Formes indéterminées - MATHEMATIQUES

1 Formes ind termin es Quand on calcule des limites, les Formes suivantes sont ind termin es : Formes ind termin es 0. 0 . 0. + . Ind terminations lev es par le cours Polyn mes, fonctions rationnelles La limite d'un polyn me en + ou est gale la limite de son terme de plus haut degr . La limite d'une fonction rationnelle en + ou est gale la limite du quotient de ses termes de plus haut degr . Nombres d riv s Les limites suivantes sont fournies dans le cours. Elles fournissent toutes un nombre d riv . sin(x) cos(x) 1 ex 1 ln(x) ln(1 + h). lim =1 lim =0 lim =1 lim = 1 ou lim = 1. x 0 x x 0 x x 0 x x 1 x 1 h 0 h Th or mes de croissances compar es ex lim = + et lim xex = 0.

2 X + x x . ln(x). lim = 0. x + x Quelques techniques usuelles pour lever des ind terminations Mise en facteur du terme pr pond rant Exemple 1. Trouver lim x 1 ex . x + . On classe les termes par ordre d croissant de pr pond rance : ex + x 1.. x x 1. On met le pr pond rant en facteur : e 1 x + x e e Puisqu'on a mis le terme pr pond rant en facteur, la parenth se commence par 1 et continue par des termes tendant x 1. vers 0 : x = x 0.. La parenth se tend donc vers 1 et l'expression vers . e e /x x + . x 1 x 1. Exemple 2. Trouver lim et lim . x + 1 + ex + e x x 1 + ex + e x 1 1. x 1 x 1 x 1 1 1 . Limite en + . Pour tout r el x 6= 0, = x = x x = x x.

3 1 + ex + e x e + 1 + e x e 1 + e x + e 2x e /x 1 + e x + e 2x 1. 1 1 dx lim e x = lim eX = 0 et de m me lim e 2x = 0. D'autre part lim = 0. Donc lim = 1. x + X x + x + x x + 1 + e x + e 2x x e 1. D'apr s un th or me de croissances compar es, lim = + et donc lim x = 0. x + x x + e /x x2 1. Finalement, lim = 0. La mise en facteur des pr pond rants a permis de faire appara tre le face face x + 1 + ex + e x x e en + . x 1 1. x 1 x 1 x 1 1 . Limite en . Pour tout r el x 6= 0, = x = x x = xex x , 1 + ex + e x e + 1 + ex e 1 + ex + e2x 1 + ex + e2x x 1. et on trouve lim = 0. x 1 + ex + e x c Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits r serv s.

4 1 http p Exemple 3. Trouver lim 4x2 + x x. x + .. On met le pr pond rant en facteur dans 4x2 + x pour comprendre que 4x2 + x vaut environ 4x2 = 2x quand x est grand et donc que l'expression vaut environ x. ! . r r r 1 1 1 p Pour x > 0, 4x2 + x x = 4x2 1 + x = 2x 1 + x = x 2 1 + 1 .. lim 4x2 + x x = + . 4x 4x 4x x + . Utilisation d'une quantit conjugu e p Exemple 4. Trouver lim x2 + x x. x + .. Quand x est grand, x2 + x vaut environ x2 = x. Aucun 2. des termes x + x et x ne va l'emporter devant l'autre. 2. Il faut maintenant voir plus explicitement le face face x x = x x et pour cela lever au carr x2 + x et x. C'est le but de la multiplication du num rateur et du d nominateur par la quantit conjugu e.

5 ( x2 + x x)( x2 + x + x) (x2 + x) x2 x 2. Pour x > 0, x + x x = = = . 2. x +x+x 2. x +x+x 2. x +x+x . L'ind termination tait + . Elle est maintenant . La mise en facteur des pr pond rants au num rateur et au . x d nominateur permet alors de voir que l'expression vaut environ . 2x p x x 1 1 1. Pour x > 0, q = q =q .. lim x2 + x x = . x 1+ +x 1 x 1+ +11. 1+ +11 x + 2. x x x Utilisation d'un taux d'accroissement ln(1 + x). Exemple 5. Trouver lim . x 0 x x2. 0 f (x) f (x0 ). L'ind termination est qui est l'ind termination typique dans les calculs de nombre d riv lim et doit 0 x x0 x x0. donc veiller les soup ons. Un certain stock de ces nombres d riv s sont fournis une bonne fois pour toutes en cours.

6 Ln(1 + x). Ici, on utilise lim qui donne la d riv e de la fonction x 7 ln(1 + x) en 0 (ou la d riv e de x 7 ln(x) en 1). x 0 x ln(1 + x) ln(1 + x) 1 ln(1 + x). Pour x > 1 et x 6= 0 et x 6= 1, = .. lim = 1. x x2 x 1 x x 0 x x2. 2 sin(x) 1. Exemple 6. Trouver lim . x /6 6x . 0 . De nouveau . On fait appara tre le taux d'accroissement de la fonction sinus en . 0 6. 2 sin(x) 12 1 sin(x) sin 6.. 2 sin(x) 1. Pour x 6= , = = . 6 6x 6 x 6 3 x 6. sin(x) sin 6 3. 2 sin(x) 1 1.. Quand x tend vers , tend vers sin = cos = .. lim = . 6 x 6 6 6 2 x /6 6x 2 3. c Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits r serv s. 2 htt