Exo7 - Exercices de mathématiques

1 Exo7 Formes diff rentiellesFiche de A. Gammella-Mathieu (IUT de Mesures Physiques de Metz Universit de Lorraine)Exercice 1D terminer si les formes diff rentielles suivantes sont exactes et dans ce cas, les int grer :1. 1=2xydx+x2dy2. 2=xydx zdy+xzdz3. 3=2xex2 ydx 2ex2 ydy4. 4=yz2dx+(xz2+z)dy+(2xyz+2z+y) [006873]Exercice 2On consid re le changement de variables en coordonn es sph riques suivant : x=rcos cos y=rcos sin z=rsin 1. Calculerdx,dy, V rifier quexdx+ydy+zdz= d duire r x, r yet r [006874]Exercice 3On consid re la forme diff rentielle = (x2+y2+2x)dx+ Montrer que n est pas Trouver une fonction (x)telle que (x) =d f. Pr ciser alorsf. (On dit que est un facteur int -grant.)CorrectionH[006875]Exercice 4On consid re le champ vectoriel~V(x,y) = (1+2xy,x3 3). Ce champ est-il un champ de gradient ?CorrectionH[006876]Exercice 5 Quel est le champ vectoriel qui d rive du potentielU(x,y,z) =1+x+xy+xyz?CorrectionH[006877]Exercice 6 Calculer la circulation du champ vectoriel~V(x,y) = (3x,x+y)le long du cercleCde centreOet de rayon 1,parcouru dans le sens [006878]Exercice 7 Calculer le travailWde la force~F(x,y,z) = (yz,zx,xy)le long de l h liceHparam tr e parx=cost,y=sintetz=to tvarie de 0 [006879]Exercice 8On donne le champ vectoriel~V(x,y,z) = (y2cosx,2ysinx+e2z,2ye2z).

2 1. Montrer que ce champ est un champ de D terminer le potentielU(x,y,z)dont d rive ce champ sachant qu il vaut 1 l Quelle est la circulation de ce champ deA(0,1,0) B( 2,3,0)?CorrectionH[006880]Exercice 9En utilisant la formule de Green-Riemann, calculerI= Dxydxdyo D={(x,y) R2|x>0;y>0;x+y61}.IndicationHCorrectionH [006881]Exercice 10On consid re la forme diff rentielle = yx2+y2dx+xx2+ Dans quel domaine cette forme diff rentielle est-elle d finie ?2. Calculer l int grale curviligne C o Cest le cercle de centreOet de rayon 1, parcouru dans le La forme est-elle exacte ?CorrectionH[006882]R f rencesP. Thuillier, Belloc,Math matiques, analyse tome 1, 2 me dition, Masson (1990).D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent,Toutes les math matiques MPSI, PCSI, PTSI, TSI, Ellipses (2004).2 Indication pour l exercice 9 NOn rappelle la formule de Green-Riemann qui permet de faire le lien entre int grale double et int grale curvi-ligne :Th or domaine deR2limit par une courbe ferm eCque l on suppose coup e par touteparall le aux axes en deux points au plus.

3 On consid re une forme diff rentielle =Pdx+Qdyd finie les fonctionsPetQsont de classeC1, on a : C+Pdx+Qdy= D( Q x P y)dxdyo l on a not C+la courbeCque l on a orient e dans le sens de l exercice 1N1. Pour 1, on poseP(x,y) =2xyetQ(x,y) =x2. Comme 1est d finie sur l ouvert toil R2et que P y= Q x=2x, le th or me de Poincar permet de dire que 1est exacte. On chercheftel qued f= quivaut r soudre le syst me{ f x=2xy f y=x2En int grant la premi re ligne par rapport x, on trouvef(x,y) =x2y+c(y). En d rivant l expressionque l on vient d obtenir par rapport yet en identifiant avec la deuxi me ligne du syst me, on trouve f y=x2+c (y) = s ensuit quec (y) =0 et donc quec(y) =c R. Par suite, la fonctionfcherch e est :f(x,y) =x2y+co cest une constante r Pour 2, on poseP(x,y,z) =xy,Q(x,y,z) = zetR(x,y,z) = constate que P y=xalors que Q x=0. La forme 2n est donc pas Pour 3, on poseP(x,y) =2xex2 yetQ(x,y) = 2ex2 y. L aussi, P y6= Q xpuisque P y= 2xex2 yalors que Q x= 4xex2 y; 3n est donc pas Pour 4, posonsP(x,y,z) =yz2,Q(x,y,z) =xz2+z,R(x,y,z) =2xyz+2z+y.}

