Ecuaciones diferenciales aplicadas al área de Ciencias de ...

1 Revista M dica ARTICULO DE REVISION. Ecuaciones diferenciales aplicadas al rea de Ciencias de la Salud Differential equations Applied to the Area of Health Science Ivonne Rabatte Su rez, 1 Ma. Sobeida Leticia Bl zquez Morales, 1 Diego Contreras Coste o 2. 1. Instituto de Ciencias de la Salud, 2 Fac. de Matem ticas Universidad Veracruzana Rabatte-Su rez I., Bl zquez-Morales SL., Contreras-Coste o D. Ecuaciones diferenciales aplicadas al rea de Ciencias de la Salud. Rev Med UV 2006; 6(2): 33-36. RESUMEN Palabras Clave. Ecuaci n diferencial ordinaria de primer grado, Sabemos que desde el inicio de la biolog a como ciencia, sta no ley de crecimiento exponencial, separaci n de variables. dependi en lo absoluto de las matem ticas para su desarrollo con xito, as que surge la pregunta por qu tendr amos que ABSTRACT. utilizarlas ahora para entender fen menos biol gicos? El que las We know that since the beginning of Biology as a science, it did not Ciencias de la salud, como la biolog a por ejemplo, no emplearan depend, at all, on the mathematics for its successful development, a las matem ticas en la antig edad, no quiere decir que en la so the question arises: why would we have to use them nowadays actualidad (o a futuro) no podamos utilizarlas.

2 Partiendo de esta for the understanding of the biological phenomenon? The fact idea, disciplinas como la gen tica y la ecolog a lograron xitos that health sciences, such as Biology, did not use the mathematics importantes desarrollando modelos matem ticos basados en in ancient times does not mean that at present times (or in the Ecuaciones diferenciales . Actualmente, las matem ticas aportan future) we could not use them. Leaving from this idea, disciplines herramientas y modelos matem ticos de Ecuaciones diferenciales as genetics and the ecology have achieved important successes como apoyo a estudios espec cos de investigaci n en el rea by developing mathematical models based on differential de Ciencias de la Salud. En esta revisi n se tomar n en cuenta equations. Currently, the mathematics contribute with tools and nociones b sicas sobre c lculo diferencial e integral de una mathematical models of differential equations as a support to variable, teor a b sica sobre Ecuaciones diferenciales ordinarias speci c studies of research in the Health Science area.

3 In this de primer grado y m todos de soluci n por: separaci n de revision, basic notions will be taken into account regarding variables, Ecuaciones homog neas, Ecuaciones exactas y factores differential and integral calculus of a variable, basic theory about integrantes. Esto con la nalidad de incluir modelos matem ticos ordinary differential rst degree equations and solving methods en este art culo. for: variable separation, homogeneous equations, exact equations Recibido 14/08/2006 - Aceptado 12/02/2007. Revista M dica de la Universidad Veracruzana / Vol. 6 N m. 2, Julio - Diciembre 2006 33. Revista M dica and integral factors. All of these with the purpose of including diferencial. Johan Bernoulli I (1692) encontr otro m todo, mathematical models in this article. utilizando en una serie de problemas, la multiplicaci n por KEY WORDS: First degree ordinary differential equation, law un factor integrante , sobre todo para resolver Ecuaciones of exponential growth, separation of variables.

4 En los cuales el m todo anterior no se pod a aplicar, m todo tambi n usado por su sobrino Daniel Bernoulli (1720). Sin INTRODUCCI N embargo, los m todos eran incompletos y la teor a general La historia del desarrollo de las matem ticas cubre un de las Ecuaciones diferenciales a comienzos del siglo XVIII. periodo de casi siete mil a os. Entre las primeras disciplinas no pod a ser propuesta. encontramos el lgebra, la geometr a y la trigonometr a. Es a Euler (1770) a quien le correspondi la Los griegos ve an las matem ticas como una ciencia primera sistematizaci n de los trabajos anteriores en su educativa, pues contemplaban de niciones, axiomas obra: Institutiones Calculi Integralis, Ediderunt Friendrich claramente formulados, y a partir del razonamiento l gico Engel et Ludwing Schlesinger, la cual contiene una buena y prueba precisa, elaboraron una teor a de la geometr a que parte (y mucho m s) del material que encontrar amos en demostr para todos los tiempos, el poder del pensamiento un libro de texto actual, como el estudio de las Ecuaciones abstracto y condujo al hombre a descubrir que a trav s de diferenciales de primer orden y su correspondiente las matem ticas se puede entender la naturaleza.

5 Despu s clasi caci n en: lineales, separables, homog neas y de casi dos mil a os, en el siglo XVII, aparece lo que hoy exactas; las de segundo orden y su generalizaci n a las de conocemos como matem tica y ciencia moderna. Fue sta orden superior; asimismo, encontramos el m todo de series la poca de las grandes academias, donde los matem ticos de potencias. eran f sicos, los f sicos eran l sofos y los l sofos eran Este trabajo marca el n de la etapa algebraica- matem ticos. La geometr a anal tica comienza con Fermat algor tmica en la historia de las Ecuaciones diferenciales (1629) y Descartes (1637), siendo este ltimo el primero ordinarias, y comienza la segunda etapa hasta nales del en aplicar sistem ticamente el lgebra al estudio de la siglo XIX la cual es llamada fundamentos , en atenci n a geometr a. Cincuenta a os m s tarde, newton y Leibniz que en sta, las principales cuestiones de fundamentaci n desarrollan el c lculo diferencial e integral, que consiste recibir n tratamiento y soluci n.

