABC rectangleen A par le rapport ; elle d pend de l angle . On l appelle sinus de l angle et on crit . En utilisant la calculatrice (voir page 201), calculer la valeurarrondie au degr de la mesure de l angle.

6 Quelle distance reste-t-il parcourir l alpiniste ?On calculera d abord combien l alpiniste doit gagner en sin C=ABBCCC ABBC d d d dC (en m)d (en m)20faceverticale100 mCB70 mhorizontaleA?SOLUTIONSA ctivit utiliser le th or me de Pythagore ?Premi re partieOn construit un angle droit et, sur les demi-droites [Ax) et [Ay), on place les points B et C tels que AB = 8 cm et AC = 6 figure est ici faite l chelle .BC2= + AC2= 82+ 62= 64 + 36AB2+ AC2= BC2= AB2+ galit obtenue nous rappelle le th or me de Pythagore :Deuxi me partieL hypot nused un triangle rectangleest le c t oppos l angle droit ; l hy-poth nuse du triangle MNP est NP2+ 42+ 62, soit MP2= 16 + 36, d o MP2= 52.]]

7 La calculatrice :52 52 On lit 7, d o MP"7,21(valeur arrondie au cm).Comment utiliser la r ciproque du th or me de Pythagore ?On constate, aux incertitudes de mesure pr s, que = 90 .BC2= 52= + AC2= 32+ 42= 9 + 16, soit AB2+ AC2= 25. BACL utilisation du th or me de Pythagore va nous permettre, dans un triangle rectangle dont seuls deux c t s sont connus, de calculer le c t )M 2ndsi un triangle ABC est rectangle en A, alors BC2= AB2+ xAy120yxC6 cmA8 S121DE D COUVERTEA insi :BC2= AB2+ triangle ABC est tel que BC2= AB2+ AC2et on constate qu il est rectangle en g n ralement, Ce r sultat nous permet d affirmer que les murs construits en utilisant la corde 13 n uds sont bien utiliser les relations trigonom triquesdans le triangle rectangle ?

8 Le tableau est un tableau de proportionnalit de coefficient soit 0, valeur commune des rapports est 0, utilise la calculatrice en mode degr (voir p 201). ; lit : 44,42 .., donc .L alpiniste doit gagner en altitude 8 000 7 875, c est- -dire 125 m. On peut utiliser le tableau de proportionnalit o xrepr sente la distanceinconnue d o 125 = 0,7 x; ; x" alpiniste devra parcourir 179 m tres. On peut aussi repr senter la situation par le triangle ABC ci-contre.

9 Dans ce triangle :, soit;d o BC = ; BC " un triangle rectangle , les relations trigonom triquespermettent de cal-culer certains l ments (angles ou c t s). 1250,7 0,7 =125BC sin C=ABBC x=1250,7 125x=70100= 0,7dd 10070x125La calculatrice permet d obtenir la mesure d un angle aigu connaissant le cosinus,le sinus ou la tangente de cet angle. C;44 EXEAsnSECONDEENTER=)SIN-12nd d d503522015410070d (en m)d (en m)2014 0,7 70100si un triangle ABC est tel que BC2= AB2+ AC2, alors il est rectangle en nonc est appel r ciproque du th or me de Calculs dans le triangle 3125 mAC?

10 B122L ESSENTIELL ESSENTIEL Propri t s l mentaires Th or me de Pythagore R ciproque du th or me de Pythagore Relations trigonom triques dans le triangle rectangleDans le triangle ABC rectangle en A, le cosinus de l angle est : le sinus de l angle est : la tangente de l angle est :Le cosinus, le sinus, la tangente de l angle sont les rapports trigonom -triques de cet tan C=mesure du c t oppos mesure du c t adjacent=ABACC sin C=mesure du c t oppos mesure de l hypot nuse=ABBCC cos C=mesure du c t adjacentmesure de l hypot nuse=ACBCCSi dans un triangle ABC, BC2= AB2+ AC2, alorsle triangle est rectangle en le triangle ABC est rectangle en A, alors BC2= AB2+ nuseCBAC t adjacentHypot nuseBC t oppos ACSi le triangle ABC est rectangle en A, alors : et.