4 On constate que(a) P y= Q x=z2(b) P z= R x=2zy(c) Q z= R y=2xz+ forme 4est de plus d finie sur l ouvert toil R3, elle est donc exacte d apr s le th or me dePoincar . Cherchons maintenantftelle qued f= 4, ceci revient r soudre le syst me : f x=yz2 f y=xz2+z f z=2xyz+2z+yEn int grant la premi re quation par rapport x, on trouvef(x,y,z) =xyz2+ (y,z).Maintenant, en d rivant l expression obtenue successivement paryetzet en galisant avec les deuxderni res quations du syst me, on obtient un nouveau syst me{xz2+ y=xz2+z2xyz+ z=2xyz+2z+yqui quivaut :{ y=z(1) z=2z+y(2)Finalement, en int grant (1) par rapport y, il vient (y,z) =zy+c(z). En d rivant cette expressionde par rapport zet en galisant avec (2), on trouvey+c (z) =2z+y, c est- -direc (z) =2zdoncc(z) =z2+co c R. Ainsi, la fonctionftelle que 4=d fest de la formef(x,y,z) =xyz2+zy+z2+co c de l exercice 2N1. On v rifie que :(a)dx=cos cos dr rsin cos d rsin cos d (b)dy=cos sin dr rsin sin d +rcos cos d (c)dz=sin dr+rcos d.}}

5 Par suite, on a :(a)xdx=rcos2 cos2 dr r2sin cos cos2 d r2sin cos cos2 d (b)ydy=rcos2 sin2 dr r2sin cos sin2 d +r2cos sin cos2 d (c)zdz=rsin2 dr+r2cos sin d .2. En additionnant, on obtientxdx+ydy+zdz=rdr. On en d duit que :xdx+ydy+zdz=r( r xdx+ r ydy+ r zdz).Ainsi r x=xr r y=yr r z= de l exercice 3N1. PosonsP(x,y) =x2+y2+2xetQ(x,y) =2y. On voit facilement que P y6= Q x. La forme n est doncpas Comme est d finie surR2, il suffit que soit exacte pour quefexiste. Maintenant, est exactesi et seulement si ( (x)(x2+y2+2x)) y= ( (x)2y) quivaut 2y (x) =2y (x). Ainsi, (x) = (x)pour toutx. Donc (x) = peut choisirk=1. Ainsi =ex(x2+y2+2x)dx+ex(2y) cherche ensuiteftelle que :{ f x=ex(x2+y2+2x) f y=ex(2y)En int grant la deuxi me quation par rapport y, on trouvef(x,y) =exy2+c(x).En d rivant cette expression par rapport xet en galisant avec la premi re quation du syst me, onobtientexy2+c (x) =ex(x2+y2+2x)c est- -direc (x) =ex(x2+2x).Il en r sulte quec(x) =x2ex+cet donc quef(x,y) =ex(x2+y2)+ de l exercice 4 NAu champ ~V(x,y)est associ e la forme = (1+2xy)dx+(x3 3) forme n est pas exacte puisque (1+2xy) y6= (x3 3) x.}

6 Il s ensuit que~V(x,y)n est pas un champ de de l exercice 5 NLe champ vectoriel qui d rive du potentielUest~grad(U) = ( u x, u y, u z).Il s agit donc du champ vectoriel de composantes :~grad(U) = (1+y+yz,x+xz,xy).Correction de l exercice 6 NSoit =3xdx+ (x+y)dyla forme diff rentielle naturellement associ e ~V(x,y)et consid ronsx=costety=sintcomme param trage du cercle de centreOet de rayon 1 (avect [0; 2 ]). Il s ensuit que la circulation C~V.~dln est autre que : C~V.~dl= Cw= 2 0(3 cost( sint)+(cost+sint)cost) cos2t=cos(2t)+12, on obtient : C~V.~dl= 2 0( 2 sintcost+cos(2t)+12)dt= [cos2(t)+14sin(2t)+t2]2 0= .Remarquons que si la forme avait t exacte, on aurait obtenu C~V.~dl=0 comme r ponse, puisque l int gralecurviligne d une forme exacte sur une courbe ferm e est de l exercice 7 NNotons =yzdx+zxdy+xydzla forme diff rentielle associ e ~F(x,y,z). Par d finition deW, on aW= H~F.~dl= H .D apr s le param trage donn pourH, on aW= 40yzdx+zxdy+xydz= 40((sint)t( sint)+tcos2t+costsint)dt= 40(tcos(2t)+costsint) a utilis ici la formule trigonom trique : cos(2t) =cos2t faisant une int gration par parties, onconstate que 40tcos(2t)dt= [tsin(2t)2] 40 40sin(2t) en d duit queW= [tsin(2t)2] 40+14[cos(2t)] 40+12[sin2(t)] 40= 8 14+14= que =yzdx+zxdy+xydzest exacte.

