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1 M ethode des el ements finis : flexion des poutres `a plan moyenYves DebardInstitut Universitaire de Technologie du MansD epartement G enie M ecanique et mars 2006 29 mars 2011 Table des mati`eres1 Rappels et hypoth` D efinitions.. Hypoth`eses.. Champ de d eplacements, d eformations, contraintes et efforts r esultants dans une sectiondroite.. Equations d equilibre.. Mod`ele de Bernoulli..52 Mod`ele de Matrices el ementaires.. Introduction.. El ement de poutre `a section constante.. Fonctions d interpolation.. Utilisation des fonctions d interpolation.. Exemples.. Poutre soumise `a une force nodale.. Poutre soumise `a une force r epartie.. Prise en compte d un appui elastique.. Poutre avec une rotule interne.

2 Probl`eme `a d eplacement impos e.. Programmes Maple.. bermat.. berrotrig.. berrigrot.. berrotrot.. berint.. berintpar.. berinterpolation.. berintmat.. berex1.. berex2..323 Mod`ele de Matrices el ementaires.. Introduction.. El ement de poutre `a section droite constante.. Fonctions d interpolation.. Utilisation des fonctions d interpolation.. Partition du champ de d eplacements en mouvement de corps rigide et mouve-ment de d eformation pure : m ethode de la tangente.. Exercices.. Influence de l effort tranchant.. Poutre `a section variable : int egration num erique.. Partition du champ de d eplacements en mouvement de corps rigide et mouve-ment de d eformation pure : m ethode de la s ecante.

3 Programmes Maple.. timmat.. timint.. timintpar.. timintrem.. timinterpolation.. timintmat.. timrigdeftan.. timrigdefsec..60R ef erences64 Chapitre 1 Rappels et hypoth` D efinitionsUne poutre droite ( ) est un solide engendr e par une surface planeA, constante ou non, dontle centre de gravit eGd ecrit le segmentG1G2, le plan qui contientArestant normal `aG1G2. De plus,les dimensions deAsont faibles (sans etre n egligeables) par rapport ` lafibre moyennede la lasection droitede la Poutre Hypoth`esesNous adopterons les conventions et les hypoth`eses suivantes : xest l axe port e par le vecteur G1G2. Le plan{x, y}est un plan de sym etrie de la poutre. L axezforme avecxetyun tri`edre direct. ~ ,~ et~ksont les vecteurs unitaires des axes.

4 Les axesyetzsont les axes centraux principaux de la section droite : Ay dA= Az dA= Ay z dA= 0( )2 flexion des poutres `a plan moyen Le mat eriau est homog`ene et isotrope ; son comportement est lin eaire et elastique ;E, , et sontrespectivement le module de Young, le coefficient de Poisson et la masse volumique du mat eriau. Les d eplacements et les d eformations sont petits. Au cours de la mise en charge ( ) sections droites restent section droite subit : une translation suivanty:v(x). une rotation autour de l axeGz: z(x). Champ de d eplacements, d eformations, contraintes et effortsr esultants dans une section droiteFigure D eplacement de la section droite d abscissexCompte tenu des hypoth`eses pr ec edentes, le champ de d eplacements s ecrit ( ) :{u(x, y) = y z(x)v(x, y) =v(x)( )On en d eduit : les d eformations xx= u x= y z x, xy= u y+ v x= z+ v x( ) les contraintes ( ) : xx=E xx= Ey z x, xy=G ky xy=G ky( v x z)( )Rappels et hypoth`eses3 Figure Contraintes dans la section droite d abscissex les efforts r esultants :N= A xxdA= E z x Ay dA= 0(effort normal)( )Ty= A xydA=G A ky( v x z)(effort tranchant)( )Mfz~k= A(y ~ ) ( xxdA~ )d o`u( )Mfz= A y xxdA=E z x Ay2dA=EIz z x(moment fl echissant)( )o`u : Aest l aire de la section droite.}

