EJERCICIOS RESUELTOS VARIABLE ... - fuenterrebollo.com

1 Gesti n Aeron utica: Estad stica Te ricaFacultad Ciencias Econ micas y EmpresarialesDepartamento de Econom a AplicadaProfesor: Santiago de la Fuente Fern ndez EJERCICIOS RESUELTOS VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONAL1 Gesti n Aeron utica: Estad stica Te ricaFacultad Ciencias Econ micas y EmpresarialesDepartamento de Econom a AplicadaProfesor: Santiago de la Fuente Fern ndezEJERCICIOS RESUELTOS VARIABLE ALEATORIA UNIDIMENSIONALE jercicio Un experimento consiste en lanzar tres veces una moneda. Sea la variablealeatoria: X ="n mero de caras que se obtienen". Se pide:a) Distribuci n de probabilidad de Xb) Funci n de distribuci n de X. Representaci n gr ficac) Media, varianza y desviaci n t pica de Xd) probabilidad de que salgan a lo sumo dos carase) probabilidad de que salgan al menos dos carasSoluci n:a) Espacio muestral: (c,c,c),(c,c,e),(c,e,c),(e,c,c),(c,e,e), (e,c,e),(e,e,c),(e,e,e) X(c, c, c) 3 P( X 3) 1 8 X(c, c, e)X(c, e,c)X(e, c, c) 2 P( X2) 3 8 X(c, e, e)X(e, c, e)X(e, e, c ) 1 P( X 1) 3 8 X(e, e, e) 0 P( X 0) 1 8 La distribuci n de probabilidad ser :iXx iiP( Xx ) p 180002x1 38381383x2 3868412 84x3 1838998112 8 1,5 24 8 3 b) La funci n de distribuci n.

2 IiiixxxxF( x ) P( Xx )P( Xx )p x0 F( x ) P( Xx ) P( ) 0 0x1 F( x ) P( Xx) P( X0) 1 8 1x 2 F( x) P( Xx) P( X 2) P( X 0) P( X 1) 1 8 3 84 8 2x3 F(x) P( Xx) P( X 3) P( X 0) P( X 1) P( X2) 1 8 3 8 3 8 7 8 x3 F( x) P( X 3) P( X 0) P( X 1) P( X2) P( X 3) 1 x3 F( x ) P( Xx) P( ) 1 2iXx 0123iP( Xx ) 18383818F( x) P( Xx) 18487810x018 0 x 1F( x )48 1 x 278 2 x 31x3 c) Media, varianza y desviaci n t pica de XMedia: 441 Xiiiii1i112E( X)x .P( Xx )x . p1, 58 i442222iiii1i124E( X )x .P( Xx )x . p38 Varianza: 42222xXix (X x) 222x2131,5 0,75 Desviaci n t pica: x0, 750, 87 d) probabilidad de que salgan a lo sumo dos caras133 7P( X 2) P( X 0) P( X 1) P( X2)888 8 o bien 7P( X 2) F(2)8 e) probabilidad de que salgan al menos dos caras31 4 1P( X 2) P( X2) P( X 3)88 8 2 o bien 41P( X 2) F(1)82 3 Ejercicio La VARIABLE aleatoria: X ="n mero de hijos por familia de una ciudad" tienela siguiente distribuci n de probabilidad :X 0123456iP( Xx ) 0,470,30,10,060,040,020,01Se pide:a) Media o esperanza matem tica.

3 Significadob) Varianza y desviaci n t picac) Si el Ayuntamiento de la ciudad paga 2000 euros por hijo e Y2000. X , cu l es ladistribuci n de probabilidad ?d) Media, varianza y desviaci n t pica de YSoluci n:a) iXx iiP( Xx ) p 0,470002x1 0,30,310,33x2 0,10,240,44x3 0,060,1890,545x4 0,040,16160,646x5 0,020,10250,57x6 0,010,06360,36112,74 Media: 771 Xiiiii1i1E( X)x .P( Xx )x . p1 Si se toma al azar una familia de la ciudad, el n mero de hijos que se espera que tengapor t rmino medio es ) Varianza y desviaci n t picaVarianza: 72222xXix (X x) i772222iiii1i1E( X )x .P( Xx )x . p2, 74 22 2x212, 74 11, 74 Desviaci n t pica: x1, 7 41, 3 2 c) Distribuci n de probabilidad de la VARIABLE Y2000.

