Exo7 - Cours de mathématiques

1 quations diff rentielles Vid o partie 1. D finition Vid o partie 2. quation diff rentielle lin aire du premier ordre Vid o partie 3. quation diff rentielle lin aire du second ordre coefficients constants Vid o partie 4. Probl mes conduisant des quations diff rentielles Fiche d'exercices quations diff rentielles Lorsqu'un corps tombe en chute libre sans frottement, il n'est soumis qu' son poids P ~ . Par le principe fondamental ~. de la m canique : P = m~ a. Tous les vecteurs sont verticaux donc mg = ma, o g est la constante de gravitation, a l'acc l ration verticale et m la masse. On obtient a = g. L'acc l ration tant la d riv e de la vitesse par rapport au temps, on obtient : dv(t). =g (1). dt Il est facile d'en d duire la vitesse par int gration : v(t) = g t (en supposant que la vitesse initiale est nulle), c'est- -dire que la vitesse augmente de fa on lin aire au Cours du temps.

2 Puisque la vitesse est la d riv e de la position, on a dx(t). v(t) = dt , donc par une nouvelle int gration on obtient x(t) = 12 g t 2 (en supposant que la position initiale est nulle). 0. F~. ~. P 0. ~. P. x x Le cas d'un parachutiste est plus compliqu . Le mod le pr c dent n'est pas applicable car il ne tient pas compte des frottements. Le parachute fait subir une force de frottement oppos e sa vitesse. On suppose que le frottement est proportionnel la vitesse : F = f mv ( f est le coefficient de frottement). Ainsi le principe fondamental de la m canique devient mg f mv = ma, ce qui conduit la relation : dv(t). = g f v(t) (2). dt C'est une relation entre la vitesse v et sa d riv e : il s'agit d'une quation diff rentielle . Il n'est pas vident de trouver quelle est la fonction v qui convient.

3 Le but de ce chapitre est d'apprendre comment d terminer v(t), ce qui nous permettra d'en d duire la position x(t) tout instant. quations diff RENTIELLES 1. D FINITION 2. 1. D finition Introduction Une quation diff rentielle est une quation : dont l'inconnue est une fonction (g n ralement not e y(x) ou simplement y) ;. dans laquelle apparaissent certaines des d riv es de la fonction (d riv e premi re y 0 , ou d riv es d'ordres sup rieurs y 00 , y (3) , ..). Voici des quations diff rentielles faciles r soudre. Exemple 1. De t te, trouver au moins une fonction, solution des quations diff rentielles suivantes : y 0 = sin x y(x) = cos x + k o k R. y0 = 1 + ex y(x) = x + e x + k o k R. y0 = y y(x) = ke x o k R. y(x) = ke3x o k R. y0 = 3 y y 00 = cos x y(x) = cos x + ax + b o a, b R.

4 Y 00 = y y(x) = ae x + be x o a, b R. Il est aussi facile de v rifier qu'une fonction donn e est bien solution d'une quation. Exemple 2. 1. Soit l' quation diff rentielle y 0 = 2x y + 4x. V rifier que y(x) = k exp(x 2 ) 2 est une solution sur R, ceci quel que soit k R. 2. Soit l' quation diff rentielle x 2 y 00 2 y + 2x = 0. V rifier que y(x) = kx 2 + x est une solution sur R, pour tout k R. D finition Passons la d finition compl te d'une quation diff rentielle et surtout d'une solution d'une quation diff rentielle . D finition 1. Une quation diff rentielle d'ordre n est une quation de la forme F x, y, y 0 , .. , y (n) = 0.. (E). o F est une fonction de (n + 2) variables. Une solution d'une telle quation sur un intervalle I R est une fonction y : I R qui est n fois d rivable et qui v rifie l' quation (E).

5 Remarque. C'est la coutume pour les quations diff rentielles de noter y au lieu de y(x), y 0 au lieu y 0 (x),.. On note donc y 0 = sin x ce qui signifie y 0 (x) = sin x . Il faut s'habituer au changement de nom pour les fonctions et les variables. Par exemple (x 00 )3 +t(x 0 )3 +(sin t)x 4 = e t est une quation diff rentielle d'ordre 2, dont l'inconnue est une fonction x qui d pend de la variable t. On cherche donc une fonction x(t), deux fois d rivable, qui v rifie (x 00 (t))3 + t(x 0 (t))3 + (sin t)(x(t))4 = e t . Rechercher une primitive, c'est d j r soudre l' quation diff rentielle y 0 = f (x). C'est pourquoi on trouve souvent int grer l' quation diff rentielle pour trouver les solutions de l' quation diff rentielle . La notion d'intervalle dans la r solution d'une quation diff rentielle est fondamentale.

