TD 5, Transformation de Laplace

1 1 Analyse T4, TD n 5 / Vendredi 14 octobre 2016 Transformation de Laplace 1. D finition, abscisse de convergence. 2. Propri t s g n rales. 3. Valeur initiale, valeur finale. 4. Table de transform es de Laplace usuelles. 5. Transform e de Laplace inverse. 6. Introduction au calcul symbolique. 7. Exercices corrig s. 8. Feuilles de calcul Maple. 9. Un peu d histoire. Pierre-Jean Hormi re _____ La Transformation de Laplace est, avec la trans-formation de Fourier, l une des plus importantes trans-formations int grales. Elle intervient dans de nom-breuses questions de physique math matique, de calcul des probabilit s, d automatique, etc.

2 , mais elle joue aussi un grand r le en analyse classique. Elle porte tr s l gitimement le nom de Pierre-Simon Laplace (1749-1827), surnomm le Newton fran ais , ph m re ministre de l int rieur de Napol on Bonaparte, qui avait commenc ses travaux d s les ann es 1770, sous l Ancien r gime. En effet, Laplace a soulign l int r t de pr senter la plupart des fonctions, des suites, des sommes partielles et restes de s ries usuelles sous forme int grale, afin d en obtenir des d veloppements. Sous l influence de Liouville, le hongrois Joseph Petzval (1807-1891) fut le premier tudier la Transformation de Laplace en tant que telle, et ses applications aux quations diff rentielles lin aires.

3 Plus tard, l ing nieur britannique Oliver Heaviside (1850-1925) a invent le calcul symbolique afin de r soudre des quations diff rentielles et int grales. Laurent Schwartz (1915-2002) a tendu la Transformation de Laplace aux distributions, permettant de mieux comprendre et tayer le calcul symbolique. 1. D finition, abscisse de convergence. D finition : Soit f : [0, + [ ou ]0, + [ R ou C une fonction continue par morceaux sur tout segment. On appelle transform e de Laplace de f la fonction de variable r elle ou complexe : F(p) = LLLL f (p) = dttfept).(.0 + . 2 Soit f : R R ou C une fonction continue par morceaux sur tout segment. On appelle transform e de Laplace de f la fonction de variable r elle ou complexe : F(p) = LLLL f (p) = dttHtfept).]]

4 ()(. + = dttfept).(.0 + . o H(t) est la fonction de Heaviside d finie par H(t) = 0 pour t < 0, 1 pour t > 0. La fonction f(t) est appel e original, fonction objet, ou fonction causale. La fonction F(p) est appel e image de f(t). On note f(t) ] F(p) cette correspondance. La variable de F est traditionnellement not e p en France et en Allemagne, s dans les pays Se posent naturellement les probl mes suivants : En quels points la fonction F est-elle d finie ? Quelles sont ses propri t s l int rieur de son domaine de d finition ? Quelles sont ses propri t s au bord de ce domaine ? Quelles sont les propri t s alg briques, diff rentielles et int grales, de la Transformation de Laplace LLLL : f F ? Peut-on remonter de F f ?)

5 Autrement dit, y a-t-il une transform e de Laplace inverse ? Notons D(f) l ensemble des complexes p = a + ib tels que la fonction t pte f(t) est int -grable sur ]0, + [, c est- -dire dttfept).(.0 + est absolument convergente. D(f) est appel domaine d absolue convergence de la transform e de Laplace . Comme |pte f(t)| = ate | f(t) | , p D(f) a = Re(p) D(f). De plus, si p D(f), alors pour tout a > a , tae' f(t) est int grable. On en d duit que l ensemble D(f) est de l une des quatre formes suivantes : , C , { p ; Re p ]A, + [ } ou { p ; Re p [A, + [ }. Le r el A = a(f) est appel abscisse d absolue convergence de la transform e de Laplace . On convient que A = + si D(f) = , A = si D(f) = C. Exemples : 1) Si f(t) = exp(t2), D(f) = , car t pte te n est jamais int grable.]]