4 X 4jYy jjP( Yy ) p 1y0 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,011d) Media, varianza y desviaci n t pica de YY2000XE(2000. X) (X) 2222Y2000 XVar(2000. X) 2000 . Var(X) 2000 . 1,74 ,18 Ejercicio Completar la ley de probabilidad , conociendo que la esperanza matem ticaes 1,8X0123iiP( Xx ) p 0,2a b0,3 Soluci n: 4ii1p 0,2ab0,3 1ab 0,5 4iii1x . pa 2b 0,9 1,8a 2b 0,9 Resolviendo el sistema: a b0, 5b0, 4a2b 0,9a 0,1 5 Ejercicio Al lanzar cuatro monedas se considera el n mero de escudos obtenidos. Dela VARIABLE aleatoria X as obtenida, se pide:a) Ley de probabilidad . Representaci n gr ficab) Funci n de distribuci n. Representaci n gr ficac) Esperanza matem tica y varianzad) Mediana y moda de la distribuci ne) probabilidad de obtener m s de uno y menos de tres escudosSoluci n.

5 A) Sea X ='n mero de escudos en la tirada de cuatro monedas'(c,c,c,c),(c,c,c,e),(c,c,e,c),(c ,c,e,e),(c,e,c,c),(c,e,c,e),(e,c,c,c),(e ,c,c,e),(e,e,e,e),(e,e,e,c),(e,e,c,e),(e ,e,c,c),(e,c,e,e),(e,c,e,c),(c,e,e,e),(c ,e,e,c) X(c, c, c, c) 0 P( X 0) 1 16 X(c, c, c, e)X(c, c, e, c)X(c, e, c, c)X(e, c, c, c) 1 P( X 1)4 16 X(c, c, e, e)X(c, e,c, e)X(e, c, e, c)X(e, e, c, c )X(e, c, e, c )X(c, e, c, e)2 P( X2) 6 16 X(e, e, e, c )X(e, e, c, e)X(e, c, e, e)X(c, e, e, e) 3 P( X 3) 4 16 X(e, e, e, e)4 P( X4) 1 16 La ley de probabilidad o funci n de cuant a:iXx 01234iP( Xx ) 116416616416116b) Funci n de distribuci n:iXx 01234iP( Xx ) 116416616416116F( x) P( Xx) 11651611 1615 1610x01160 x 1516 1 x 2F( x )11 16 2 x 315 16 3 x41x4 6 Ley de ProbabilidadFunci n de distribuci nc) C lculo de la esperanza matem tica y varianzaiXx 01234iP( Xx ) (X x) 041612 1612 (X x) 2 (X x) 041624 1636 1616 (X x) 5 Media: 51 Xiii1E( X)x.

6 P( Xx ) 2 5222iii1E( X )x .P( Xx ) 5 Varianza: 222X21 Var(X)5 21 d) Observando la ley de probabilidad la moda dM2 Observando la funci n de distribuci n la mediana eM2 por ser F( x2) 11 16 elprimer valor que iguala o deja por debajo a 0,5e) 6P(1 X 3) P( X2)0, 37516 o bien 1156P(1 X 3) F(2) F(1)16 1616 7 Ejercicio Calcular la media, varianza y coeficiente de variaci n de la VARIABLE aleatoriaque tiene como funci n de distribuci n: 0x20, 22x4F( x )0, 55 4x60, 85 6x81x8 Soluci n:La ley de probabilidad o funci n de cuant a:iXx 2468iP( Xx ) 0,20,350,300,15 Advi rtase que la funci n de distribuci n F(x) es una funci n acumulativa, por tanto:P( X2) F(2) F(0) 0, 2 P( X4) F(4) F(2) 0, 55 0, 2 0, 35 P(X 6) F(6) F(4) 0,85 0,55 0,30 P( X8) F(8) F(6) 1 0, 850,15 C lculo de la esperanza matem tica y varianzaiXx 2468iP( Xx ) 0,20,350,300, (X x) 0,41,41,81, (X x) 4,8 (X x) 0, 85,610,89, (X x) 26,8 Media: 41 Xiii1E( X)x.