6 En calcular la pendiente de la recta tangente a una curva y Los logros m s importantes de esta etapa fueron determinar el rea limitada por una curva, respectivamente. los de D Alambert (1776), quien encontr que la soluci n A ellos se les conoce como los fundadores del c lculo, por general de una ecuaci n diferencial lineal no homog nea la manera en c mo relacionaron ambos problemas; tales es igual a la suma de una cierta soluci n particular y la relaciones se encuentran enunciadas en el resultado m s soluci n general de la correspondiente soluci n homog nea, importante del c lculo, denominado: Teorema Fundamental y Lagrange (1774), quien demostr que la soluci n general del C lculo. ste fue el comienzo del an lisis y dio de una ecuaci n diferencial lineal homog nea de orden mpetu a las matem ticas y a la ciencia moderna vigente con coe cientes constantes, es de la forma: en la actualidad.

7 De esta manera, el mayor n mero de aplicaciones de las matem ticas a la ciencia se concentran en el c lculo, en particular dentro del estudio de las Ecuaciones diferenciales . ANTECEDENTES Donde son un conjunto de soluciones En la ltima d cada del siglo XVII, los hermanos James linealmente independiente y son constantes y Johan Bernoulli introdujeron t rminos como el de arbitrarias. Esto es conocido como el Principio de integrar una ecuaci n diferencial, as como el proceso de superposici n . Este mismo autor, en 1774, descubri en separaci n (separatio indeterminatarum) de una ecuaci n su forma general el m todo de Variaci n de par metros . 34 Revista M dica de la Universidad Veracruzana / Vol. 6 N m. 2, Julio - Diciembre 2006. Revista M dica MODELOS MATEM TICOS EN pregunta que surge es podemos modi car (1) para que los Ciencias DE LA SALUD resultados concuerden con la realidad?, la respuesta es s , y A ciencia cierta, no se sabe qui n descubri las Ecuaciones est dada por la ecuaci n diferencial: diferenciales , ya que la historia de las matem ticas es tan grande como el origen del universo, del cual tampoco , (2).

8 Sabemos qui n es su creador. Una ecuaci n diferencial es una expresi n que involucra derivadas de una funci n desconocida de una o varias variables. cuya soluci n es: De las Ecuaciones diferenciales , encontramos dos tipos: (a) Si la funci n desconocida depende s lo de una (3). variable, la ecuaci n se llama Ecuaci n diferencial ordinaria. (b) Si la funci n desconocida depende de m s de una variable, la ecuaci n se llama Ecuaci n diferencial la cual se obtiene f cilmente aplicando el m todo de parcial. separaci n de variables. Adem s de (3), observemos que Tambi n las Ecuaciones diferenciales pueden , lo cual muestra que el crecimiento dado por (3). clasi carse por su orden y por su grado. El orden de una tiene un l mite, tal como lo requieren la realidad, y validando ecuaci n diferencial es el orden de la derivada m s alta el modelo de crecimiento (2) y (3). Algunos ejemplos de que aparece en la ecuaci n, y el grado de una ecuaci n aplicaciones para este modelo son: calcular la altura media diferencial es la potencia a la que est elevada la derivada de un grupo de mujeres en pleno crecimiento o predecir la que da el orden de la ecuaci n diferencial.

9 Una de las poblaci n de M xico para el 2010, etc tera. Ecuaciones diferenciales m s conocida y sencilla es la Ley de crecimiento exponencial: II. MODELO DE PROBLEMA EPIDEMIOL GICO. Un problema importante de biolog a y medicina trata de cuyasoluci n es (1) la ocurrencia, propagaci n y control de una enfermedad contagiosa; esto es, una enfermedad que puede transmitirse La ley del crecimiento exponencial, con las debidas de un individuo a otros. La ciencia que estudia este problema modi caciones, puede tener un n mero muy grande de se llama epidemiolog a, y si un porcentaje grande no com n aplicaciones al rea de Ciencias de la Salud. Entre los de una poblaci n adquiere la enfermedad, decimos que modelos fundamentales se encuentran: hay una epidemia. Un modelo matem tico sencillo para la propagaci n de una enfermedad es: I. MODELO DE CRECIMIENTO BIOL GICO. Un problema fundamental en biolog a es el crecimiento, sea ste el crecimiento de una c lula, un rgano, un ser humano, una planta o una poblaci n.

10 La ecuaci n diferencial (1) nos , (4). dice que el crecimiento ocurre si , y por otro lado el decaimiento (o encogimiento) ocurre si . Un defecto obvio de la ecuaci n (1) y de su soluci n es que si Donde es el n mero de individuos infectados y el tiempo transcurre, el crecimiento es ilimitado. Esto en el tiempo , el n mero de individuos infectados en es una contradicci n con la realidad, puesto que, despu s el tiempo y es el n mero total de la poblaci n. La de transcurrir un cierto tiempo, sabemos que la c lula o soluci n a la ecuaci n (4) se obtiene por separaci n de individuo deja de crecer, y obtiene un tama o m ximo. La variables, dando como soluci n: Revista M dica de la Universidad Veracruzana / Vol. 6 N m. 2, Julio - Diciembre 2006 35. Revista M dica CONCLUSIONES. La revisi n de los modelos matem ticos existentes nos da la (5) pauta para llevar a cabo la elaboraci n de nuevos modelos de Ecuaciones diferenciales ordinarias que apoyen la resoluci n de problemas espec cos en el rea de Ciencias de la Salud.