Exo7 - Cours de mathématiques

1 Int gralesVid o partie 1. L int grale de RiemannVid o partie 2. Propri t sVid o partie 3. PrimitiveVid o partie 4. Int gration par parties - Changement de variableVid o partie 5. Int gration des fractions rationnellesFiche d exercices Calculs d int gralesMotivationNous allons introduire l int grale l aide d un exemple. Consid rons la fonction exponentiellef(x)=ex. On souhaitecalculer l aireAen-dessous du graphe defet entre les droites d quation(x=0),(x=1)et l axe(O x).Ay=exxy011 Nous approchons cette aire par des sommes d aires des rectangles situ s sous la courbe. Plus pr cis ment, soitn>1un entier ; d coupons notre intervalle[0, 1] l aide de la subdivision(0,1n,2n, .. ,in, ,n 1n, 1).On consid re les rectangles inf rieurs R i, chacun ayant pour base l intervalle i 1n,in et pour hauteurf i 1n =e(i 1)/n.

2 L entierivarie de 1 n. L aire deR iest base hauteur : in i 1n e(i 1)/n=1nei 1R 2R 3R 4014243411y=exxyR+1R+2R+3R+4014243411 INT GRALES1. L INT GRALE DERIEMANN2La somme des aires desR ise calcule alors comme somme d une suite g om trique :n i=1ei 1nn=1nn i=1 e1n i 1=1n1 e1n n1 e1n=1ne1n 1 e 1 n + e la limite on a reconnu l expression du typeex 1x x 01 (avec icix=1n).Soit maintenant les rectangles sup rieurs R+i, ayant la m me base i 1n,in mais la hauteurf in =ei/n. Un calculsimilaire montre que ni=1einn e 1 lorsquen + .L aireAde notre r gion est sup rieure la somme des aires des rectangles inf rieurs ; et elle est inf rieure lasomme des aires des rectangles sup rieurs. Lorsque l on consid re des subdivisions de plus en plus petites (c est- -direlorsque l on fait tendrenvers+ ) alors on obtient la limite que l aireAde notre r gion est encadr e par deuxaires qui tendent verse 1.

3 Donc l aire de notre r gion estA=e le plan de lecture conseill pour ce chapitre : il est tout d abord n cessaire de bien comprendre comment estd finie l int grale et quelles sont ses principales propri t s (parties??et??). Mais il est important d arriver rapidement savoir calculer des int grales : l aide de primitives ou par les deux outils efficaces que sont l int gration par partieset le changement de un premier temps on peut lire les sections??,??puis??,??,??, avant de s attarder longuement sur les parties??,??. Lors d une seconde lecture, revenez sur la construction de l int grale et les ce chapitre on s autorisera (abusivement) une confusion entre une fonctionfet son expressionf(x). Parexemple on crira une primitive de la fonctionsinxest cosx au lieu une primitive de la fonctionx7 sinxestx7 cosx.

4 1. L int grale de RiemannNous allons reprendre la construction faite dans l introduction pour une fonctionfquelconque. Ce qui va remplacerles rectangles seront desfonctions en escalier. Si la limite des aires en-dessous gale la limite des aires au-dessus onappelle cette limite communel int graledefque l on note baf(x)d x. Cependant il n est pas toujours vrai que ceslimites soient gales, l int grale n est donc d finie que pour les fonctionsint grables. Heureusement nous verrons quesi la fonctionfest continue alors elle est int GRALES1. L INT GRALE DERIEMANN3y=f(x)xyy=f(x) Int grale d une fonction en escalierD finition [a,b]un intervalle ferm born deR( <a<b<+ ). On appelle unesubdivisionde[a,b]unesuite finie, strictement croissante, de nombresS=(x0,x1, .. ,xn)telle quex0=aetxn=b. Autrement dita=x0<x1< <xn= finition fonctionf:[a,b] Rest unefonction en escaliers il existe une subdivision(x0,x1.)

5 ,xn)et des nombresr elsc1, .. ,cntels que pour touti {1, .. ,n}on ait x ]xi 1,xi[f(x)=ciAutrement ditfest une fonction constante sur chacun des sous-intervalles de la valeur defaux pointsxide la subdivision n est pas impos e. Elle peut tre gale celle de l intervalle qui pr c deou de celui qui suit, ou encore une autre valeur arbitraire. Cela n a pas d importance car l aire ne changera finition une fonction en escalier comme ci-dessus, sonint graleest le r el baf(x)d xd fini parINT GRALES1. L INT GRALE DERIEMANN4 baf(x)d x=n i=1ci(xi xi 1) que chaque termeci(xi xi 1)est l aire du rectangle compris entre les abscissesxi 1etxiet de hauteurci. Ilfaut juste prendre garde que l on compte l aire avec un signe + sici>0 et un signe sici< int grale d une fonction en escalier est l aire de la partie situ e au-dessus de l axe des abscisses (ici en rouge) moinsl aire de la partie situ e en-dessous (en bleu).

