Transcription of Forme trigonométrique des nombres complexes
1 Forme trigonom trique des nombres complexesArgument d un nombre complexe non nul u vbM(z)arg(z)O Le plan est rapport un rep re orthonorm direct(O, u , v).zest un complexe non nul d image ponctuelle not appelle argument deztoute mesure en radian de l angleorient ( u , OM).arg(z) =( u , OM)(2 ). Si 0est un argument dez, l ensemble des arguments dezestl ensemble des r els de la Forme 0+2k ,k termination d un un complexe non nul, un argument dezest galement un argument dez|z|. Lenombre complexez|z|est de module1et il existe un r el tel quez|z|=cos( ) +isin( ). est un argument arg( 3+i) =arg( 32+12i)=arg(cos(5 6)+isin(5 6))=5 6(2 ).La notation ei Le calcul(cos( ) +isin( ))(cos( ) +isin( )) =.
2 =cos( + ) +isin( + )invite poserpour tout r el ,ei =cos( ) +isin( ). tous r els et , |ei |=1. Re(ei ) =cos( ), Im(ei ) =sin( ).Pour tous nombres complexes non nulszetz , ei ei =ei( + ). arg(zz ) =arg(z) +arg(z ) (2 ). 1ei =e i =ei . arg(1z)=arg(z) = arg(z) (2 ). ei ei =ei( ). arg(zz )=arg(z) arg(z ) (2 ). Pour tout entier relatifn,(ei )n=ein . Pour tout entier relatifn, arg(zn) = (z) (2 ). Forme trigonom trique (ou Forme exponentielle) des nombres complexesTout nombre complexe non nulzs crit sous la formez=rei o rest un r el strictement positif et est un r criture est unique en ce sens que :Pour tous r els strictement positifsretr et tous r els et ,rei =r ei r=r etei =ei.
3 Sizest un complexe non nul, l criturez=rei s appellelaforme trigonom trique (ou la Forme exponentielle) trigonom trique d un complexe non nulz:z=rei o rest le module dezet est un argument r el lui n est pas unique :Pour tous r els strictement positifsretr et tous r els et ,rei =r ei r=r et il existe un entier relatifktel que = +2k . Siret sont des r els quelconques et siz=rei , la Forme trigonom trique dezn est pas toujoursrei . sir > 0, la Forme trigonom trique dezestrei ; sir < 0, la Forme trigonom trique dezest rei( + ); sir=0,z=0et la Forme trigonom trique dezn existe Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits r serv