7 De plus, on v rifie ais ment que =d(xyz). On peut alorsretrouver le r sultat pr c dent en faisant :W=f(B) f(A)o l on a pos f(x,y,z) =xyz,B= (cos( 4),sin( 4), 4) = ( 22, 22, 4)etA= (cos(0),sin(0),0) = (1,0,0).Correction de l exercice 8N1. On noteP(x,y,z) =y2cosx,Q(x,y,z) =2ysinx+e2zetR(x,y,z) =2ye2z. La forme =Pdx+Qdy+Rdz, naturellement associ e au champ ~V(x,y,z), est exacte puisqu elle est d finie surR3et(a) P y= Q x=2ycosx(b) P z= R x=0(c) Q z= R y= champ ~V(x,y,z)est donc un champ de CherchonsUtel que =dU. Cela nous conduit r soudre le syst me : U x=y2cosx U y=2ysinx+e2z U z=2ye2zEn int grant la premi re quation par rapport x, on trouve :U(x,y,z) =y2sinx+ (y,z).Maintenant, en utilisant les deux derni res quations, on est amen r soudre le syst me suivant :{ y=e2z z=2ye2zPar suite, on v rifie que (y,z) =e2zy+c(z)avecc (z) =0. Doncc(z) =caveccconstante r elle etfinalement :U(x,y,z) =y2sinx+e2zy+cavecc R. Par ailleurs, on veut queU(0,0,0) =1 ce qui donnec= La circulation du champ deA(0,1,0) B( 2,3,0)est _AB~V.}

8 ~dl= _AB =U(B) U(A) =U( 2,3,0) U(0,1,0) = que lorsque est exacte, pour calculer l int grale curviligne de sur un chemin, il suffitde conna tre l origine et l extr mit du chemin. Autrement dit, l int grale curviligne d une forme exactesur_ABne d pend que deAet deB, et non du chemin choisi pour aller deA de l exercice 9 NOn rapporte le plan un rep re orthonorm direct d origineO. D apr s la formule de Green-Riemann, enchoisissant de prendreP=0 etQ=x2yde sorte que Q x P y=xy, on obtient :I= Dxydxdy= Tx2ydyo l on a not Tle triangleOABorient dans le sens direct avecO(0,0),A(1,0)etB(1,1). AinsiI= Dxydxdy= _OAx2ydy+ _ABx2ydy+ int grale curviligne d une forme diff rentielle sur un chemin est ind pendant du param trage choisi pour cechemin. Pour le calcul, nous choisissons de param trer_OAparx=tety=0 avectvariant de 0 1 et ainsi _OAx2ydy=0. De m me, nous choisissons de param trer_BOparx=0 ety=tavectvariant de 1 0 et ainsi _BOx2ydy=0. Enfin, nous choisissons de param trer_ABparx=tety=1 tavectallant de 1 0 et donc :I= Dxydxdy= _ABx2ydy= 01t2(1 t)2( dt) = 10t2(1 t)2dt= qu il n aurait pas t plus difficile ici de calculer directement l int grale double sans utiliser laformule de Green-Riemann : Dxydxdy= 01( 1 x0xydy)dx= 10x[y22]1 x0dx= 10x(1 x)22dx= de l exercice 10N1.

9 La forme = yx2+y2dx+xx2+y2dyest d finie surR2\{(0,0)}.2. Param trons le cercleCparx=cost,y=sintavect [0; 2 ]. On obtient : C = 2 0( sint( sint)+cost(cost))dt= 2 0sin2t+cos2tdt= 2 01dt=2 .3. La forme n est pas exacte, sinon son int grale curviligne sur la courbe ferm eCserait nulle et celacontredirait notre r sultat de la question pr c dente. Remarquons cependant que y( yx2+y2) = x(xx2+y2) =y2 x2(x2+y2) fait, avec cet exemple, on voit que dans le th or me de Poincar , l hypoth se que l ouvert doit tre toil , est indispensable. IciR2\{(0,0)}n est pas toil , c est un domaine "trou ". De plus, C n estpas nulle car le cercle entoure le "trou".8