6 L int grale d une fonction en escalier est bien un nombre r el qui mesurel aire alg brique (c est- -dire avec signe) entre la courbe defet l axe des Fonction int grableRappelons qu une fonctionf:[a,b] Restborn es il existeM>0 tel que : x [a,b] M6f(x) aussi que si l on a deux fonctionsf,g:[a,b] R, alors on notef6g x [a,b]f(x)6g(x).On suppose pr sent quef:[a,b] Rest une fonction born e quelconque. On d finit deux nombres r els :I (f)=sup ba (x)d x| en escalier et 6f I+(f)=inf ba (x)d x| en escalier et >f xy >f 6faby=f(x)PourI (f)on prend toutes les fonctions en escalier (avec toutes les subdivisions possibles) qui restent inf rieures prend l aire la plus grande parmi toutes ces fonctions en escalier, comme on n est pas s r que ce maximum existeon prend la borne sup rieure. PourI+(f)c est le m me principe mais les fonctions en escalier sont sup rieures feton cherche l aire la plus petite est intuitif que l on a :Proposition (f)6I+(f).

7 Les preuves sont report es en fin de finition fonction born ef:[a,b] Rest diteint grable(au sens de Riemann) siI (f)=I+(f). On appelle alorsce nombrel int grale de Riemanndefsur[a,b]et on le note baf(x)d GRALES1. L INT GRALE DERIEMANN5 Exemple 1. Les fonctions en escalier sont int grables ! En effet sifest une fonction en escalier alors la borne inf rieureI (f)et sup rieureI+(f)sont atteintes avec la fonction =f. Bien s r l int grale baf(x)d xco ncide avec l int gralede la fonction en escalier d finie lors du paragraphe??. Nous verrons dans la section suivante que les fonctions continues et les fonctions monotones sont int grables. Cependant toutes les fonctions ne sont pas int grables. La fonctionf:[0,1] Rd finie parf(x)=1 sixestrationnel etf(x)=0 sinon, n est pas int grable sur[0,1].

8 Convainquez-vous que si est une fonction en escalieravec 6falors 60 et que si >falors >1. On en d duit queI (f)=0 etI+(f)=1. Les bornesinf rieure et sup rieure ne co ncident pas, doncfn est pas int n est pas si facile de calculer des exemples avec la d finition. Nous avons vu l exemple de la fonction exponentielledans l introduction o nous avions en fait montr que 10exd x=e 1. Nous allons voir maintenant l exemplede la fonctionf(x)=x2. Plus tard nous verrons que les primitives permettent de calculer simplement beaucoupd int :[0, 1] R,f(x)=x2. Montrons qu elle est int grable et calculons 10f(x)d >1 et consid rons la subdivision r guli re de[0, 1]suivanteS= 0,1n,2n, .. ,in, .. ,n 1n, 1 .Sur l intervalle i 1n,in nous avons x i 1n,in i 1n 26x26 in construisons une fonction en escalier en-dessous defpar (x)=(i 1)2n2six i 1n,in (pour chaquei=1.)

9 ,n) et (1)=1. De m me nous construisons une fonction en escalier +au-dessus defd finie par +(x)=i2n2six i 1n,in (pour chaquei=1, .. ,n) et +(1)=1. et +sont des fonctions en escalier et l on a 6f6 +.L int grale de la fonction en escalier +est par d finition 10 +(x)d x=n i=1i2n2 in i 1n =n i=1i2n21n=1n3n i= se souvient de la formule ni=1i2=n(n+1)(2n+1)6, et donc 10 +(x)d x=n(n+1)(2n+1)6n3=(n+1)(2n+1)6n2 INT GRALES1. L INT GRALE DERIEMANN6De m me pour la fonction : 10 (x)d x=n i=1(i 1)2n21n=1n3n 1 j=1j2=(n 1)n(2n 1)6n3=(n 1)(2n 1)6n2 MaintenantI (f)est la borne sup rieure sur toutes les fonctions en escalier inf rieures fdonc en particulierI (f)> 10 (x)d x. De m meI+(f)6 10 +(x)d x. En r sum :(n 1)(2n 1)6n2= 10 (x)d x6I (f)6I+(f)6 10 +(x)d x=(n+1)(2n+1) l on fait tendrenvers+ alors les deux extr mit s tendent vers13.

10 On en d duit queI (f)=I+(f)= int grable et 10x2d x= Premi res propri t sProposition :[a,b] Rest int grable et si l on change les valeurs defen un nombre fini de points de[a,b]alors lafonction f est toujours int grable et la valeur de l int grale baf(x)d x ne change Si f:[a,b] Rest int grable alors la restriction de f tout intervalle[a ,b ] [a,b]est encore int Les fonctions continues sont int grablesVoici le r sultat th orique le plus important de ce or me f:[a,b] Rest continue alors f est int preuve sera vue plus loin mais l id e est que les fonctions continues peuvent tre approch es d aussi pr s que l onveut par des fonctions en escalier, tout en gardant un contr le d erreur uniforme sur l fonctionf:[a,b] Rest ditecontinue par morceauxs il existe un entiernet une subdivision(x0.)