Transcription of Loi normale - MATHEMATIQUES
1 Loi normale1) La loi normale centr e r duite. La loi normale centr e r duiteN(0, 1)est la loi de probabilit dont la densit est la fonctionfd finie par :pour tout r elt,f(t) =1 2 e 1 2 3 4y=f(t)1 2 0, cours des tudes post-bac, on sait d montrer que l int grale deGauss + e t22dtest gale 2 .En divisant par 2 , on normalise : + 1 2 e t22dt=1. La fonction de r partition de la loi normale centr e r duiteest la fonctionFd finie par :pour tout r elx,F(x) =p(X6x) = x 1 2 e 1 2 3 4y=F(x)0, 5 Pour tous r elsaetbtels quea < b, on ap(a6X6b) = ba1 2 e t22dt=F(b) F(a).123 1 2 3 4y=f(t)1 2 0, 5abp(a6X6b) = ba1 2 e t22dt=F(b) F(a)On ne sait pas exprimer les int grales pr c dentes l aide des fonctions usuelles disposition en terminale.
2 Pour obtenirdes valeurs de la fonction de r partition de la loi normale centr e r duite, on dispose soit de la calculatrice, soit detables num riques fournies la fin de certains livres. L esp rance de la loi normale centr e r duite est0(la loi est centr e) et l cart-type de la loi normale centr e r duiteest1(la loi est r duite).2) Th or me loi normale approche la loi binomiale. Plus pr cis ment :Th or tout entier naturel non nuln, on consid re une variable al atoireXnqui suit une loi binomialeB(n, p)puis on consid reZn=Xn np np(1 p), la variable centr e r duite associ , pour tous r elsaetbtels quea < blimn + p(np+a np(1 p)6Xn6np+b np(1 p))=limn + p(a6Zn6b) = ba1 2 e Jean-Louis Rouget, 2012.
3 Tous droits r serv ) Loi normale : cas g n ral. Une variable al atoireXsuit la loiN( , 2)si et seulement si la variable al atoireX suit la loi normale centr er duiteN(0, 1). est l esp rance deN( , 2), 2est sa variance et est son (t)( 4) Intervalle associ une probabilit Th or variable al atoire r gie par la loi normale centr e r duiteN(0, 1).Pour tout r el ]0, 1[, il existe un r el strictement positifu et un seul tel quep( u 6X6u ) =1 .123 1 2 3 4y=f(t)1 2 0, 5 u u p( u 6X6u ) =1 On doit conna tre en particulieru0,05=1, 96etu0,01=2, , pour une loi normale en g n ral, on doit conna tre les probabilit s associ es des intervalles centr sautour de de rayon ,2 ou3 :Th or variable al atoire r gie par une loi normaleN( , 2)de param tres Ret > ( 6X6 + ) =0, 683p( 2 6X6 +2 ) =0, 954p( 3 6X6 +3 ) =0, 997 + 68, 3% 2 +2 95, 4% 3 +3 99, 7%Cons une variable al atoire r gie par une loi binomialeB(n, p)et siZn=Xn np np(1 p)limn + P(np u np(1 p)6Xn6np+u np(1 p))=limn + P( u 6Zn6u ) =1.
4 C Jean-Louis Rouget, 2012. Tous droits r serv