5 Iz= Ay2dAest le moment quadratique de la section par rapport `aGz. G=E2 (1 + )est le module d elasticit e transversal. le coefficient d aire cisaill eekytraduit le fait que le cisaillement n est pas uniforme dans lasection ; il est d efini par :T2yA ky= A 2xydA( )o`u xy(y, z)est le cisaillement d u `a l effort tranchantTyd eduit de la th eorie de l elasticit e[6,13,24,25,27,29,31,37,38].Akyest l aire cisaill ee ou section r : la contrainte normale dans la section droite est egale `a : xx= yIzMfz( )On en d eduit la valeur maximale de| xx|: max=| xx|max=|Mfz| ( )o` |y|maxest le module de flexion elastique par rapport ` des poutres `a plan Equations d equilibreLa poutre porte une force et un couple r epartis d intensit e lin eique equilibre du morceau de poutre ( ) compris entre les sections droites d abscissesxetx+dxs ecrit au premier ordre pr`es : Ty+Ty+ Ty xdx+pydx=( A v dA)dx= A v dx( ) Mfz+Mfz+ Mfz xdx+dx Ty+mzdx=( A y u dA)dx= Iz zdx( )o`u.

6 U= 2u t2= y z, v= 2v t2, z= 2 z t2( )Figure Efforts sur le tron con de poutre compris entrexetx+dxApr`es simplification, on obtient les deux equations d equilibre : Ty x+py= A v( ) Mfz x+Ty+mz= Iz z( )Ces equations s ecrivent en fonction des d eplacements : x(GA ky( v x z))+py= A v( ) x(EIz z x)+GA ky( v x z)+mz= Iz z( )Rappels et hypoth` Mod`ele de BernoulliLe mod`ele ci-dessus est dit mod`ele de Timoshenko1. Si la poutre est longue, on admet l hypoth`esede Navier2-Bernoulli3: la section droite reste normale `a la d eform ee de la fibre moyenne ( )d o`u la relation cin ematique : z= v x( )Figure Mod`ele de BernoulliDans ce cas, la relation de comportement ( ) s ecrit :Mfz=EIz 2v x2( )Remarque: si la probl`eme est stationnaire, la fl`echev(x)est solution de l equation :EIz 4v x4=py( ) P.

7 Timoshenko (1878-1972). Navier (1785-1836). Bernoulli (1654-1705).Chapitre 2 Mod`ele de Matrices el IntroductionL el ement de poutre(i j), de longueurL, de moment quadratiqueIzet de module de YoungEestsoumis `a une force et `a un couple r epartis d intensit e lin El ement de poutre(Tyi, Mfzi)et(Tyj, Mfzj)sont les efforts r esultants dans les sectionsietj.(vi, zi)et(vj, zj)sont les d eplacements l absence de forces d inertie, les equations d equilibre ( ) se r eduisent `a :dTydx+py= 0,dMfzdx+Ty+mz= 0( )En int egrant ces deux equations entre 0 etx, il vient :Ty(x) =Tyi x0py(s)ds( )Mfz(x) =Mfzi x0Ty(s)ds x0mz(s)ds( )Remarque: l equilibre de l el ement s ecrit : Tyi+Tyj+ L0py(x)dx= 0 Mfzi+Mfzj+L Tyj+ L0x py(x)dx+ L0mz(x)dx= 0( )Mod`ele de Bernoulli7L int egration de la relation de comportement :Mfz=EIzd zdx( )et de la relation cin ematique (mod`ele de Bernoulli) :dvdx= z( )entre 0 etxconduit `a l expression de la rotation des sections droites (pente) et du d eplacementsuivanty(fl`eche) : z(x) = zi+ x0 Mfz(s)EIzds , v(x) =vi+ x0 z(s)ds( )Remarque.

8 La fl`eche peut etre obtenue `a l aide de la formule de Bresse1:v(x) =vi+ zix+ x0 Mfz(s)EIz(x s)ds( )Des conditions aux limites :v(L) =vj, z(L) = zj, Ty(L) =Tyj, Mfz(L) =Mfzj( )on d eduit l expression des efforts nodaux en fonction des d eplacements nodaux :{fnod}= [k]{u} {f}( )o`u :{fnod}= Ty(0) Mfz(0)Ty(L)Mfz(L) = Tyi MfziTyjMfzj ,{u}= vi zivj zj ( )Figure Vecteur force equivalent aux charges r eparties{fnod}est levecteur des forces nodales.[k]est lamatrice de rigidit e el ementaire.{f}est levecteur force equivalent aux charges r eparties( ).{u}est levecteur d eplacement el Bresse (1822-1883).8 flexion des poutres `a plan El ement de poutre `a section constanteRemarque: les el ements d ecrits dans ce pararaphe sont utilis es par le logicielRDM el ement de poutre(i j)( ), de longueurL, de moment quadratiqueIzet de module deYoungEest soumis sur toute sa longueur `a une force et `a un couple d intensit e lin eique :py(x) =pyi+ (pyj pyi)xL, mz(x) =mzi+ (mzj mzi)xL( )Figure Element rigide-rigideL equilibre de l el ement s ecrit : Tyi+Tyj+L2(pyi+pyj) = 0 Mfzi+Mfzj+L Tyj+L26(pyi+ 2pyj) +L2(mzi+mzj) = 0La relation{fnod}= [k]{u} {f}s ecrit (programmebermat) : Tyi MfziTyjMfzj =EIzL3 12 6L 12 6L4L2 6L2L212 vi zivj zj L60 2193L2L921 2L 3L {pyipyj} 112 6 6L L6 6 L L {mzimzj}( )Remarque.