6 Si on change d'intervalle, on peut tr s bien obtenir d'autres solutions. Par exemple, si on se place sur l'intervalle I1 = ]0, + [, l' quation diff rentielle y 0 = 1/x a pour solutions les fonctions y(x) = ln(x) + k. Alors que sur l'intervalle I2 = ] , 0[, les solutions sont les fonctions y(x) = ln( x) + k (k est une constante). Si aucune pr cision n'est donn e sur l'intervalle I, on consid rera qu'il s'agit de I = R. Exemple 3 ( quation variables s par es). Une quation diff rentielle variables s par es est une quation du type : y 0 = g(x)/ f ( y) ou y 0 f ( y) = g(x). quations diff RENTIELLES 1. D FINITION 3. Une telle quation se r sout par calcul de primitives. Si G(x) est une primitive de g(x) alors G 0 (x) = g(x). 0 Si F (x) est une primitive de f (x) alors F 0 (x) = f (x), mais surtout, par d rivation d'une composition, F ( y(x)) =.

7 0. y 0 (x)F 0 ( y(x)) = y 0 f ( y). Ainsi l' quation diff rentielle y 0 f ( y) = g(x) se r crit F ( y(x)) = G 0 (x) ce qui quivaut . une galit de fonctions : F ( y(x)) = G(x) + c. Voici un exemple concret : x 2 y 0 = e y On commence par s parer les variables x d'un c t et y de l'autre : y 0 e y = x12 (en supposant x 6= 0). On int gre des deux c t s : 1. e y = + c (c R). x Ce qui permet d'obtenir y (en supposant 1x + c > 0) : 1.. y(x) = ln + c x qui est une solution sur chaque intervalle I o elle est d finie et d rivable. Cet intervalle d pend de la constante c : si c < 0, I = ] 1c , 0[ ; si c = 0, I = ] , 0[ ; si c > 0, I = ] 1c , + [. quation diff rentielle lin aire On ne sait pas r soudre toutes les quations diff rentielles. On se concentre dans ce chapitre sur deux types d' quations : les quations diff rentielles lin aires du premier ordre et celles du second ordre coefficients constants.

8 Une quation diff rentielle d'ordre n est lin aire si elle est de la forme a0 (x) y + a1 (x) y 0 + + an (x) y (n) = g(x). o les ai et g sont des fonctions r elles continues sur un intervalle I R. Le terme lin aire signifie grosso modo qu'il n'y a pas d'exposant pour les termes y, y 0 , y 00 , .. Une quation diff rentielle lin aire est homog ne, ou sans second membre, si la fonction g ci-dessus est la fonction nulle : a0 (x) y + a1 (x) y 0 + + an (x) y (n) = 0. Une quation diff rentielle lin aire est coefficients constants si les fonctions ai ci-dessus sont constantes : a0 y + a1 y 0 + + an y (n) = g(x). o les ai sont des constantes r elles et g une fonction continue. Exemple 4. 1. y 0 + 5x y = e x est une quation diff rentielle lin aire du premier ordre avec second membre.

9 2. y 0 + 5x y = 0 est l' quation diff rentielle homog ne associ e la pr c dente. 3. 2 y 00 3 y 0 + 5 y = 0 est une quation diff rentielle lin aire du second ordre coefficients constants, sans second membre. 4. y 02 y = x ou y 00 y 0 y = 0 ne sont pas des quations diff rentielles lin aires. Proposition 1 (Principe de lin arit ). Si y1 et y2 sont solutions de l' quation diff rentielle lin aire homog ne a0 (x) y + a1 (x) y 0 + + an (x) y (n) = 0 (E0 ). alors, quels que soient , R, y1 + y2 est aussi solution de cette quation. C'est une simple v rification. On peut reformuler la proposition en disant que l'ensemble des solutions forme un espace vectoriel. Pour r soudre une quation diff rentielle lin aire avec second membre a0 (x) y + a1 (x) y 0 + + an (x) y (n) = g(x), (E).

10 On d compose souvent la r solution en deux tapes : trouver une solution particuli re y0 de l' quation (E), trouver l'ensemble Sh des solutions y de l' quation homog ne associ e a0 (x) y + a1 (x) y 0 + + an (x) y (n) = 0 (E0 ). quations diff RENTIELLES 2. QUATION diff rentielle LIN AIRE DU PREMIER ORDRE 4. ce qui permet de trouver toutes les solutions de (E) : Proposition 2 (Principe de superposition). L'ensemble des solutions S de (E) est form des y0 + y avec y Sh . Autrement dit, on trouve toutes les solutions en ajoutant une solution particuli re aux solutions de l' quation homog ne. C'est une cons quence imm diate du caract re lin aire des quations . Mini-exercices. 1. Chercher une solution simple de l' quation diff rentielle y 0 = 2 y. M me question avec y 00 = y ; y 00 +.