7 P( Xx ) 4, 8 4222iii1E( X )x .P( Xx ) 26, 8 Varianza: 222X21 Var(X)26,8 4,83,76 Desviaci n t pica: x3, 761, 94 Coeficiente variaci n: xx1, 9 4CV0, 404, 8 8 Ejercicio La VARIABLE discreta X tiene como distribuci n de probabilidadX 1234iP( Xx ) 0,300,250,100,35Se realiza un cambio de origen hacia la izquierda de dos unidades y un cambio de escalade 3 pide:a) Media y varianza de la Xb) Media, varianza y coeficiente de variaci n de la VARIABLE transformada por el cambiode origenc) Media, varianza y coeficiente de variaci n de la VARIABLE transformada por el cambiode escalad) Media, varianza y coeficiente de variaci n de la VARIABLE transformada por el cambiode origen y escalaSoluci n:a) iXx iiP( Xx ) p 0,300,3010,302x2 0,250,5041,003x3 0,100,3090,904x4 0,351,40165,6012,57,8 Media: 441 Xiiiii1i1E( X)x.

8 P( Xx )x . p2, 5 i442222iiii1i1E( X )x .P( Xx )x . p7, 8 Varianza: 222x217, 8 2, 51, 55 Desviaci n t pica: X1, 5 51, 2 4 5 Coeficiente de variaci n: XXX1, 2 4 5CV0, 4982, 5 b) Sea Y la VARIABLE transformada, al realizar un cambio de origen hacia la izquierda dedos unidades hay que restar 2, quedando: YX 0 'X ( 2) X 2 .Media: YYE( Y) E X 2E( X 2) E( X) 2E( Y) 2, 5 24, 5 9 Varianza: 2222 YXXYVar X 2 Var(X) Var(2)01,55 Desviaci n t pica: Y1, 5 51, 2 4 5 Coeficiente de variaci n: YXYxYX1, 2 4 5CV0, 28 CV24,5 En consecuencia, el cambio de origen afecta a la media y, en consecuencia, alcoeficiente de variaci ) Al realizar un cambio de escala de 3 unidades, la VARIABLE transformada es XY3 Media: YYXX11 2,5E(Y) E.

9 E( X).3333 Varianza: 222 YXYX1111,55 Var. Var(X)..1,5539999 Desviaci n t pica: YX1, 5 ,55 .933 Coeficiente de variaci n: , El cambio de escala afecta a la media y a la desviaci n t pica de la misma forma, enconsecuencia deja invariante al coeficiente de variaci que se observan en la tabla, donde XY3 jYy jjP( Yy ) p 0,300,1190, 3 92x23 0,250, 5 349193x1 0,100,110,14x43 0,351, 4 316 95, 6 912, 5 37, 8 9 Media: 441 YjjjjXj1j12, 51E( Y)y .P( Yy )y . 4422222jjjjj1j17, 81E( Y )y .P( Yy )y . p. E( Y )99 Varianza: 2222Y21X7,82,511, 99 10 Desviaci n t pica: YX1, 5 ,55 .933 Coeficiente de variaci n: , d) Al realizar simult neamente un cambio de origen de 2 unidades a la izquierda y uncambio de escala de 3 unidades, la VARIABLE transformada es X2Y3 Media: YX2 112E( Y) E.

10 E( X 2). E( X)3333 con lo que, Y12124,5E( Y). E( X). 2, 51, 533333 Varianza: 22 YXX2 111 Var(Y) Var. Var(X 2). Var(X).3999 Desviaci n t pica: YX1, 5 ,55 .933 Coeficiente de variaci n: , 2 4 53CV0, 28 CV1224, El cambio de origen y de escala afecta a la media y desviaci n t pica de distinta forma,en consecuencia tambi n queda afectado el coeficiente de variaci que se observan en la tabla, donde X2Y3 jYy jjP( Yy ) p 0,300,3010,302x43 0,251316 9493x53 0,100, 5 325 92, 5 94x2 0,350,7041,414, 5 321,8 9 Media: 441 Yjjjjj1j14, 5E( Y)y .P( Yy )y . p1, 53 442222jjjjj1j121,8E(Y )y .P(Yy )y.