6 2) Si f(t) = 0 ou si f(t) = exp( t2), D(f) = C, car t pte f(t) est toujours int grable. 3) Si f(t) = 1 ou H(t), D(f) = { p ; Re p > 0 } et LLLL(1)(p) = LLLL(H)(p) = + = p1. 4) Si f(t) = ate ou ateH(t), D(f) = { p ; Re p > a } et LLLL(ate)(p) = LLLL(ateH(t))(p) = + 0)(.dtetpa = ap 1. 5) Si f(t) = 1 1+t, D(f) = { p ; Re p 0 }. 6) Si f(t) = t1, D(f) = { p ; Re p > 0 }. La proposition suivante donne une condition suffisante pour qu une fonction f ait une transform e de Laplace : Proposition : Soit f : ]0, + [ R ou C continue par morceaux sur tout segment. Si l int grale 10.)(dttf converge, et si (M, , A) t A | f(t) | Mte , D(f) est non vide. La fonction f est dite d ordre exponentiel si elle v rifie cette derni re condition.

7 32. Propri t s g n rales. Dans la suite, on utilise librement la notation abusive F(p) = LLLL(f(t))(p) pour f(t) ] F(p). La variable p est suppos e r elle. Proposition 1 : lin arit . Si D(f) et D(g) sont non vides, D( .f + .g) est non vide et, sur D(f) D(g) : LLLL( .f + .g )(p) = .LLLL(f)(p) + .LLLL(g)(p). Proposition 2 : translation. Si D(f) est non vide, pour tout , D()(tfet ) est non vide et LLLL()(tfet )(p) = (LLLL f )(p + ). Preuve : LLLL()(tfet )(p) = + 0).(dttfeetpt = + + 0)().(dttfetp = (LLLL f )(p + ). Proposition 3 : retard. Si D(f) est non vide, a > 0, g(t) = f(t a) pour t > a pour t < a, et LLLL()(atf )(p) = ape (LLLL f )(p) . Preuve : LLLL(g)(p) = + 0).(dttgept = aptdttge0).

8 ( + + aptdttge).( = + aptdtatfe).( = + + 0)().(duufeaup = ape (LLLL f )(p). Proposition 4 : changement d chelle. Si D(f) est non vide, D(f(at)) est non vide pour tout a > 0, et LLLL( f(at))(p) = a1(LLLL f)(ap). Preuve : L L L L( f(at))(p) = + 0).(dtatfept = a1 + 0/).(duufeapu = a1(LLLL f )(ap). Proposition 5 : d riv e de l image. Si D(f) est non vide, la fonction LLLL f = F est de classe C sur l intervalle ]a(f), + [, et LLLL( tn f(t))(p) = ( 1)n F(n)(p). Preuve : Ici, la variable p est suppos e r elle. Soit p > a(f). Choisissons b tel que a(f) < b < p. La fonction )(tfebt est int grable sur ]0, + [. Comme tn)(tfept = O()(tfebt ) au V(+ ), chacune des fonctions tn)(tfept est int grable.)

9 Le th or me de d rivation des int grales param tres s applique : Chaque fonction t tn)(tfept est continue par morceaux et int grable ; Chaque fonction p tn)(tfept est continue ; Pour p b > a(f), tn)(tfept M)(tfebt , majorante int grable. Cqfd. Corollaire : Si f(t) est valeurs r elles positives, F(p) est positive, d croissante, convexe, et compl tement monotone, en ce sens que sa d riv e n- me est du signe de ( 1)n. Proposition 5 : image de la d riv e. Si f est C1 sur R+, alors LLLL (f )(p) = p F(p) f(0). Si f est C2 sur R+, alors LLLL (f )(p) = p2 F(p) p f(0) f (0). Si f est Cn sur R+, alors LLLL (f(n))(p) = pn F(p) ( pn 1f(0) + pn 2f (0) + .. + p f(n 2)(0) + f(n 1)(0) ). 4 Preuve : Il suffit d int grer par parties.

10 Proposition 6 : image de l int grale. Si D(f) est non vide et si f est continue par morceaux LLLL ( tduuf0).()(p) = ppF)(. Proposition 7 : convolution. Soient f et g deux fonctions continues [0, + [ C, d ordre exponentiel, leur produit de convolution f g , d fini par x 0 ( f g )(x) = xdttgtxf0).().(. est continue, d ordre exponentiel, et L L L L( f g )(x)(p) = LLLL(f)(p).LLLL(g)(p). Preuve : le sch ma de la preuve, bas sur les int grales doubles, est le suivant : LLLL( f g )(x)(p) = + 0).)((dxxgfepx = + 00).).().((dxdttgtxfexpx = )()( = )()()( = )()()( = + + 0)()..)()((tpttxpdtdxeetgtxf = + + 0)(.)()..)((tpttxpdtetgdxetxf = + + 00.]]