9 Sipyi=pyj=petmzi=mzj=m, le vecteur{f}se r eduit `a :{f}=pL12 6L6 L + m0m0 ( ) El ement rotule rigideL origine de l el ement est une rotule d o`u :Mfzi= `ele de Bernoulli9 Figure Element rotule-rigideAvec cette condition, la relation{fnod}= [k]{u} {f}se r eduit `a (programmeberrotrig) : Tyi0 TyjMfzj =3 EIzL3 1 0 1L0 0 01 vi0vj zj L120 3312002748 7L 8L {pyipyj} 18 5 30 05 3 L L {mzimzj}( )avec : zi=12L( 3vi+ 3vj L zj) +L3240 EIz( 3pyi+ 2pyj) +L248 EIz(mzi mzj)( ) El ement rigide rotuleL extr emit e de l el ement est une rotule d o`u :Mfzj= Element rigide-rotuleAvec cette condition, la relation{fnod}= [k]{u} {f}se r eduit `a (programmeberrigrot) : Tyi MfziTyj0 =3 EIzL3 1L 1 0L2 L01 vi zivj0 L120 48 278L7L12 330 0 {pyipyj} 18 3 5L L3 50 0 {mzimzj}( )avec : zj=12L( 3vi+ 3vj L zi) L3240 EIz( 2pyi+ 3pyj) L248 EIz(mzi mzj)( )10 flexion des poutres `a plan moyen El ement rotule rotuleLes deux extr emit es de l el ement sont des rotules d o`u :Mfzi= 0etMfzj= Element rotule-rotuleAvec ces conditions, la relation{fnod}= [k]{u} {f}se r eduit `a (programmeberrotrot) : Tyi0 Tyj0 = L6 2 10 01 20 0 {pyipyj} 12 1 10 01 10 0 {mzimzj}( )avec : zi=1L(vj vi) +L3360 EIz( 8pyi+ 7pyj) +L224 EIz(mzi mzj) zj=1L(vj vi) L3360 EIz( 7pyi+ 8pyj) L224 EIz(mzi mzj)( )Remarque.

10 La matrice de rigidit e est et d eplacementsL effort tranchantet lemoment fl echissantsont donn es par :Ty(x) =Tyi x0py(s)ds=Tyi pyix (pyj pyi)x22L( )Mfz(x) =Mfzi x0Ty(s)ds x0mz(s)ds=Mfzi Tyix+pyix22+ (pyj pyi)x36L mzix (mzj mzi)x22L( )Lacontrainte normaledans la poutre est egale `a : xx(x, y) = yIzMfz(x)( )Larotation des sections droiteset lad eform eesont donn ees par : z(x) = zi+1 EIz x0 Mfz(s)ds= zi+1 EIz(Mfzix Tyix22)+1 EIz(pyix36+ (pyj pyi)x424L mzix22 (mzj mzi)x36L)( )Mod`ele de Bernoulli11v(x) =vi+ x0 z(s)ds=vi+ zix+1 EIz(Mfzix22 Tyix36)+1 EIz(pyix424+ (pyj pyi)x5120L mzix36 (mzj mzi)x424L)( )Cas particulier: si le chargement se r eduit `a une force uniform ement r epartiepyi=pyj=p , mzi=mzj= 0les relations ci-dessus deviennent :Ty(x) =Tyi p xMfz(x) =Mfzi Tyix+px22 z(x) = zi+1 EIz(Mfzix Tyix22+px36)v(x) =vi+ zix+1 EIz(Mfzix22 Tyix36+px424)Sip6= 0, l effort tranchant s annule pourx=xmd efini parTy(xm) = 0soitxm=Tyip.