EJERCICIOS RESUELTOS DE LOGARITMOS - unizar.es

1 CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES Unidad did ctica 1. C lculo operacional: fracciones, potencias, ra ces y LOGARITMOS Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 1 EJERCICIOS RESUELTOS DE LOGARITMOS 1. Calcular el valor de x, aplicando la definici n de logaritmo: a) x = 4log 64 b) x = 31log27 c) x = 3log 81 d) x = 2log 2 2 e) log 1253x= f) x2log (4 )= 3 Soluci n El logaritmo de un n mero es el n mero al que hay que elevar la base para obtenerlo, es decir, loga b = c ac = b a) x = 4log 64 4x = 64.

2 Como 64 = 43, se tiene 4x = 43 y por tanto x = 3. b) x = 31log27 3x = 127. Como 127 = 3-3, se tiene 3x = 3-3 y por tanto x = -3. c) x = 3log 81 3x = 81. Como 81 = 34, se tiene 3x = 34 y por tanto x = 4. d) x = 2log 2 2 222x=, Como 1/23/222 , se tiene 3/222x= y por tanto x = 32. e) log 1253x= 3125x = 31125x= 31125x= x = 15 f) x2log (4 )= 3 324x= x = 2 2. Determinar la parte entera del n mero x = 2log 11. Soluci n Para determinar la parte entera se buscan las potencias de 2 entre las que se encuentra el n mero 11, estas son 32 y 42, es decir, se verifica 32< 11 < 42.

3 Tomando LOGARITMOS en base 2 se mantiene la desigualdad, ya que la base es mayor que 1, as 2log32< 2log11 < 2log42, es decir, 3 < 2log11 < 4, de donde se deduce que la parte entera de 2log11 es igual a 3. 3. Sabiendo que 10log4 0 60206 calcular una aproximaci n de los siguientes valores: a) 10log2 b) 10log14 c) 10log0 2 d) 10log4000 Soluci n Se aplican propiedades de los LOGARITMOS para escribir los valores en funci n de 10log4. a) 10log2 = 10log4 = 1/210log 4 = 1210log 4 12 0 60206 = 0 30103 b) 10log14 = 110log 4 = -10log 4 -0 60206 CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES Unidad did ctica 1.

4 C lculo operacional: fracciones, potencias, ra ces y LOGARITMOS Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 2 c) 10log0 2 = 10log210 = 10log2 - 10log10 0 30103 - 1 = -0 69897 d) 10log4000 = 10log( ) = 10log4 + 10log1000 = 10log4 + 103log 10 0 60206 + 3 = = 3 60206 4. Conocidos lna=0 6 y lnb=2 4 calcular: a) lna b) lnb4 c) lnab d) lnabe32 e) ln332ab Soluci n a) lna = ln1/2a= 12lna = 6 = 0 3 b) lnb4 = ln1/4b= 14lnb = 4 = 0 6 c) lnab= ln1/2()ab= 12ln(ab) = 12(lna + lnb) = 12(0 6 + 2 4) = 123 = 1 5 d) lnabe32 = ln1/32abe = 13ln2abe = 13 (ln(ab)- ln2e) = 13 (lna + lnb - 2) = 13 (0 6+ 2 4 - 2) = 13 e) ln332ab = ln3a - ln32b = ln3/2a - ln2/3b = 32 lna - 23 lnb = 32 0 6 - 232 4 = -2 5 5.

5 Sabiendo que 10log3 0 4771 resolver las siguientes ecuaciones: a) x41030+= b) 10log0 03 = x -1 Soluci n a) Para despejar x de la ecuaci n x41030+=, se toman LOGARITMOS decimales en ambos miembros de la ecuaci n, quedando x + 4 = 10log30, de donde se tiene: x = -4 + 10log30 = -4 + 10log( ) = -4 + 10log3 + 10log10 -4 + 0 4771 + 1 = -2 5229 b) Despejando x de la ecuaci n 10log0 03 = x - 1 y realizando operaciones, se obtiene: x = 1 + 10log0 03 = 1 + 10log3100 = 1 + 10log3 - 10log100 = = 1 + 0 4771 - 10log102 1 4771 - 2 = -0 5229 6. Resolver las siguientes ecuaciones: a) ex+2 = e b) 10log16 - 210logx = 10log100 Soluci n a) La ecuaci n ex+2 = e se puede escribir ex+2 = e1/2.

6 Para despejar x se toman LOGARITMOS neperianos en ambos miembros, quedando x + 2 = 12, de donde x = -2 + 12 = 32 CURSO B SICO DE MATEM TICAS PARA ESTUDIANTES DE ECON MICAS Y EMPRESARIALES Unidad did ctica 1. C lculo operacional: fracciones, potencias, ra ces y LOGARITMOS Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguill n, Trinidad Zabal Proyecto de innovaci n ARAG N TRES 3 b) Aplicando propiedades de los LOGARITMOS en el primer miembro de 10log16 - 210logx = 10log100 se obtiene: 10log16 - 210logx = 10log16 - 10logx2 = 10log216x Por tanto, la ecuaci n queda 10log216x = 10log100, de donde 216x = 100, es decir, 216100x=, cuyas soluciones son x = 25.

7 El valor x = 25 no es soluci n de la ecuaci n inicial, ya que no existe el logaritmo de un n mero negativo, por tanto, la nica soluci n es x = 25.